Електрика та магнетизм

Розділ 10 Магнітне поле в речовині

Гіпотеза Ампера

Ми вже знаємо, що магнітне поле діє на рухомі заряджені частинки та на рамки зі струмом. Але чому воно діє також і на шматок звичайного заліза — скажімо, на цвях, який сам по собі не є магнітом? Відповідь на це запитання дав ще А. Ампер: він припустив, що всередині магніту теж течуть струми.

Якщо взяти магнітну стрілку чи магніт у руки, жодних струмів ми, звісно, не відчуваємо: отже, ці струми циркулюють усередині речовини і ніколи не виходять назовні. Що це за струми, Ампер, звісно, не знав — адже про будову атома тоді не було відомо нічого. Сучасній науці вже відомо, що звичайна речовина складається з атомів: усередині атомів є позитивно заряджені ядра, навколо яких рухаються негативно заряджені електрони, причому самі електрони, до того ж — маленькі магнітні «стрілочки» (мають власний магнітний момент, спін). Отже, рух електронів усередині атомів — це і є ті самі струми, про існування яких здогадався Ампер; магнітне поле діє на ці струми, а отже — і на речовину загалом (рис. 10.1).

10.1 Основні поняття

Мікрополе та середнє поле

У речовині магнітне поле формується як зовнішнім полем, так і струмами, що циркулюють у самій речовині. На мікрорівні (тобто на відстанях порядку розміру атома й менше) це поле різко змінюється в часі й просторі — таке поле називають мікрополем \(\Bfield _\text {micro}\). Однак якщо провести усереднення за фізично нескінченно малим об’ємом \(\Delta V\) (малим порівняно з масштабом, на якому поле помітно змінюється макроскопічно, але великим порівняно з розмірами й відстанями між окремими атомами — тобто таким, що вміщує величезну кількість атомів), отримаємо середнє поле:

\begin{equation*} \langle \Bfield \rangle = \frac 1{\Delta V}\iiint \limits _{\Delta V} \Bfield _\text {micro}\, dV. \end{equation*}

Середнє поле змінюється значно повільніше за мікрополе, оскільки усереднення за \(\Delta V\) згладжує швидкі просторові й часові коливання мікрополя. Надалі, як і раніше з полем \(\Efield \) в діелектрику, під \(\Bfield \) ми завжди розумітимемо саме це середнє поле.

Струми провідності та молекулярні струми

Усі струми, створювані рухомими зарядами в речовині, поділяють на дві принципово різні групи:

• 1. Струми провідності — пов’язані з переміщенням вільних носіїв заряду (тих самих, що ми вивчали в гл. 7); це макроскопічні струми, зовнішні щодо самої речовини й підтримувані стороннім джерелом (ЕРС).

• 2. Молекулярні струми — зумовлені орбітальним рухом електронів в атомах (молекулах) та їхнім спіном (власним моментом імпульсу), а також, значно меншою мірою, магнітними моментами ядер. Це внутрішні, властиві самій речовині струми.

10.2 Намагнічування

Вектор намагніченості

Вектором намагніченості (намагніченістю) називають величину, що характеризує сумарний магнітний момент одиниці об’єму речовини:

\begin{equation} \label {eq:MagnetizationDef} \tcbhighmath { \vect J = \frac 1{\Delta V}\sum \limits _{i\,\in \,\Delta V} \vect p_i, } \qquad \vect p_i \text { --- магнітний момент $i$-ї частинки,} \end{equation}

де \(\Delta V\) — той самий фізично нескінченно малий об’єм. Намагніченість називають однорідною, якщо вектор \(\vect J\) не залежить від точки в речовині; якщо \(\vect J \neq \const \) — неоднорідною.

Основна задача теорії магнітостатики в речовині

Пряме обчислення поля в намагніченій речовині вимагало б підсумовування магнітних полів від колосальної кількості (порядку числа Авогадро) молекулярних струмів — завдання абсолютно нездійсненне практично. Основна ідея теорії магнітостатики в речовині — вилучити молекулярні струми з рівнянь, замінивши їх іншою, макроскопічно вимірюваною величиною — вектором намагніченості \(\vect J\). Це, за аналогією з тим, що ми вже робили для зв’язаних зарядів у діелектриках, істотно спрощує розрахунок полів у магнетиках.

Зв’язок намагніченості з молекулярними струмами

Виділимо в намагніченій речовині косокутний циліндр таких малих розмірів, що намагніченість \(\vect J\) у ньому можна вважати однорідною, і орієнтуємо його так, щоб \(\vect J\) була напрямлена по нормалі \(\vect n\) до торців (рис. 10.2); тобто молекулярні струми течуть у площинах, паралельних торцям. У товщі циліндра кільцеві молекулярні струми сусідніх атомів течуть у протилежних напрямках і взаємно компенсуються — в усіх точках, окрім точок бічної поверхні (рис. 10.3, вигляд торця): там компенсація неповна, і залишається нескомпенсований поверхневий струм, що тече бічною поверхнею циліндра.

Магнітний момент такого циліндрика, з одного боку, дорівнює \(\vect p_m = \vect J V\) (за означенням намагніченості), а з іншого — визначається нескомпенсованим поверхневим струмом \(I_m\), що тече по бічній поверхні, за формулою для магнітного моменту витка (9.22) (гл. 9), \(\vect p_m = \frac 1c I_m S\vect n\), де \(S\) — площа торця циліндра, \(\vect n\) — нормаль до торця, а \(\theta \) — кут між твірною \(\vect \tau \) циліндра і цією нормаллю. Об’єм косокутного циліндра дорівнює \(V = S\,\ell \cos \theta \), де \(\ell \) — довжина твірної. Прирівнюючи обидва вирази й проєктуючи рівність на напрям твірної:

\begin{equation*} \vect J\, V = \frac 1c I_m S\vect n \quad \Rightarrow \quad (\vect J\cdot \vect \tau )\, S\,\ell \cos \theta = \frac 1c I_m\, S\,(\vect n\cdot \vect \tau ), \qquad \vect n\cdot \vect \tau = \cos \theta . \end{equation*}

Скорочуючи на \(S\cos \theta \) і ділячи на \(\ell \), знаходимо поверхневу густину молекулярного струму \(i_m = I_m/\ell \) (струм на одиницю довжини твірної):

\begin{equation} \label {eq:MolecularSurfaceCurrent} \tcbhighmath { i_m = c\, \vect J\cdot \vect \tau . } \end{equation}

10.3 Теорема про циркуляцію в речовині

Циркуляція вектора намагніченості

Виберемо тепер у речовині довільний замкнений контур \(L\) (рис. 10.4). За формулою (10.2) на елемент довжини контуру \(d\symbfscr {l}\) припадає молекулярний струм \(dI_m = i_m\, d\ell = c\,\vect J\cdot d\symbfscr {l}\), тому повний молекулярний струм, що перетинає (пронизує) контур,

\begin{equation} \label {eq:CirculationJ} I_m = c\oint \limits _L \vect J\cdot d\symbfscr {l}. \end{equation}

За теоремою Стокса цей вираз перетворюється так:

\begin{equation*} I_m = c\oint \limits _L \vect J\cdot d\symbfscr {l} = c\iint \limits _S \rot \vect J\cdot d\vect S, \end{equation*}

де \(S\) — будь-яка поверхня, натягнута на контур \(L\). З іншого боку, той самий струм \(I_m\) можна виразити через його об’ємну густину \(\vect j_m\): \(I_m = \iint _S \vect j_m\cdot d\vect S\). Порівнюючи два вирази, отримуємо зв’язок молекулярного струму з вектором намагніченості в диференціальній формі:

\begin{equation} \label {eq:MolecularCurrentDensity} \tcbhighmath { \vect j_m = c\rot \vect J. } \end{equation}

Вектор напруженості магнітного поля

Циркуляцію повного магнітного поля \(\Bfield \) у речовині породжують усі струми — і струми провідності \(I\), і молекулярні струми \(I_m\):

\begin{equation*} \oint \limits _L \Bfield \cdot d\vect r = \frac {4\pi }c\left (I + I_m\right ) = \frac {4\pi }c\left (I + c\iint \limits _S \rot \vect J\cdot d\vect S\right ). \end{equation*}

Щоб вилучити невимірюваний молекулярний струм \(I_m\) з цього рівняння, введемо допоміжну величину — напруженість магнітного поля:

\begin{equation} \label {eq:HDef} \tcbhighmath { \Hfield = \Bfield - 4\pi \vect J. } \end{equation}

Підставляючи це означення в попереднє рівняння, молекулярний струм скорочується, і теорема про циркуляцію в речовині набуває вигляду

\begin{equation} \label {eq:CirculationHInt} \tcbhighmath { \oint \limits _L \Hfield \cdot d\vect r = \frac {4\pi }c I. } \end{equation}

Еквівалентна диференціальна форма цієї теореми:

\begin{equation} \label {eq:CirculationHDiff} \tcbhighmath { \rot \Hfield = \frac {4\pi }c\vect j. } \end{equation}

10.4 Магнітна сприйнятливість речовини

Лінійні ізотропні середовища

Розглянемо лінійні ізотропні середовища — ті, в яких намагніченість пропорційна полю, а магнітні властивості однакові в усіх напрямках. Середовище (речовина), що реагує на зовнішнє магнітне поле, називатимемо магнетиком. Якщо поле не надто сильне, а в середовищі немає початкової (залишкової) намагніченості, намагніченість, як показує дослід, прямо пропорційна полю:

\begin{equation} \label {eq:LinearMedium} \vect J = \chi _m\Hfield , \end{equation}

де \(\chi _m\) — магнітна сприйнятливість середовища (безрозмірна величина). Підставляючи це в означення (10.5), \(\Bfield = \Hfield + 4\pi \vect J = (1+4\pi \chi _m)\Hfield \), тобто

\begin{equation} \label {eq:BMuH} \tcbhighmath { \Bfield = \mu \Hfield , \qquad \mu = 1+4\pi \chi _m, } \end{equation}

де величину \(\mu \) називають магнітною проникністю середовища.

Класифікація магнетиків

Магнетиком є будь-яка речовина. Термін «діелектрик» виділяє лише частину речовин і протиставляється провіднику; термін «магнетик» не протиставляється нічому — магнітно інертних речовин не існує. Причина проста: рух електронів в атомах не припиняється ніколи, тож молекулярні струми є в кожному без винятку атомі.

Наявність мікрострумів, однак, ще не означає наявності магнітного моменту: у більшості атомів орбітальні й спінові моменти електронів в основному стані взаємно компенсуються, і сумарний момент атома дорівнює нулю — точний аналог неполярних молекул у діелектриках. Тому речовини відрізняються не наявністю мікрострумів, а тим, чи скомпенсовані їхні моменти за відсутності поля і як ці струми відгукуються на його ввімкнення.

Залежно від знака й величини магнітної сприйнятливості виділяють такі основні класи лінійних магнетиків:

• 1. Якщо \(\chi _m > 0\) (а отже, \(\mu >1\)), магнетик називають парамагнетиком. Парамагнітні властивості мають, наприклад, , , , , лужні й лужноземельні метали.

• 2. Якщо \(\chi _m < 0\) (а отже, \(\mu <1\)), магнетик називають діамагнетиком. Діамагнетиками є , , , , , тощо.

За порядком величини магнітна сприйнятливість пара- і діамагнетиків мала: \(|\chi _m|\sim 10^{-6}\)–\(10^{-3}\), тобто \(\mu \) відрізняється від одиниці лише на частки відсотка й менше — зовсім інший масштаб, ніж \(\mu \gg 1\) у феромагнетиків, про які йдеться нижче.

І парамагнетики, і діамагнетики належать до класу лінійних ізотропних середовищ, розглянутих вище.

Деякі речовини здатні зберігати намагніченість \(\vect J\) навіть за відсутності зовнішнього поля — для них лінійне співвідношення (10.8) узагалі не виконується. Такі речовини називають феромагнетиками (, , та багато їхніх сплавів). У тому діапазоні полів, де лінійне наближення все ж формально можна застосувати, магнітна проникність феромагнетиків сягає величезних значень, \(\mu \gg 1\) (тисячі й навіть десятки тисяч) — детальніше про них ми поговоримо в останньому розділі цієї глави.

10.5 Граничні умови

Перша гранична умова (для нормальної складової \(\Bfield \))

Застосуємо теорему Гаусса для вектора \(\Bfield \) (яка, нагадаємо, залишається справедливою в будь-якому середовищі, оскільки джерел магнітного поля, на відміну від електричного, — магнітних зарядів — не існує) до нескінченно малого циліндра, що охоплює невелику ділянку межі розділу двох магнетиків (рис. 10.5). Вважаючи \(d\vect S_2 = -d\vect S_1 = \vect n\, dS\) (\(\vect n\) — нормаль від середовища 1 до середовища 2, як на рисунку):

\begin{equation*} \oiint \limits _S \Bfield \cdot d\vect S = 0 \quad \Rightarrow \quad \Bfield _1\cdot d\vect S_1 + \Bfield _2\cdot d\vect S_2 = 0. \end{equation*}

Звідси перша гранична умова:

\begin{equation} \label {eq:BC1Magnetic} \tcbhighmath { B_{1n} = B_{2n} } \end{equation}

— нормальна складова вектора \(\Bfield \) не зазнає стрибка при переході через межу розділу середовищ (дослівний магнітний аналог неперервності \(D_n\) за відсутності вільного заряду на межі, гл. 5).

Друга гранична умова (для тангенціальної складової \(\Hfield \))

Застосуємо теорему про циркуляцію (10.6) до нескінченно малого прямокутного контуру \(ABCD\), довгі сторони якого проходять на нескінченно малій відстані по обидва боки від межі розділу (рис. 10.6). Поверхневий струм провідності (якщо він там є) характеризуємо одиничним вектором \(\vect b\) уздовж напряму струму й лінійною густиною \(i_b\); контур орієнтуємо впоперек струму, так щоб струм пронизував його, тобто вздовж орта \(\vect \tau = \vect b\times \vect n\). Обходячи контур так, що \(d\vect r_2 = \vect \tau \, d\ell \) (сторона в середовищі 2) і \(d\vect r_1 = -d\vect r_2\):

\begin{equation*} \oint \limits _L \Hfield \cdot d\vect r = \frac {4\pi }c I \quad \Rightarrow \quad \Hfield _1\cdot d\vect r_1 + \Hfield _2\cdot d\vect r_2 = \frac {4\pi }c\, i_b\, d\ell . \end{equation*}

Звідси друга гранична умова:

\begin{equation} \label {eq:BC2MagneticScalar} \tcbhighmath { H_{2\tau } - H_{1\tau } = \frac {4\pi }c\, i_b. } \end{equation}

У векторному вигляді, циклічно переставивши співмножники в мішаному добутку, цю умову записують як

\begin{equation} \label {eq:BC2MagneticVector} \tcbhighmath { \vect n\times \left (\Hfield _2 - \Hfield _1\right ) = \frac {4\pi }c\, \vect i_b. } \end{equation}

Заломлення силових ліній на межі магнетиків

Розглянемо межу розділу двох магнетиків з проникностями \(\mu _1\) і \(\mu _2\), на якій немає струмів провідності (рис. 10.7). Нехай силова лінія утворює кут \(\alpha _1\) з нормаллю в середовищі 1 і кут \(\alpha _2\) — в середовищі 2. Граничні умови дають:

\begin{equation*} \begin{cases} H_{1\tau }=H_{2\tau } \ \Rightarrow \ H_1\sin \alpha _1 = H_2\sin \alpha _2, \\ B_{1n}=B_{2n} \ \Rightarrow \ \mu _1H_1\cos \alpha _1 = \mu _2H_2\cos \alpha _2. \end {cases} \end{equation*}

Ділячи ці рівняння одне на одне, отримуємо закон заломлення силових ліній, однаковий і для \(\Bfield \), і для \(\Hfield \):

\begin{equation} \label {eq:RefractionLaw} \tcbhighmath { \frac {\tg \alpha _2}{\tg \alpha _1} = \frac {\mu _2}{\mu _1}. } \end{equation}

У середовищі з більшим значенням \(\mu \) силові лінії відхиляються на більший кут від нормалі до межі розділу.

Магнітне екранування

На заломленні силових ліній ґрунтується явище магнітного захисту (екранування). Якщо замкнену оболонку з феромагнетика (наприклад, залізну) внести в зовнішнє магнітне поле, то, оскільки \(\mu _\text {залізо} \gg \mu _\text {повітря}\approx 1\), за законом заломлення (10.13) силові лінії всередині оболонки відхиляються майже до дотичної площини до її поверхні — тобто «втягуються» в товщу оболонки і концентруються переважно в ній самій, майже не проникаючи у внутрішню порожнину (рис. 10.8). У результаті поле всередині порожнини виявляється істотно ослабленим порівняно із зовнішнім.

10.6 Мікроскопічна природа діа-, пара- і феромагнетизму

Усе, що було в цій главі до цього моменту, — феноменологія: \(\vect J\), \(\Hfield \), \(\chi _m\) введені через дослідні факти й формальні означення, без жодного припущення про будову атома. Тепер з’ясуємо, звідки вона береться — тобто розкриємо мікроскопічну природу діа- і парамагнетизму, а наостанок з’ясуємо, звідки береться значно сильніше й принципово інше явище — спонтанне впорядкування у феромагнетиках.

Природа діамагнетизму: прецесія Лармора

Скористаємося класичною (борівською) моделлю атома, де електрон рухається коловою орбітою навколо ядра — саме в цій моделі діамагнетизм найпростіше побачити кількісно. За формулою (9.23) (гл. 9) його орбітальний магнітний момент пов’язаний з орбітальним моментом імпульсу \(\vect L\) гіромагнітним відношенням \(\vect p = \gamma \vect L\), \(\gamma =-e/(2m_ec)\). У зовнішньому полі \(\Bfield \) на цей момент діє момент сили (9.1), який змінює \(\vect L\) за рівнянням

\begin{equation*} \frac {d\vect L}{dt} = \vect p\times \Bfield = \gamma \left (\vect L\times \Bfield \right ) = \vect \omega _L\times \vect L, \qquad \vect \omega _L\equiv -\gamma \Bfield . \end{equation*}

Це — рівняння рівномірної прецесії вектора \(\vect L\) (а разом з ним — і всієї площини орбіти) навколо напрямку \(\Bfield \) з кутовою швидкістю

\begin{equation} \label {eq:LarmorFreqMag} \tcbhighmath { \omega _L = |\gamma |B = \frac {eB}{2m_ec} } \end{equation}

— ларморовою частотою, однаковою для будь-якого електрона незалежно від радіуса й швидкості його орбіти (теорема Лармора).

До ввімкнення поля електрон рухався по коловій орбіті; щойно поле накладено, ця орбіта починає прецесувати (рис. 10.9). Прецесія орбіти — це додатковий круговий рух заряду \(-e\) з частотою \(\omega _L\) навколо осі, паралельної \(\Bfield \), тобто додатковий коловий струм \(I=-e\omega _L/(2\pi )\) на відстані \(\rho \) від цієї осі. За формулою для моменту колового витка (9.22) цей струм створює додатковий (індукований) магнітний момент

\begin{equation} \label {eq:InducedDiaMag} \Delta \vect {p}_m = \frac {I\pi \rho ^2}{c}\,\frac {\Bfield }{B} = -\frac {e\omega _L\rho ^2}{2c}\,\frac {\Bfield }{B} = -\frac {e^2\rho ^2}{4m_ec^2}\, \Bfield , \end{equation}

напрямлений, зверніть увагу, проти поля \(\Bfield \) — незалежно від того, у який бік електрон обертався початково: це і є мікроскопічний прояв правила Ленца.

Формула (10.15) виведена для однієї класичної орбіти. У квантовій механіці електрон не має траєкторії: його стан описується хвильовою функцією, а заряд розподілений у просторі з густиною \(-e|\psi |^2\). Тому замість фіксованого \(\rho \) слід підставити середнє \(\langle \rho ^2\rangle \) за цією електронною хмарою. Електронна хмара сферично симетрична, тож

\begin{equation*} \langle \rho ^2\rangle = \tfrac 23\langle r^2\rangle . \end{equation*}

Підсумовуючи внесок усіх \(Z\) електронів, отримуємо індукований момент атома, а тоді й магнітну сприйнятливість речовини з концентрацією атомів \(n\) (формула Ланжевена для діамагнетизму):

\begin{equation} \label {eq:LangevinDiaMag} \tcbhighmath { \chi _m^{\text {діа}} = -\frac {nZe^2\langle r^2\rangle }{6m_ec^2} < 0. } \end{equation}

Ця величина не залежить від температури (розмір атома \(\langle r^2\rangle \) від неї практично не залежить) і за порядком величини становить \(10^{-7}\)–\(10^{-6}\) (у гауссовій системі; у СІ відповідні значення в \(4\pi \) разів більші) — слабкий, але універсальний ефект, наявний в атомах будь-якої речовини, включно з пара- і феромагнетиками.

Природа парамагнетизму: закон Кюрі

Якщо атом має власний (нескомпенсований) магнітний момент \(p_0\neq 0\), до щойно знайденого діамагнітного внеску додається значно потужніший ефект — часткова орієнтація вже наявних моментів уздовж поля. Це — дослівний магнітний аналог орієнтаційної поляризації полярних діелектриків (гл. 5, п. 5.7): енергія моменту в полі дорівнює \(U=-p_0B\cos \theta \) (формула (9.35), гл. 9), а рівноважний розподіл орієнтацій підпорядковується розподілу Больцмана. У практично важливій межі слабкого поля й не надто низької температури (\(p_0B\ll kT\)) середня проекція моменту на напрямок поля лінійна за полем, за тією самою викладкою, що й для електричного диполя (5.17):

\begin{equation} \label {eq:ParaAvgMag} \langle p_z\rangle = \frac {p_0^2 B}{3kT}. \end{equation}

Звідси намагніченість \(n\) атомів в одиниці об’єму дорівнює \(J=n\langle p_z\rangle \), а сприйнятливість спадає обернено пропорційно температурі — закон Кюрі (пряма аналогія закону (5.18) для полярних діелектриків):

\begin{equation} \label {eq:CurieLawMag} \tcbhighmath { \chi _m^{\text {пара}} = \frac {np_0^2}{3kT} \equiv \frac {C}T > 0, } \end{equation}

де \(C=np_0^2/3k\) — стала Кюрі. Оскільки за кімнатної температури \(\chi _m^{\text {пара}}\), як правило, на один-два порядки перевищує \(\bigl |\chi _m^{\text {діа}}\bigr |\), саме вона визначає знак і величину сумарної сприйнятливості речовини, щойно в її атомах з’являється власний момент, — а слабший діамагнітний внесок (10.16) лишається практично непомітним на його тлі.

Природа феромагнетизму: обмінна взаємодія і поле Вейса

Закон Кюрі (10.18) описує незалежні атомні моменти, що орієнтуються лише під дією зовнішнього поля й теплового хаосу. Але у феромагнетику є локальні області — домени — типовим розміром від часток до сотень мікрометрів. У межах кожного домену магнітні моменти всіх атомів спонтанно вишикувані в одному напрямку (рис. 10.10) — без жодного зовнішнього поля. У різних доменах напрями намагніченості, як правило, різні, тому сумарна намагніченість ненамагніченого зразка загалом близька до нуля. Доменна структура цілком аналогічна до доменної структури сегнетоелектриків (гл. 5).

Формальне пояснення спонтанної орієнтації магнітних моментів у межах домену запропонував П. Вейс: припустимо, що на кожен атомний момент, окрім зовнішнього поля \(\Hfield \), діє ще й молекулярне поле \(\Hfield _{\text {мол}} = \lambda \vect J\), пропорційне намагніченості сусідніх атомів (тут \(\lambda \) — стала Вейса). Підставивши це ефективне поле \(\Hfield +\lambda \vect J\) у закон Кюрі (10.18) замість \(\Hfield \) (для слабких полів, коли \(B\approx H\)), дістаємо самоузгоджене рівняння для намагніченості:

\begin{equation*} J = \frac CT\left (H+\lambda J\right ) \quad \Longrightarrow \quad \chi _m = \frac JH = \frac {C}{T-C\lambda }. \end{equation*}

Позначивши \(T_C\equiv C\lambda \) — температуру Кюрі (для заліза \(T_C\approx 770\,^\circ \)C), отримуємо закон Кюрі-Вейса:

\begin{equation} \label {eq:CurieWeissLaw} \tcbhighmath { \chi _m = \frac {C}{T-T_C}. } \end{equation}

Вище \(T_C\) речовина парамагнітна: власні моменти атомів орієнтовані хаотично, і без зовнішнього поля намагніченість дорівнює нулю. Коли \(T\to T_C^+\), сприйнятливість (10.19) прямує до нескінченності — парамагнітний стан втрачає стійкість. Щойно \(T\) опускається нижче \(T_C\), будь-яке мале відхилення \(\vect J\) від нуля підсилюється молекулярним полем швидше, ніж його руйнує тепловий рух, — і в системі самочинно встановлюється ненульова намагніченість навіть без зовнішнього поля. Це — феромагнітний стан.

Залишається питання: чим фізично обумовлене поле Вейса \(\Hfield _{\text {мол}}\)? Щоб упорядкування витримувало тепловий рух аж до кімнатної температури, потрібне поле порядку \(10^6\)–\(10^7\) Гс (з умови \(p_0B\sim kT\)). Натомість поле, яке реально створює сусідній атомний диполь на міжатомній відстані, становить лише \(\sim 10^3\) Гс — на три-чотири порядки менше. Отже, справжня причина — не магнітна взаємодія диполів, а обмінна взаємодія. Це — суто квантовий ефект, що не має класичного аналога: енергія системи двох електронів залежить не лише від їхніх зарядів і відстані, а й від взаємної орієнтації їхніх спінів, причому ця залежність не зводиться до магнітної. Причина — у принципі Паулі: повна хвильова функція двох електронів мусить бути антисиметричною, тому за паралельних спінів антисиметричною мусить бути її координатна частина. Це автоматично розводить такі електрони в просторі й тим самим зменшує енергію їхнього кулонівського відштовхування порівняно з випадком антипаралельних спінів.

Гістерезис у феромагнетиках

Гістерезисом називають неоднозначну петлеподібну залежність намагніченості \(J\) феромагнетика від зовнішнього поля \(H\) за його циклічної зміни (рис. 10.11).

Проходження петлі відбувається за такими стадіями:

• 1. За достатньо великого поля \(H\) намагніченість досягає насичення: усі домени вже зорієнтовані вздовж поля, і зростання \(J\) практично припиняється, \(J\to J_s=\const \). Індукція \(\Bfield = \Hfield +4\pi \vect J\) при цьому й далі зростає — але вже лише за рахунок самого \(\Hfield \), з таким самим нахилом, як у вакуумі.

• 2. Коли поле зменшують до нуля (\(H=0\)), намагніченість не повертається до нуля, а залишається на рівні залишкової намагніченості \(J_r\) — саме тому постійні магніти взагалі можуть існувати.

• 3. Щоб звести намагніченість до нуля, потрібно прикласти поле протилежного напрямку — коерцитивну силу \(-H_c\).

• 4. З подальшим зростанням поля в тому самому (від’ємному) напрямку намагніченість знову зростає за модулем до насичення \(-J_s\).

• 5. Коли від’ємне поле зменшують за модулем до нуля, намагніченість знову залишається ненульовою, на рівні \(-J_r\), — і цикл, після проходження додатної коерцитивної сили \(+H_c\), замикається.

Залежно від ширини петлі гістерезису феромагнетики поділяють на дві категорії. Магнітом’які матеріали (рис. 10.12), які застосовують як осердя в трансформаторах, електромагнітах та інших приладах, мають дуже вузьку петлю гістерезису. Вузькість петлі (мала коерцитивна сила \(H_c\)) означає малі втрати на перемагнічування — важливо, наприклад, для трансформаторів, які перемагнічуються десятки чи сотні разів за секунду.

Постійні ж магніти, навпаки, виготовляють із магнітотвердих матеріалів (рис. 10.13), наприклад із загартованої сталі, з широкою петлею гістерезису й великою коерцитивною силою \(H_c\) — саме це забезпечує збереження намагніченості магніту з часом і під дією випадкових зовнішніх завад.

Підсумки

Уся теорія магнітного поля в речовині побудована за єдиним лекалом, яке ми вже бачили в теорії діелектриків: (1) ввести густину мікроскопічних джерел поля (там — \(\vect P\), тут — \(\vect J\)); (2) виразити через неї зв’язані (молекулярні) джерела — там через дивергенцію (\(\rho ' = -\divg \vect P\)), тут через ротор (\(\vect j_m = c\rot \vect J\)) — відмінність, що відображає потенціальну природу \(\Efield \) проти вихрової природи \(\Bfield \); (3) ввести допоміжний вектор (\(\Dfield \) або \(\Hfield \)), теорема для якого містить лише вільні (вимірювані) джерела; (4) для лінійних середовищ пов’язати допоміжний і основний вектори простим коефіцієнтом (\(\epsilon \) або \(\mu \)). Розуміння цієї спільної структури — найкращий спосіб не заплутатися в позначеннях і знаках обох розділів курсу.

Задачі