Електрика та магнетизм

Розділ 11 Рух заряджених частинок в електричних і магнітних полях

11.1 Рух частинок в однорідних полях

Рух в однорідному електричному полі

Якщо напруженість поля \(\Efield = \const \), то з рівняння руху

\begin{equation} \label {eq:motion_E} m\dot {\vect {v}} = q\Efield \end{equation}

випливає

\begin{equation} \label {eq:motion_E_solution} \vect {v} = \vect {v}_0 + \frac {q\Efield }{m}t, \qquad \vect {r} = \vect {r}_0 + \vect {v}_0 t + \frac {q\Efield }{2m}t^2, \end{equation}

тобто маємо рівноприскорений рух, де прискорення напрямлене уздовж вектора напруженості поля.

Рух в однорідному магнітному полі

На частинку діє сила Лоренца, так що рівняння руху має вигляд

\begin{equation} \label {eq:Lorentz_motion} m\dot {\vect {v}} = \frac {q}{c}\vect {v} \times \Bfield . \end{equation}

Очевидно, що \(\dot {\vect {v}} \perp \vect {v}\), \(\dot {\vect {v}} \perp \Bfield \). Перша рівність означає, що сила Лоренца не виконує роботи: \(\dfrac {d}{dt}\left (\dfrac {mv^2}{2}\right ) = m\vect {v}\cdot \dot {\vect {v}} = 0\), тобто \(|\vect {v}| = \const \) — магнітне поле змінює лише напрямок швидкості. Розкладемо вектор швидкості на складові, паралельну і перпендикулярну полю: \(\vect {v} = \vect {v}_{\parallel } + \vect {v}_{\perp }\). Для цих складових маємо рівняння

\begin{equation} \label {eq:v_parallel_motion} m\dot {\vect {v}}_{\parallel } = 0. \end{equation}

\begin{equation} \label {eq:v_perp_motion} m\dot {\vect {v}}_{\perp } = \frac {q}{c}\vect {v}_{\perp } \times \Bfield . \end{equation}

З рівняння (11.4) випливає \(\vect {v}_{\parallel } = \const \).

Друге рівняння перепишемо у вигляді

\begin{equation} \label {eq:v_perp_rotation} \dot {\vect {v}}_{\perp } = \vect {\omega } \times \vect {v}_{\perp }, \qquad \vect {\omega } = -\omega _c\hat {\vect {b}}, \qquad \omega _c = \frac {qB}{mc}, \quad \hat {\vect {b}} = \frac {\Bfield }{B}. \end{equation}

Воно описує обертання навколо напрямку магнітного поля з кутовою швидкістю \(|\omega _c| = |q|B/mc\), яка називається циклотронною частотою, — рис. 11.1. Величина \(\omega _c\) є знаковою: для \(q<0\) вона від’ємна, і тоді напрямок обертання змінюється на протилежний.

Якщо в момент потрапляння в область дії поля складова швидкості частинки \(\vect {v}_{\perp }\) дорівнювала (за величиною) \(v_{\perp }\), то радіус кола дорівнює

\begin{equation} \label {eq:cyclotron_radius} R = \frac {v_{\perp }}{|\omega _c|} = \frac {mcv_{\perp }}{|q|B}. \end{equation}

Величину \(R\) називають ларморівським радіусом. Якщо \(R\) набагато менший за характерний розмір області, де діє поле, то частинка встигає багато разів обернутися навколо силової лінії, і її рух упоперек поля сильно обмежений; такі частинки називають замагніченими.

Рух в однорідних паралельних електричному та магнітному полях (\(\Efield \parallel \Bfield \))

У рівнянні руху

\begin{equation} \label {eq:motion_EB_parallel} m\dot {\vect {v}} = q\Efield + \frac {q}{c}\vect {v} \times \Bfield \end{equation}

покладемо \(\vect {v} = \vect {v}_{\parallel } + \vect {v}_{\perp }\), де компоненти швидкості відповідно \(\vect {v}_{\parallel } \parallel \Bfield \) і \(\vect {v}_{\perp } \perp \Bfield \). Для цих компонент отримуємо рівняння

\begin{equation} \label {eq:v_parallel_E} m\dot {\vect {v}}_{\parallel } = q\Efield , \end{equation}

\begin{equation} \label {eq:v_perp_B} m\dot {\vect {v}}_{\perp } = \frac {q}{c}\vect {v}_{\perp } \times \Bfield . \end{equation}

Перше з них описує рівноприскорений рух уздовж напрямку електричного поля, а друге рівняння — обертальний рух навколо напрямку магнітного поля з циклотронною частотою \(|\omega _c| = |q|B/mc\). Траєкторія частинки являє собою спіраль зі зростаючим кроком і з віссю, паралельною силовій лінії магнітного поля (рис. 11.2).

Рух у схрещених полях (\(\Efield \perp \Bfield \))

Як і вище, виділимо компоненти швидкості, паралельну та перпендикулярну вектору магнітного поля: \(\vect {v} = \vect {v}_{\parallel } + \vect {v}_{\perp }\) (рис. 11.3). Для цих компонент маємо рівняння

\begin{equation} \label {eq:v_parallel_crossed} m\dot {\vect {v}}_{\parallel } = 0, \end{equation}

\begin{equation} \label {eq:v_perp_crossed} m\dot {\vect {v}}_{\perp } = q\left (\Efield + \frac {1}{c}\vect {v}_{\perp } \times \Bfield \right ). \end{equation}

Рівняння (11.11) дає \(\vect {v}_{\parallel } = \const \), що означає рух з постійною швидкістю вздовж вектора \(\Bfield \), яка визначається початковими умовами.

Для знаходження компоненти \(\vect {v}_{\perp }\) покладемо \(\vect {v}_{\perp } = \vect {u} + \vect {v}'\) і підберемо вектор \(\vect {u}\) так, щоб виключити електричне поле:

\begin{equation} \label {eq:u_condition} \Efield + \frac {1}{c}\vect {u} \times \Bfield = 0. \end{equation}

Оскільки \(\vect {u}\times \Bfield \perp \Bfield \), це рівняння має розв’язок лише за умови \(\Efield \perp \Bfield \) (саме такий випадок розглядаємо). Складова \(\vect {u}\), паралельна \(\Bfield \), ні на що не впливає (її можна віднести до \(\vect {v}_{\parallel }\)), тому вважаємо \(\vect {u} \perp \Bfield \), тобто \(\vect {u}\cdot \Bfield = 0\). Для знаходження вектора \(\vect {u}\) помножимо почленно рівняння (11.13) векторно зліва на \(\Bfield \):

\begin{equation} \label {eq:u_cross_B} \Bfield \times \Efield + \frac {1}{c}\Bfield \times (\vect {u} \times \Bfield ) = 0. \end{equation}

Перетворимо подвійний векторний добуток з урахуванням взаємної ортогональності векторів \(\Bfield \) і \(\vect {u}\):

\begin{equation} \label {eq:double_cross} \Bfield \times (\vect {u} \times \Bfield ) = \vect {u}B^2 - \Bfield (\vect {u}\cdot \Bfield ) = \vect {u}B^2. \end{equation}

У результаті отримаємо

\begin{equation} \label {eq:drift_velocity} \tcbhighmath { \vect {u} = c\frac {\Efield \times \Bfield }{B^2}. } \end{equation}

Цей рух являє собою дрейф (з постійною швидкістю) в напрямку, перпендикулярному обом полям (\(\Efield \) і \(\Bfield \)) (рис. 11.3). Відповідно для компоненти \(\vect {v}'\) отримаємо рівняння

\begin{equation} \label {eq:v_prime_rotation} m\dot {\vect {v}}' = \frac {q}{c}\vect {v}' \times \Bfield , \end{equation}

яке, як і рівняння (11.6), описує обертальний рух навколо напрямку магнітного поля з циклотронною частотою \(|\omega _c| = |q|B/mc\).

Сумарний рух являє собою накладення:

• 1. рівномірного руху вздовж вектора \(\Bfield \) зі швидкістю \((\vect {v}_{\parallel })_0\), яка дорівнює компоненті швидкості \(\vect {v}_{\parallel }\) в початковий момент,

• 2. дрейфового руху зі швидкістю \(\vect {u}\),

• 3. обертання навколо напрямку \(\Bfield \).

Дрейфова швидкість \(u = cE/B\) можлива лише при \(E < B\) (тоді \(u < c\)). При \(E > B\) системи відліку, в якій електричне поле зникає, не існує, і частинка необмежено прискорюється. Викладений нерелятивістський розв’язок справедливий при \(E \ll B\) (і \(|\vect {v}| \ll c\)). Якщо ж \(E\) порівнянне з \(B\), слід розв’язувати релятивістські рівняння руху: швидкість дрейфу \(cE/B\) при \(E<B\) зберігається, але рух у системі відліку, що дрейфує, вже не є простим обертанням з частотою \(\omega _c\).

Знайдемо траєкторію шляхом прямого розв’язання рівнянь (11.12). Для цього запишемо ці рівняння в системі координат, показаній на рис. 11.3. Введемо орти \(\{\vect {i}, \vect {j}, \vect {k}\}\) відповідно вздовж координатних осей \(\{x, y, z\}\). Оскільки в розглянутому випадку \(\vect {v} \times \Bfield = \vect {i}B_z v_y - \vect {j}B_z v_x\), то, позначаючи для стислості \(E_y = E\), \(B_z = B\), маємо:

\begin{equation} \label {eq:system_components} \text {(а) } \dot {v}_z = 0; \qquad \text {(б) } \dot {v}_x = \frac {qB}{mc}v_y; \qquad \text {(в) } \dot {v}_y = \frac {q}{m}E - \frac {qB}{mc}v_x. \end{equation}

Рівняння (11.18)а описує рівномірний рух уздовж вектора магнітного поля:

\begin{equation} \label {eq:vz_motion} v_z = v_{\parallel } = \const , \qquad z = z_0 + v_{\parallel }t. \end{equation}

Далі вважаємо \(v_{\parallel } = 0\). Для розв’язання рівнянь (11.18)б і (11.18)в покладемо

\begin{equation} \label {eq:Vx_substitution} V_x = v_x - u, \qquad u = cE/B. \end{equation}

Після цього рівняння (11.18)б, в набирають вигляду

\begin{equation} \label {eq:Vx_vy_system} \dot {V}_x = \omega _c v_y, \qquad \dot {v}_y = -\omega _c V_x, \end{equation}

де \(\omega _c = qB/mc\) — циклотронна частота (для \(q<0\) вона від’ємна). Виключаючи звідси змінну \(V_x\), зведемо цю систему до рівняння гармонічного осцилятора:

\begin{equation} \label {eq:harmonic_oscillator} \ddot {v}_y = -\omega _c^2 v_y, \end{equation}

звідки знаходимо:

\begin{equation} \label {eq:vy_solution} v_y = v_0 \cos (\omega _c t + \phi _0), \qquad y = y_0 + \frac {v_0}{\omega _c} \sin (\omega _c t + \phi _0). \end{equation}

За допомогою другого рівняння системи (11.21) і підстановки (11.20) знаходимо \(v_x(t)\) і \(x(t)\):

\begin{equation} \label {eq:vx_x_solution} \begin{gathered} v_x = u - \frac {1}{\omega _c}\dot {v}_y = u + v_0 \sin (\omega _c t + \phi _0), \\ x = x_0 + ut - \frac {v_0}{\omega _c} \cos (\omega _c t + \phi _0). \end {gathered} \end{equation}

Формули (11.23), (11.24) визначають траєкторію частинки за будь-яких початкових умов. Виберемо початок координат так, що \(x(0) = 0\), \(y(0) = 0\). Тоді

\begin{equation} \label {eq:trochoid} \begin{cases} x = ut + \frac {v_0}{\omega _c}[\cos \phi _0 - \cos (\omega _c t + \phi _0)], \\ y = \frac {v_0}{\omega _c}[\sin (\omega _c t + \phi _0) - \sin \phi _0], \end {cases} \qquad \begin{cases} v_x = u + v_0 \sin (\omega _c t + \phi _0), \\ v_y = v_0 \cos (\omega _c t + \phi _0). \end {cases} \end{equation}

Крива, що задається рівняннями (11.25), називається трохоїдою. Її вигляд залежить від відношення \(|v_0|/|u|\), яке визначається початковими умовами: при \(|v_0| < |u|\) це хвиляста крива без петель, при \(|v_0| > |u|\) — крива з петлями, а при \(|v_0| = |u|\) — циклоїда з вістрями, в яких швидкість частинки перетворюється на нуль. Розглянемо частинний випадок, коли початкова швидкість частинки дорівнює нулю:

\begin{equation} \label {eq:zero_initial_velocity} v_x(0) = v_y(0) = 0. \end{equation}

Тоді \(\phi _0 = \pi /2\), \(v_0 = -u\) (тут \(v_0\) — алгебраїчна амплітуда, яка може бути від’ємною), і з (11.25) знаходимо:

\begin{equation} \label {eq:cycloid} \begin{gathered} v_x = u(1 - \cos \omega _c t), \qquad v_y = u \sin \omega _c t; \\ x(t) = ut - \frac {u}{\omega _c}\sin \omega _c t, \qquad y(t) = \frac {u}{\omega _c}(1 - \cos \omega _c t). \end {gathered} \end{equation}

Ця траєкторія являє собою циклоїду (рис. 11.4). Таку траєкторію описує точка на ободі колеса радіуса \(|u/\omega _c|\), що котиться без проковзування по площині зі швидкістю \(u\). Відповідно до сказаного траєкторія являє собою суперпозицію дрейфу вздовж осі \(x\) і обертання навколо осі \(z\) з циклотронною частотою \(\omega _c = qB/mc\).

Загальний випадок схрещених полів

У загальному випадку є складова вектора електричного поля, паралельна магнітному полю: \(\Efield _{\parallel } \neq 0\). Тоді для компоненти швидкості \(\vect {v}_{\parallel }\) маємо рівняння

\begin{equation} \label {eq:v_parallel_general} m\dot {\vect {v}}_{\parallel } = q\Efield _{\parallel }. \end{equation}

Це означає, що на рух, описаний у попередньому пункті, накладається прискорений рух у напрямку \(\Efield _{\parallel } \parallel \Bfield \). Дрейф зі швидкістю \(\vect {u} = c\Efield \times \Bfield /B^2\) зберігається, так само як і обертання з циклотронною частотою \(\omega _c = qB/mc\).

11.2 Застосування схрещених полів

Рух у схрещених полях має два важливі застосування: ефект Холла в твердому тілі та холлівські двигуни в космічній техніці.

Ефект Холла

Класичний приклад руху заряджених частинок у схрещених полях реалізується у твердому провіднику чи напівпровіднику, по якому тече електричний струм і який знаходиться в магнітному полі, — це ефект Холла, відкритий Е. Холлом у 1879 р.

Розглянемо провідну пластинку завтовшки \(d\) і завширшки \(w\), вздовж якої (вісь \(x\)) тече струм густиною \(\vect {j}\), а перпендикулярно площині пластинки (вісь \(z\)) прикладене магнітне поле \(\Bfield \) (рис. 11.5). Носії заряду — концентрацією \(n\) і зарядом \(q\) — рухаються вздовж провідника з усередненою (дрейфовою) швидкістю \(\vect {v}_d\), яку підтримує поздовжнє електричне поле \(\Efield _x\) (у провіднику носії зазнають зіткнень), так що

\begin{equation} \label {eq:hall_current_density} \vect {j} = nq\vect {v}_d. \end{equation}

На кожен носій заряду, що рухається з дрейфовою швидкістю \(\vect {v}_d\) в магнітному полі, діє сила Лоренца \(\frac {q}{c}\vect {v}_d \times \Bfield \), яка відхиляє носії до одного з бічних країв пластинки. Внаслідок цього на протилежних гранях накопичується нескомпенсований заряд, що створює поперечне (холлівське) електричне поле \(\Efield _H\). У стаціонарному режимі результуюча поперечна сила, що діє на носії, дорівнює нулю, тобто виконується та сама умова (11.13), яку ми використали для знаходження дрейфової швидкості:

\begin{equation} \label {eq:hall_balance} q\Efield _H + \frac {q}{c}\vect {v}_d \times \Bfield = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \Efield _H = -\frac {1}{c}\vect {v}_d \times \Bfield . \end{equation}

Отже, поперечне поле \(\Efield _H\) визначається тією самою умовою нульової результуючої сили, що й дрейф у схрещених полях (11.16). Різниця в тому, що поздовжній рух носіїв тут підтримується поздовжнім полем \(\Efield _x\) (зі зіткненнями), а поперечне поле виникає самоузгоджено. У сильних полях (\(\omega _c\tau \gg 1\), де \(\tau \) — час між зіткненнями) аналогія з \(\Efield \times \Bfield \)-дрейфом буквальна; у слабких (\(\omega _c\tau \ll 1\)) рівність (11.30) виражає баланс усереднених сил.

Виразивши дрейфову швидкість через густину струму за формулою (11.29), \(v_d = j/(nq)\), знаходимо поперечну складову холлівського поля (тут \(j = j_x\), \(B = B_z\); знак \(E_H\) збігається зі знаком \(q\)):

\begin{equation} \label {eq:hall_field} E_H = \frac {1}{nqc}\,jB. \end{equation}

Різниця потенціалів між бічними гранями пластинки (холлівська напруга) дорівнює \(U_H = E_H w\), а оскільки повний струм \(I = jwd\), отримуємо

\begin{equation} \label {eq:hall_voltage} \tcbhighmath { U_H = \frac {1}{nqc}\,\frac {IB}{d}. } \end{equation}

Коефіцієнт

\begin{equation} \label {eq:hall_coefficient} R_H = \frac {1}{nqc} \end{equation}

називається сталою Холла; вона знакова: \(R_H < 0\) для електронів і \(R_H > 0\) для дірок. Ця формула справедлива для одного типу носіїв заряду з однаковим часом релаксації; для напівпровідників з електронами й дірками вираз для \(R_H\) складніший.

Знак холлівської напруги визначається знаком носіїв заряду: він протилежний для провідників з електронною (\(q<0\)) і дірковою (\(q>0\)) провідністю, що дає змогу експериментально встановити тип основних носіїв у зразку. За відомими \(I\), \(B\), \(d\) і виміряним \(U_H\) формула (11.32) дає змогу визначити концентрацію носіїв заряду \(n\), а вимірювання ефекту Холла широко використовується для характеризації напівпровідників, а також у датчиках магнітного поля (датчиках Холла).

Дрейф у плазмі та плазмові двигуни

Розглянутий електричний дрейф має фундаментальне значення для фізики плазми: оскільки швидкість дрейфу не залежить від знаку заряду й маси частинки, замагнічені електрони та іони в схрещених полях дрейфують в один і той самий бік з однаковою швидкістю. Це принципово відрізняє \(\Efield \times \Bfield \)-дрейф від руху частинки під дією самого лише електричного поля, який розділяє заряди різного знаку і породжує струм.

Схрещені поля лежать в основі роботи холлівських двигунів, одного з найпоширеніших типів електричних ракетних двигунів для космічних апаратів. Проте тут істотною є не однаковість дрейфу електронів та іонів, а, навпаки, різниця в ступені їхнього замагнічення: електрони замагнічені, а іони — ні.

Принцип дії холлівського двигуна.

У кільцевому каналі двигуна створюється радіальне магнітне поле \(\Bfield \) та осьове електричне поле \(\Efield \), причому \(\Efield \perp \Bfield \). Електрони, інжектовані з катода, потрапляючи в область сильного радіального поля, замагнічуються (їхній ларморівський радіус \(R\), див. (11.7), значно менший за розміри каналу) і, згідно з формулою (11.16), здійснюють азимутальний дрейф — це і є «холлівський струм», що дав назву двигуну.

Іони ж, маючи значно більший ларморівський радіус (через велику масу), практично не замагнічуються в тому самому полі й вільно прискорюються електричним полем уздовж осі каналу, створюючи тягу. Радіальне магнітне поле, замагнічуючи електрони, різко обмежує їхню рухливість упоперек силових ліній, тобто вздовж осі до анода: замагнічений електрон обертається навколо силової лінії і зміщується впоперек неї лише внаслідок зіткнень. Тому основне падіння потенціалу зосереджується в зоні прискорення поблизу виходу каналу. Електрони, що дрейфують, одночасно іонізують ударами робочу речовину (зазвичай ксенон), а плазма в каналі в цілому залишається квазінейтральною.

11.3 Методи вимірювання питомого заряду електрона

Питомим зарядом називається відношення \(q/m\), де \(m\) — маса частинки.

Рух частинки за наявності тільки електричних і магнітних полів описується рівнянням

\begin{equation} \label {eq:q_m_motion} m\frac {d\vect {v}}{dt} = q\left (\Efield + \frac {1}{c}\vect {v} \times \Bfield \right ). \end{equation}

Звідси видно, що воно повністю визначається питомим зарядом \(q/m\), а не зарядом і масою окремо.

Вимірювання \(q/m\) за відхиленням траєкторії в електричному полі

У цьому методі пучок частинок пропускається між обкладками зарядженого конденсатора, і за виміряним відхиленням траєкторії визначають відношення \(q/m\). Нехай \(l\) — довжина конденсатора вздовж початкової швидкості частинок \(\vect {v}_0\), а \(L\) — відстань від краю конденсатора до екрана; швидкість \(v_0\) вважаємо відомою. Схема досліду показана на рис. 11.7.

У конденсаторі є однорідне електричне поле з напруженістю \(\Efield \), напрямлене перпендикулярно початковій швидкості частинки \(\vect {v}_0\). Це поле викликає рух з прискоренням

\begin{equation} \label {eq:a_E} \vect {a} = \frac {q}{m}\Efield , \qquad \vect {a} \perp \vect {v}_0. \end{equation}

Якби поле було відсутнє, то частинки потрапляли б у точку «0» екрана Е (рис. 11.7). Під дією поля відхилення частинки в конденсаторі у вертикальному напрямку становить

\begin{equation} \label {eq:y1_E} y_1 = \frac {at^2}{2} = \frac {qE}{2m}t^2 = \frac {q}{2m}E\frac {l^2}{v_0^2}, \end{equation}

де \(t = l/v_0\) — час прольоту конденсатора. Оскільки поле \(\Efield \) напрямлене вздовж осі \(y\), компонента швидкості \(v_x = \const = v_0\).

На виході з конденсатора швидкість \(v_y\) становитиме

\begin{equation} \label {eq:vy_E} v_y = at = \frac {qE}{m}\frac {l}{v_0}. \end{equation}

Далі частинка летить прямолінійно, причому траєкторія утворює кут \(\alpha \) з віссю \(x\) такий, що

\begin{equation} \label {eq:tg_alpha} \tg \alpha = \frac {v_y}{v_x} = \frac {qE}{m}\frac {l}{v_0^2}; \qquad y_1 = \frac {l}{2}\tg \alpha . \end{equation}

Долітаючи до екрана, вона набуває додаткового відхилення

\begin{equation} \label {eq:y2_E} y_2 = L \tg \alpha . \end{equation}

Повне зміщення частинки в результаті становитиме

\begin{equation} \label {eq:y_total_E} \tcbhighmath { y = y_1 + y_2 = \left (\frac {1}{2}l + L\right )\tg \alpha = \frac {qE}{mv_0^{2}}l\left (\frac {1}{2}l + L\right ). } \end{equation}

Таким чином, за виміряним відхиленням частинки \(y\) за допомогою формули (11.40) визначається питомий заряд частинки \(q/m\).

Швидкість \(v_0\) тут має бути відома окремо. Якщо, наприклад, частинки прискорено напругою \(U\) (\(mv_0^2/2 = qU\)), то \(q/m\) у формулі (11.40) скорочується: \(y = \dfrac {El(l/2 + L)}{2U}\), тобто відхилення в електричному полі від питомого заряду не залежить.

Вимірювання \(q/m\) за відхиленням траєкторії в магнітному полі

Для вимірювання питомого заряду можна замість електричного поля використати магнітне, також напрямлене перпендикулярно траєкторії частинки (рис. 11.8). На частинку діє сила Лоренца \(\vect {F} = \frac {q}{c}\vect {v} \times \Bfield \), створюючи прискорення

\begin{equation} \label {eq:a_B} \vect {a} = \frac {\vect {F}}{m} = \frac {q}{mc}\vect {v} \times \Bfield . \end{equation}

Нехай швидкість частинки достатньо велика, так що радіус кривини траєкторії \(R = mcv_0/(|q|B)\) набагато більший за довжину \(l\) області поля, а відхилення за час прольоту мале. Тоді можна прийняти

\begin{equation} \label {eq:a_B_approx} v_x \approx v_0, \qquad \vect {a} \approx \frac {q}{mc}\vect {v}_0 \times \Bfield , \qquad a = |\vect {a}| \approx \frac {|q|}{mc}v_0 B. \end{equation}

Відхилення частинки за час прольоту поля \(t = l/v_0\) становитиме

\begin{equation} \label {eq:y1_B} y_1 = \frac {1}{2}at^2 = \frac {q}{2m}B\frac {l^2}{v_0 c}. \end{equation}

Швидкість \(v_y\) частинки на виході з області дії поля дорівнює

\begin{equation} \label {eq:vy_B} v_y = at = \frac {ql}{mc}B, \end{equation}

а кут, який утворює вектор швидкості з віссю \(x\), визначається рівністю

\begin{equation} \label {eq:tg_beta} \tg \beta = \frac {v_y}{v_x} \approx \frac {v_y}{v_0} = \frac {qlB}{mv_0 c}, \qquad y_1 = \frac {l}{2}\tg \beta . \end{equation}

Долітаючи до екрана, частинка отримує додаткове зміщення

\begin{equation} \label {eq:y2_B} y_2 = L \tg \beta . \end{equation}

Повне зміщення частинки становитиме

\begin{equation} \label {eq:y_total_B} \tcbhighmath { y = y_1 + y_2 = \left (\frac {1}{2}l + L\right )\tg \beta = \frac {qB}{mv_0 c}l\left (\frac {1}{2}l + L\right ). } \end{equation}

Вимірюючи це зміщення, можна знайти питомий заряд \(q/m\) частинки.

Тут теж потрібна відома швидкість \(v_0\). Якщо частинки прискорено напругою \(U\), то \(v_0 = \sqrt {2qU/m}\) і \(y = \sqrt {q/m}\,\dfrac {Bl}{c\sqrt {2U}}\left (\dfrac {l}{2} + L\right )\), тобто магнітне відхилення, на відміну від електричного, залежить від \(q/m\).

Метод Томсона

Дж. Дж. Томсон використав компенсаційну схему, в якій рух частинки визначався як електричним, так і магнітним полем. Ця схема давала змогу не вимірювати попередньо швидкість частинок \(v_0\). Суть методу полягає в такому: спочатку вмикають тільки магнітне поле (як описано вище) і вимірюють відхилення пучка заряджених частинок:

\begin{equation} \label {eq:Thomson_B} y = \frac {qB}{mv_0 c}l\left (\frac {1}{2}l + L\right ). \end{equation}

Потім додатково вмикають електричне поле, перпендикулярне як до магнітного поля (\(\Efield \perp \Bfield \)), так і до швидкості пучка, і підбирають його величину таким чином, щоб повністю компенсувати відхилення пучка і повернути його в точку \(y = 0\). Умовою компенсації є рівність

\begin{equation} \label {eq:Thomson_compensation} qE = \frac {q}{c}v_0 B, \qquad \text {або} \qquad v_0 = c\frac {E}{B}. \end{equation}

Тому наведений вище вираз для зміщення пучка в магнітному полі переписується у вигляді

\begin{equation} \label {eq:Thomson_y} y = \frac {q}{m}\frac {B^2}{c^2 E}l\left (\frac {1}{2}l + L\right ). \end{equation}

Звідси за відомими значеннями зміщення \(y\) і полів \(B\) та \(E\) визначається питомий заряд \(q/m\).

Умова (11.49) збігається з умовою (11.13): частинки, що не відхиляються, рухаються з дрейфовою швидкістю (11.16), тобто \(v_0 = u\). Схрещені поля відбирають частинки за швидкістю, тому таку конфігурацію називають фільтром швидкостей.

Описаним методом Дж. Дж. Томсон у 1897 р. при вивченні катодних променів вперше виміряв питомий заряд електрона. Сучасне значення питомого заряду електрона (Томсон отримав величину того ж порядку; тут \(e < 0\) — заряд електрона) становить

\begin{equation} \label {eq:e_m_value} e/m = -5{,}273 \cdot 10^{17} \ \text {од.~СГСЕ} \cdot \text {г}^{-1} = -1{,}759 \cdot 10^{11} \ \text {Кл} \cdot \text {кг}^{-1}. \end{equation}

11.4 Досліди Міллікена

У попередніх дослідах вимірювався питомий заряд частинок. Р. Міллікен у 1909 р. запропонував спосіб безпосереднього вимірювання заряду. Схема його установки показана на рис. 11.9.

У простір між пластинами конденсатора Міллікен вводив за допомогою розпилювача найдрібніші крапельки олії. Краплі електризувалися при розпиленні, а їхній заряд можна було змінювати, опромінюючи повітря в камері рентгенівськими променями: утворені іони захоплювалися краплями. Рухом крапель керували, змінюючи величину і знак напруги на пластинах конденсатора.

Розглянемо метод докладніше. Будемо для визначеності вважати, що заряд краплі від’ємний, \(q < 0\). У формулах нижче, де йдеться про величини сил і швидкостей, під \(q\) розуміємо \(|q|\).

На краплю діють такі сили:

• 1. сила з боку електричного поля \(q\Efield \);

• 2. рівнодійна сили тяжіння і архімедової сили

  \(\seteqnumber{0}{11.}{51}\)

  \begin{equation} \label {eq:gravity_force} \vect {F}_{g} = \frac {4\pi }{3}r^3(\rho - \rho _0)\vect {g}, \end{equation}

  де \(r\) — радіус краплі, \(\rho \) і \(\rho _0\) — густини краплі і повітря відповідно;

• 3. сила в’язкого тертя

  \(\seteqnumber{0}{11.}{52}\)

  \begin{equation} \label {eq:viscous_force} \vect {F}_{\eta } = -6\pi \eta r\vect {v}. \end{equation}

За відсутності електричного поля крапля падає з постійною швидкістю \(v_0\), яка визначається з умови \(F_g = F_\eta \), або

\begin{equation} \label {eq:falling_equilibrium} \frac {4\pi }{3}r^3(\rho - \rho _0)g = 6\pi \eta r v_0. \end{equation}

Увімкнувши електричне поле, змушують краплю підніматися з невеликою швидкістю \(v_E\), яку можна знайти з рівняння

\begin{equation} \label {eq:rising_equilibrium} \frac {4\pi }{3}r^3(\rho - \rho _0)g + 6\pi \eta r v_E = qE. \end{equation}

З урахуванням рівності (11.54) перепишемо це співвідношення у вигляді

\begin{equation} \label {eq:charge_balance} 6\pi \eta r(v_0 + v_E) = qE, \end{equation}

звідки можна знайти заряд краплі:

\begin{equation} \label {eq:charge_drop} q = 6\pi \eta r\frac {v_0 + v_E}{E}. \end{equation}

Практично вимірювання здійснювалося таким способом. За відсутності електричного поля вимірювалася швидкість вільного падіння краплі \(v_0\). Потім із співвідношення (11.54) визначався радіус краплі:

\begin{equation} \label {eq:drop_radius} r = \sqrt {\frac {9\eta v_0}{2g(\rho - \rho _0)}}. \end{equation}

Увімкнувши електричне поле і вимірявши швидкість підйому краплі \(v_E\), за формулами (11.57)–(11.58) або

\begin{equation} \label {eq:charge_full} q = 6\pi \eta \sqrt {\frac {9\eta v_0}{2g(\rho - \rho _0)}}\frac {v_0 + v_E}{E} = 9\pi \sqrt {\frac {2\eta ^3 v_0}{g(\rho - \rho _0)}}\frac {v_0 + v_E}{E} \end{equation}

можна знайти заряд \(q\). Слід мати на увазі, що для крапель мікронних розмірів закон Стокса потребує поправки (Каннінгема) на проковзування газу, оскільки радіус краплі порівнянний з довжиною вільного пробігу молекул повітря; Міллікен враховував таку поправку в обробленні результатів.

Заряд краплі змінювався при захопленні іона, і при цьому стрибком змінювалася швидкість підйому \(v_E\). Згідно з (11.57) стрибку \(\Delta v_E\) відповідає зміна заряду \(\Delta q = 6\pi \eta r\,\Delta v_E/E\). Аналізуючи результати численних вимірювань, Міллікен встановив, що зміни заряду крапель \(\Delta q\) і сам заряд \(q\) були завжди цілими кратними одній і тій же мінімальній величині:

\begin{equation} \label {eq:elementary_charge} |e| \approx 4{,}80 \cdot 10^{-10} \ \text {Фр} = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \ \text {Кл}. \end{equation}

За відомими значеннями питомого заряду \(e/m\) і заряду \(e\) електрона можна знайти масу:

\begin{equation} \label {eq:electron_mass} \frac {|e|}{|e/m|} = m \approx 9{,}11 \cdot 10^{-28} \ \text {г}. \end{equation}

Значення досліду Міллікена полягає в тому, що була експериментально доведена дискретність електричного заряду.

Підсумки

Рух зарядженої частинки в електричному й магнітному полях визначається її питомим зарядом \(q/m\) та початковими умовами: саме ця комбінація, а не заряд і маса окремо, входить у рівняння руху. Основні результати:

• • однорідне \(\Efield \) — рівноприскорений рух (11.2);

• • однорідне \(\Bfield \) — рівномірний рух уздовж поля й обертання з циклотронною частотою \(|\omega _c| = |q|B/mc\) по колу ларморівського радіуса \(R = mcv_{\perp }/(|q|B)\), тобто гвинтова лінія; сила Лоренца не виконує роботи;

• • \(\Efield \parallel \Bfield \) — спіраль зі зростаючим кроком;

• • \(\Efield \perp \Bfield \), \(E < B\) — до обертання додається дрейф \(\vect {u} = c\,\Efield \times \Bfield /B^2\), що не залежить ні від знака заряду, ні від маси; траєкторія — трохоїда, а за \(|v_0| = |u|\) (зокрема з нульовою початковою швидкістю) — циклоїда;

• • ефект Холла: \(U_H = \dfrac {1}{nqc}\dfrac {IB}{d}\), \(R_H = \dfrac {1}{nqc}\); знак \(U_H\) визначає тип носіїв заряду;

• • метод Томсона: компенсація відхилення дає \(v_0 = cE/B\) (фільтр швидкостей) і питомий заряд \(q/m\); дослід Міллікена: \(q = 6\pi \eta r\,(v_0 + v_E)/E\), заряд краплі кратний \(e\).

Ці два вимірювання дають змогу знайти й саму масу електрона: \(m = |e|/|e/m| \approx 9{,}11\cdot 10^{-28}\) г.

Задачі