Електрика та магнетизм

Розділ 2 Постійне електричне поле у вакуумі

2.1 Електромагнітне поле

Закон Кулона описує взаємодію електричних зарядів на відстані, що ставить фундаментальне питання: як саме ці заряди «відчувають» один одного? Подібне питання виникло раніше у теорії всесвітнього тяжіння Ісаака Ньютона. Ньютон свідомо відмовився приписувати гравітації який-небудь механізм — матеріальний посередник, ефір чи щось подібне — обмежившись математичним описом того, як тіла взаємодіють, без відповіді на питання, чому і за допомогою чого. У другому виданні «Начал» (1713) він так сформулював цю позицію: «Hypotheses non fingo» («Я не вигадую гіпотез»), залишивши питання про механізм взаємодії для майбутніх досліджень. Закон працював з приголомшливою точністю, однак сама ідея миттєвої дії на відстані (actio in distans) суперечила інтуїції про те, що будь-який вплив повинен якимось чином поширюватися у просторі.

У фізиці існували два підходи до пояснення природи взаємодії. Теорії далекодії стверджували, що сила передається миттєво через порожній простір, тоді як теорії близькодії припускали наявність матеріального посередника, який переносить цю взаємодію.

Закон Кулона успадковує ту саму проблему, що й закон тяжіння Ньютона. Записуючи \(\vect {F} = \dfrac {q_1 q_2}{r^2}\,\dfrac {\vect {r}}{r}\), ми неявно припускаємо, що сила залежить лише від миттєвого взаємного розташування зарядів. Але чи справді це так? Уявімо, що заряд \(q_1\) раптово зміщується вбік. Якщо закон Кулона буквально відображає фізичну реальність, то заряд \(q_2\) на відстані \(r\) повинен миттєво «відчути» цю зміну. Проте дослід показує, що жодний сигнал чи збурення не передається миттєво — будь-яка зміна поширюється у просторі зі скінченною швидкістю. Правильніше очікувати, що заряд \(q_2\) «дізнається» про зміщення \(q_1\) не одразу, а лише через деякий час \(\Delta t\), необхідний, щоб інформація встигла дійти від одного заряду до іншго. До цього моменту \(q_2\) продовжує «відчувати» старе положення заряду \(q_1\), ніби він досі там перебуває.

Це запізнення взаємодії і є найпростішим доказом того, що носієм взаємодії не можуть бути самі заряди чи миттєвий геометричний зв’язок між ними, а мусить бути щось третє. Вирішальний внесок у розуміння того, чим саме є це «третє», зробив Майкл Фарадей. Він запропонував ідею поля — фізичного об’єкта, що виникає навколо заряджених тіл, займає простір між ними, має власну енергію та імпульс і слугує посередником у передачі сил між зарядами. Джеймс Клерк Максвелл розвинув ідеї Фарадея, створивши математичну теорію такого поля, яке називається електромагнітним, згідно з його теорією інформація про зміну одного заряду поширюється до іншого через це поле зі скінченною швидкістю.

Закон Кулона в його класичному, статичному вигляді є лише граничним випадком більш загальної теорії — випадком, коли заряди нерухомі й запізненням можна знехтувати.

2.2 Напруженість поля

Отже, взаємодія зарядів здійснюється не миттєво і не напряму, а через поле — фізичний об’єкт, що існує в кожній точці простору незалежно від того, чи перебуває там інший заряд. Щоб працювати з цим об’єктом математично, потрібно навчитися описувати його кількісно: задавати, наскільки «сильним» є поле в тій чи іншій точці простору.

Найпростіший випадок — коли заряди, що створюють поле, нерухомі. Тоді поле також не змінюється з часом і називається електростатичним. Саме з нього зручно почати, оскільки в цьому випадку запізненням, про яке йшлося вище, можна знехтувати: поле встигає «підлаштуватися» під положення зарядів, і немає потреби окремо враховувати швидкість поширення взаємодії.

Для опису властивостей електричного поля і його ролі у взаємодії зарядів вводять кількісну характеристику, яка називається напруженістю електричного поля.

Напруженість визначають через силу, яка діє на пробний заряд — точковий додатний заряд настільки малого значення, що його присутність не впливає на розподіл зарядів, які створюють поле. Це забезпечує можливість досліджувати поле без змін його властивостей. Експериментально встановлено, що відношення сили \(\vect {F}\), яка діє на пробний заряд \(q\), до його величини є сталою для кожної точки поля. Це відношення і визначає напруженість електричного поля:

\begin{equation} \label {eq:E} \tcbhighmath {\Efield = \frac {\vect {F}}{q},} \end{equation}

де \(\Efield \) — векторна величина, яка характеризує поле в даній точці.

Ця концепція ґрунтується на принципі близькодії: сила, що діє на пробний заряд, визначається полем, а не іншими зарядами. У результаті сила \(\vect {F}\), яка діє на пробний заряд \(q\), може бути подана у вигляді:

\begin{equation} \vect {F}(\vect {r}) = q\Efield (\vect {r}), \end{equation}

де \(\vect {r}\) — радіус-вектор, що визначає положення точки в просторі, у якій знаходиться пробний заряд (рис. 2.1).

З означення напруженості електричного поля видно, що ця величина є силовою характеристикою поля, оскільки принцип її вимірювання полягає у визначенні сили, яка діє на пробний заряд.

Знайдемо напруженість електростатичного поля, яке створюється точковим нерухомим зарядом \(Q\). Положення заряду задаємо радіус-вектором \(\vect {r}'\). Із закону Кулона можна легко знайти напруженість, як функцію точки спостереження, яка задається радіус-вектором \(\vect {r}\) (рис. 2.2):

\begin{equation} \label {eq:pointE} \tcbhighmath { \Efield (\vect {r}) = \frac {Q}{|\vect {r} - \vect {r}'|^2}\ \frac {\vect {r} - \vect {r}'}{|\vect {r} - \vect {r}'|}. } \end{equation}

Напруженість поля заряджених тіл складної геометричної форми можна знайти за принципом суперпозиції.

Розглянемо електричне поле двох точкових зарядів \(q_1\) і \(q_2\). Нехай \(\Efield _1\) — напруженість поля в точці а, створювана зарядом \(q_1\) (коли заряду \(q_2\) немає зовсім), а \(\Efield _2\) — напруженість поля заряду \(q_2\) (коли немає заряду \(q_1\)). Дослід показує, що напруженість \(\Efield \) результуючого поля (за наявності обох зарядів) може бути знайдена за правилом додавання векторів (рис. 2.3).

Правило векторного додавання електричних полів справедливе не тільки для двох, а й для будь-якої системи зарядів. Якщо \(\Efield _1\), \(\Efield _2\), …, \(\Efield _n\) — напруженості полів, створюваних окремими зарядами в якій-небудь точці, то напруженість \(\Efield \) результуючого поля в тій самій точці дорівнює:

\begin{equation} \Efield = \sum _{i=1}^{n} \Efield _i, \end{equation}

це співвідношення виражає принцип суперпозиції електричних полів і являє собою важливу властивість електричного поля.

Якщо заряди розподілені неперервно, то принцип суперпозиції буде мати вигляд:

\begin{equation} \Efield = \int d\Efield , \end{equation}

де \(d\Efield \) — напруженість електричного поля, створювана елементарним зарядом \(dq\), а інтегрування ведеться за всією областю, в якій розподілені заряди. Для різних типів розподілів використовуються відповідні диференціальні елементи заряду:

• • Для лінійного розподілу: \(dq = \lambda \, dl\), де \(\lambda \) — лінійна густина заряду, \(dl\) — елемент довжини.

• • Для поверхневого розподілу: \(dq = \sigma \, dS\), де \(\sigma \) — поверхнева густина заряду, \(dS\) — елемент площі.

• • Для об’ємного розподілу: \(dq = \rho \, dV\), де \(\rho \) — об’ємна густина заряду, \(dV\) — елемент об’єму.

В разі об’ємного розподілу напруженість поля визначається як (рис. 2.4):

\begin{equation} \label {eq:intE} \Efield (\vect {r}) = \iiint \limits _V \frac {\rho (\vect {r}')dV'}{|\vect {r} - \vect {r}'|^2}\ \frac {\vect {r} - \vect {r}'}{|\vect {r} - \vect {r}'|}. \end{equation}

2.3 Силові лінії та математичне поняття поля

У механіці ми звикли до векторів, які описують сили, що діють на тіла. Ці вектори мають певну величину та напрямок, і ми могли переносити їх у просторі, змінюючи положення вздовж лінії дії сили, щоб їх додавати. Однак у фізиці поняття вектора набагато ширше. Наприклад, вектор напруженості \(\Efield (\vect {r})\) це вектор, що «прикріплений» до точки простору \(\vect {r}\). В іншій точці, його величина і напрямок можуть бути зовсім іншими. Кажуть, що всі ці вектори утворюють векторне поле. З математичного погляду, електричне поле є полем вектора \(\Efield \). Це поле силове, оскільки є силовою характеристикою.

Окрім силових полів, є й інші приклади векторних полів, такі як поле швидкостей рідини, що тече. У цьому випадку кожній точці рідини приписується вектор, що описує її швидкість у певний момент часу.

Поля можуть бути не тільки векторними, а й скалярними, коли кожній точці простору приписується не вектор, а просто число. Наприклад, температура \(T(\vect {r})\) є скалярним полем, оскільки кожній точці простору \(\vect {r}\) відповідає лише її числове значення, без напрямку.

Електричне поле можна зобразити графічно накресливши в багатьох точках простору по вектору так, щоб кожен із них показував напруженість і напрямок поля в цій точці (рис. 2.5а). Також можна накреслити лінії, які в будь-якій точці будуть дотичними до цих векторів. Такі лінії для електричного поля називаються силовими лініями (рис. 2.5б). Силовій лінії надають напрямок, позначаючи стрілкою.

Густота силових ліній пропорційна величині напруженості: чим більша напруженість, тим більше ліній перетинають одиницю площі, що перпендикулярна до них.

Зображуючи силові лінії поля, ми отримуємо своєрідні графіки або карти поля, які відразу наочно показують, чому дорівнює напруженість у різних частинах поля і як вона змінюється в просторі.

Вигляд картини силових ліній можна отримати в експерименті занурюючи електроди ванну, заповнену суспензією манної крупи в касторовій олії.

Аналітично також можна розрахувати вигляд силових ліній. Оскільки елемент лінії \(d\symbfscr {l}\) в кожній точці паралельний до вектора напруженості, то вводячи деякий неособливий параметр \(p\), можна записати диференціальне рівняння:

\begin{equation} d\symbfscr {l} = p\Efield , \end{equation}

або в проекціях:

\begin{equation} \label {eq:field_lines_equation} \frac {dx}{E_x} = \frac {dy}{E_y} = \frac {dz}{E_z}. \end{equation}

На рис. 2.6 як приклад наведено картину силових ліній пари точкових зарядів, розрахованими чисельними методами за формулою (2.8).

2.4 Теорема Гаусса

Якщо відомо розташування зарядів, то поле \(\Efield \) цих зарядів може бути визначено за принципом суперпозиції. Для простих випадків це досить легко робити. Проте, є випадки, коли геометрією розподілу зарядів така, що аналітичні розрахунки виконати не можна. Тому в теорії поля були введені допоміжні концепції та методи, які спрощують обчислення і аналіз полів у складних системах, дозволяючи ефективніше проводити аналіз та розв’язати задачі аналітично.

Далі вводяться нові концепції та методи, які дадуть змогу це робити.

Потік векторного поля

Важливими новими поняттями, які ми будемо тут вводити, є поняття потоку вектора. Це поняття використовується при формулюванні найважливіших властивостей електричного, магнітного та інших векторних полів. Поняття потоку прийшло з гідродинаміки, де течію рідини можна розглядати як поле вектора швидкості \(\vect {v}\). Порахуємо об’єм рідини \(dV\), що протікає за час \(dt\) через поверхню \(S\) (рис. 2.7).

З геометрії рисунка видно, що:

\begin{equation*} \frac {dV}{dt} = \frac {S d\ell \cos \theta }{dt} = \frac {d\ell }{dt} S\cos \theta = v_n S = \vect {v} \cdot \vect {n}\ S = \vect {v} \cdot \vect {S}, \quad \vect {S} = \vect {n}S \end{equation*}

Об’єм рідини, що протікає за одиницю часу \(dV/dt = \Phi \) через поверхню \(S\) виражається через скалярний добуток вектора швидкості \(\vect {v}\) і вектора площі \(\vect {S}\) і називається потоком вектора швидкості!

Для довільної (не обов’язково плоскої) поверхні потік через елементарну площадку \(d\Phi = v_n dS = \vect {v}\cdot d\vect {S}\). А через всю поверхню \(S\) (рис. 2.8):

\begin{equation*} \Phi _v = \iint \limits _S \vect {v}\cdot d\vect {S} \end{equation*}

Потік вектора \(\Efield \)

Потік вектора \(\Efield \) через елементарну площадку \(dS\):

\begin{equation*} d\Phi = E_n dS = \Efield \cdot d\vect {S}. \end{equation*}

Інтеграл

\begin{equation} \Phi = \iint \limits _S \Efield \cdot d\vect {S} = \iint \limits _S E_n\ dS \end{equation}

називають потоком вектора напруженості електричного поля \(\Efield \) через поверхню \(S\), хоча з цим поняттям і не пов’язана жодна реальна течія.

Теорема Гаусса

Потік вектора \(\Efield \) крізь довільну замкнуту поверхню \(S\) має таку властивість, що він залежить тільки від сумарного заряду, що охоплюється цією поверхнею:

\begin{equation} \label {eq:GaussThm}\tag {2.15а} \tcbhighmath { \oiint \limits _{S} \Efield \cdot d\vect {S} = 4\pi \sum \limits _i q_i, } \end{equation}

де кружок біля інтеграла нагадує нам, що інтегрування проводиться по замкнутій поверхні \(S\). Це твердження має назву теореми Гаусса.

Доведемо теорему. Спочатку розглянемо поле одного точкового заряду \(q\). Оточимо цей заряд довільною замкнутою поверхнею \(S\) (рис. 2.9) і знайдемо потік вектора \(\Efield \) крізь елемент \(d\vect {S}\):

\begin{equation*} d\Phi = \Efield \cdot d\vect {S} = E dS\cos \alpha = \frac {q}{r^2} dS \cos \alpha = q d \Omega . \end{equation*}

де \(d \Omega \) — тілесний кут, що спирається на елемент поверхні \(dS\), з вершиною в точці розташування заряду \(q\). Інтегрування цього виразу по всій поверхні \(S\) еквівалентно інтегруванню по всьому тілесному куту \(\Phi = \int d\Phi = \int q d\Omega = 4\pi q\), як і вимагає (2.15а).

Коли заряди розподілені неперервно з об’ємною густиною \(\rho (x,y,z)\), що залежить від координат, можна вважати, що кожен елементарний об’єм \(dV\) містить «точковий» заряд \(\rho dV\). Тоді в правій частині (2.15а):

\begin{equation*} q_V = \iiint \limits _V \rho dV, \end{equation*}

де інтегрування проводиться тільки за об’ємом, який оточується замкнутою поверхнею \(S\), тоді

\begin{equation} \tag {2.15б} \tcbhighmath { \oiint \limits _{S} \Efield \cdot d\vect {S} = 4\pi \iiint \limits _{V} \rho dV. } \end{equation}

Стрілка в цій формулі нагадує, що об’єм \(V\) охоплюється замкненою поверхнею \(S\)¹.

Теорема Ерншоу

Нехай у вакуумі є система нерухомих точкових зарядів, що перебувають у рівновазі. Розглянемо один із цих зарядів — заряд \(q\). Чи може стан його рівноваги бути стійким?

Оточимо заряд \(q\) невеликою замкнутою поверхнею \(S\) (рис. 2.10). Нехай, для визначеності, \(q > 0\). Для того щоб рівновага заряду \(q\) була стійкою, необхідно, щоб у всіх точках поверхні \(S\) поле \(\Efield \), утворене всіма іншими зарядами системи, було спрямоване до заряду \(q\): тільки в цьому разі за будь-якого малого зсуву заряду \(q\) з положення рівноваги на нього діятиме сила, яка повертатиме його назад, і положення рівноваги справді буде стійким. Але така конфігурація поля \(\Efield \) навколо заряду \(q\) суперечить теоремі Гаусса: потік вектора \(\Efield \) крізь поверхню \(S\) є від’ємним, згідно ж з теоремою Гаусса він має дорівнювати нулю, оскільки цей потік створюється зарядами, розташованими поза поверхнею \(S\). А рівність потоку вектора \(\Efield \) нулю означає, що в якихось точках поверхні \(S\) вектор \(\Efield \) спрямований усередину, а в якихось обов’язково назовні. Звідси випливає, що стійка рівновага заряду в будь-якому електростатичному полі неможлива. Це твердження має назву теореми Ерншоу. Вона, як видно з вищесказаного, є наслідком теореми Гаусса. Теорему можна ще сформулювати по іншому: будь-яка рівноважна конфігурація точкових зарядів нестійка, якщо на них окрім кулонівських сил не діють інші сили.

Важливим висновком із теореми Ерншоу є те, що два різнойменні заряди, наприклад, електрон і ядро атома, не можуть залишатися в стані спокою — такої стійкої конфігурації не існує. Електрон має якимось чином рухатись в атомі.

Зв’язок скалярних та векторних полів у сусідніх точках (математичні відомості)

Часто виникає необхідність визначити, як змінюється значення поля в околі певної точки. Для цього можна використати наближені вирази, які дозволяють оцінити зміну значення поля для малих зсувів. У випадку скалярної функції однієї змінної, можна застосувати перший член ряду Тейлора, що дає вираз:

\begin{equation*} f(x + \epsilon ) = f(x) + \frac {df}{dx}\epsilon , \quad \epsilon \to 0. \end{equation*}

Це співвідношення легко узагальнюється для випадку скалярної функції кількох просторових змінних:

\begin{multline*} f(x + \epsilon _x, y + \epsilon _y, z + \epsilon _z) = f(x, y, z) + \frac {\partial f(x, y, z)}{\partial x} \epsilon _x + \frac {\partial f(x, y, z)}{\partial y} \epsilon _y + \frac {\partial f(x, y, z)}{\partial z} \epsilon _z, \\ \epsilon _x, \epsilon _y, \epsilon _z \to 0. \end{multline*}

Для скалярної функції \(f(\vect {r})\) останнє співвідношення можна записати в більш лаконічному вигляді:

\begin{equation} \label {eq:sc_diff} \tcbhighmath { f(\vect {r} + \vect {\epsilon }) = f(\vect {r}) + \vect {\epsilon }\cdot \vect {\nabla }f(\vect {r}). } \end{equation}

Для векторної функції \(\vect {f}(\vect {r})\) формула буде виглядати як:

\begin{multline*} \vect {f}(x + \epsilon _x, y + \epsilon _y, z + \epsilon _z) = \vect {f}(x, y, z) +\left ( \epsilon _x \frac {\partial }{\partial x} + \epsilon _y \frac {\partial }{\partial y} + \epsilon _z\frac {\partial }{\partial z}\right ) \vect {f}(x,y,z), \\ \epsilon _x, \epsilon _y, \epsilon _x \to 0, \end{multline*}

або в більш лаконічному вигляді:

\begin{equation} \label {eq:vec_diff} \tcbhighmath { \vect {f}(\vect {r} + \vect {\epsilon }) = \vect {f}(\vect {r}) + (\vect {\epsilon }\cdot \vect {\nabla })\vect {f}(\vect {r}). } \end{equation}

Теорема Гаусса в диференціальній формі

Виділимо в просторі нескінченно малий прямокутний паралелепіпед зі сторонами \(dx\), \(dy\), \(dz\), що паралельні до координатних осей (рис. 2.12).

На грані \(1\) зовнішня нормаль спрямована у від’ємний бік осі \(y\). Тому потік вектора \(\Efield \) через цю грань буде \(-E_y(y) dx dz\). На протилежній грані \(2\), навпаки, напрямок зовнішньої нормалі збігається з позитивним напрямком осі \(y\), і для потоку через цю грань слід писати \(E_y(y + dy) dx dz\). Сума обох потоків буде:

\begin{equation*} \left [E_y(y + dy) - E_y(y) \right ] dxdz = \left ( \frac {\partial E_y}{\partial y} dy\right ) dxdz = \frac {\partial E_y}{\partial y} dV. \end{equation*}

Тут використано формулу (2.16), де \(f(y) = E_y(y)\), а \(\epsilon _y = dy\).

Аналогічно знайдуться потоки через дві пари інших граней. Повний потік через усю поверхню паралелепіпеда:

\begin{equation*} d\Phi = \left ( \frac {\partial E_x}{\partial x} + \frac {\partial E_y}{\partial y} + \frac {\partial E_z}{\partial z} \right ) dV = \divg \Efield \ dV. \end{equation*}

За теоремою Гаусса той самий потік дорівнює \(4\pi \rho dV\). Прирівнюючи обидва вирази, отримаємо

\begin{equation} \Div \Efield \equiv \tcbhighmath { \divg \Efield = 4\pi \rho . } \end{equation}

Цей вираз є теоремою Гаусса в диференціальній формі.

Величина \(\divg \Efield \) (або ще позначається як \(\Div \Efield \)) називається дивергенцією вектора \(\Efield \).

\begin{equation} (\Div \Efield \equiv )\ \divg \Efield = \frac {\partial E_x}{\partial x} + \frac {\partial E_y}{\partial y} + \frac {\partial E_z}{\partial z}. \end{equation}

У диференціальній формі теорема Гаусса є локальною теоремою: дивергенція поля \(\Efield \) у даній точці залежить тільки від густини електричного заряду \(\rho \) у тій самій точці і більше ні від чого (рис. 2.13).

2.5 Зауваження щодо інтегральної та диференціальної форми теореми Гаусса

Теорема Гаусса в диференціальній формі є наслідком теореми в інтегральній формі. Обидві форми математично еквівалентні. Але, диференціальна форма має сенс лише в тому випадку, коли заряд розподілений в просторі зі скінченною густиною \(\rho \). Якщо \(\rho \) обертається на нескінченність у окремих точках, на лініях або поверхнях, то диференціальна форма стає незастосовною, тоді як інтегральна форма може бути застосована і в таких випадках². У цьому сенсі інтегральна форма має більшу математичну спільність, ніж диференціальна. Однак розривні розподіли заряду з нескінченно великими значеннями \(\rho \) є математичними абстракціями й у фізиці повинні розглядатися як граничні випадки безперервних розподілів з усюди скінченними значеннями \(\rho \). Якщо це мати на увазі, то можна стверджувати, що інтегральна і диференціальна форми теореми Гаусса повністю еквівалентні.

2.6 Потенціальність електростатичного поля

Робота сил поля, що виконується при переміщенні заряду \(q\) шляхом \(L\) в полі \(\Efield \), дорівнює

\begin{equation*} A = \int \limits _L q\Efield \cdot d\vect {r}, \end{equation*}

де знак \(L\) в інтеграла означає, що необхідно обчислити суму значень підінтегрального виразу для всіх елементів кривої \(L\) (рис. 2.14). Ця операція називається інтегруванням вздовж довільної кривої \(L\), а інтеграл називається криволінійним.

Розглянемо поле точкового заряду \(Q\) (2.6). Для зручності помістимо його у початок координат \(\vect {r}' = 0\), тоді \(\Efield = \frac {Q\vect {r}}{r^3}\) і робота при переміщені пробного заряду в полі точкового заряду \(Q\) дорівнює (рис. 2.14):

\begin{equation} \label {eq:Ainitial} A = q \int \limits _L \frac {Q}{r^3}\vect {r}\cdot d\vect {r} = \int \limits _{r_1}^{r_2} \frac {Q}{r^2} dr = q\left (\frac {Q}{r_1} - \frac {Q}{r_2}\right ), \end{equation}

де враховано що \(\vect {r}\cdot d\vect {r} = rdr\), в у чому легко переконатися, диференціюючи тотожність \(\vect {r}^2 = r^2\). Ця робота не залежить від траєкторії, що з’єднує початкову і кінцеву точки. Силові поля, що задовольняють такій умові, називаються потенціальними або консервативними. Отже, поле точкового заряду — потенціальне. З принципу суперпозиції очевидно, що сума потенціальних полів є теж поле потенціальне.

В потенціальному полі робота дорівнює зміні потенціальної енергії зі зворотнім знаком

\begin{equation} \label {eq:A=-DU} A = \int \limits _L q\Efield \cdot d\vect {r} = U_1 - U_2 = - \Delta U. \end{equation}

Ми можемо ввести поняття потенціалу, як потенціальну енергію одиничного пробного заряду:

\begin{equation} \tcbhighmath {\phi = \frac {U}{q},} \end{equation}

і формула (2.22) тоді прийме вигляд

\begin{equation} \label {eq:Dphi} \tcbhighmath {\phi _1 - \phi _2 = \int \limits _L \Efield \cdot d\vect {r},} \end{equation}

називається різницею потенціалів між точками \(1\) та \(2\), а робота сил електростатичного поля при переміщенні пробного заряду \(q\) довільним шляхом з початкової точки \(1\) у кінцеву точку \(2\) тоді прийме вигляд:

\begin{equation} A = q(\phi _1 - \phi _2). \end{equation}

Потенціалу будь-якої довільної точки \(\vect {r}_0\) поля можна умовно приписати будь-яке значення \(\phi _0\). Тоді потенціали всіх інших точок поля визначаються згідно з (2.24) однозначно. Якщо змінити \(\phi _0\) на деяку величину \(C\), то на таку саму величину зміняться і потенціали в усіх інших точках поля. Таким чином, потенціал \(\phi \) визначається з точністю до довільної адитивної постійної. Значення цієї постійної не відіграє ролі, оскільки всі електричні явища залежать від різниці потенціалів.

Оскільки електростатичне поле консервативне, то про русі пробного заряду \(q\) масою \(m\) зі швидкість \(\vect {v}\) в такому полі його повна енергія \(E\) зберігається:

\begin{equation} E = T + U = \frac {mv^2}{2} + q\phi = \const , \end{equation}

де \(T = \frac {mv^2}{2}\) — кінетична енергія пробного заряду, а \(U = q\phi \) його потенціальна енергія.

У випадку точкового заряду, або просторово обмеженої системи зарядів за початок відліку потенціалу зручно вибрати нескінченно віддалену точку, вважаючи \(\phi (\vect {r}_0 \to \infty ) = 0\). Як видно з (2.21), потенціал поля точкового заряду \(Q\) можна записати як \(\phi = \frac {Q}{r}\), або для довільного положення заряду, яке задається радіус-вектором \(\vect {r}'\):

\begin{equation} \phi (\vect {r}) = \frac {Q}{|\vect {r} - \vect {r}'|}. \end{equation}

З принципу суперпозиції напруженості поля і формули (2.24) випливає принцип суперпозиції для потенціалу:

\begin{equation} \phi = \sum _{i = 1}^{n} \phi _i = \sum _{i = 1}^{n} \frac {Q_i}{|\vect {r} - \vect {r}_i|}. \end{equation}

У випадку неперервного розподілу заряду, потенціал можна знайти як:

\begin{equation} \phi = \iiint \limits _V \frac {\rho (\vect {r}') dV'}{|\vect {r} - \vect {r}'|}. \end{equation}

Зв’язок напруженості та потенціалу

Формула (2.24) справедлива не тільки для кінцевих переміщень, а й для елементарних \(d\vect {r}\). Тоді згідно з цією формулою елементарний спад потенціалу на цьому переміщенні є

\begin{equation} \label {eq:dphi} -d\phi = \Efield \cdot d\vect {r} \end{equation}

можна встановити зв’язок між векторною та скалярною характеристиками поля у вигляді:

\begin{equation} \label {eq:E=-Dphi} \tcbhighmath {\Efield = - \vect {\nabla }\phi }= - \left ( \frac {\partial \phi }{\partial x} \vect {e}_x + \frac {\partial \phi }{\partial y} \vect {e}_y + \frac {\partial \phi }{\partial z} \vect {e}_z\right ). \end{equation}

Еквіпотенціальні поверхні

Еквіпотенціальної поверхні — поверхні, у всіх точках якої потенціал \(\phi \) має одне й те саме значення.

На еквіпотенціальній поверхні, як видно з формули (2.30) силова лінія перпендикулярна до цієї поверхні:

\begin{equation*} \Efield \perp d\vect {r}\ {\color {red}\Rightarrow }\ -d\phi = \Efield \cdot d\vect {r} = 0\ {\color {red}\Rightarrow }\ \phi = \const . \end{equation*}

Якщо ми будемо переміщуватись по нормалі до еквіпотенціальної поверхні в бік зменшення \(\phi \), то з (2.31) випливає, що вектор \(\Efield \) спрямований у кожній точці по нормалі до еквіпотенціальної поверхні саме в цей бік — у бік зменшення потенціалу \(\phi \) (рис. 2.15).

\begin{equation*} \phi _1 < \phi _2 < \phi _3 < \phi _4 < \phi _5 \end{equation*}

Еквіпотенційні поверхні проводять так, щоб різниця потенціалів для двох сусідніх поверхонь була б однаковою. Тоді за густотою еквіпотенціальних поверхонь можна наочно судити про значення напруженості поля в різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, там напруженість поля більша.

Картина еквіпотенціальних поверхонь в електростатичному пролі є аналогією рельєфу на поверхні землі (рис. 2.16). Подібно до рівнів висоти на топографічній карті (рис. 2.16а), еквіпотенційні поверхні в електростатичному полі відображають місця з однаковим значенням потенціалу \(\phi \) (рис. 2.16б). Напрямок електричного поля \(\Efield \) цьому порівнянні відповідає найкрутішому спуску зі схилу, а його величина визначає крутизну цього спуску. Наприклад, у місцевості зі стрімкими горами лінії висоти розташовані щільніше, що вказує на крутий схил; аналогічно в електростатичному полі, щільність еквіпотенціальних поверхонь вказує на більшу напруженість поля. Така аналогія не дивна, адже потенціал гравітаційного поля безпосередньо пов’язаний із висотою: для однорідного гравітаційного поля потенціал пропорційний висоті точки над рівнем моря \(\phi _g = gh\). Еквіпотенційні поверхні у цьому випадку збігаються з горизонтальними рівнями ландшафту, що підкреслює схожість з електростатичним потенціалом.

Потенціал електричного поля є неперервною функцією простору. Це означає, що в будь-якій точці простору (за винятком місць розташування точкових зарядів) потенціал змінюється плавно і не має розривів. Якщо потенціал був би розривним у якій-небудь точці, це означало б, що в цій точці напруженість поля була б нескінченно великою (оскільки градієнт потенціалу у точці розриву мав би нескінченне значення, як видно з формули (2.31)). Однак нескінченно велике поле є фізично неможливим у реальних умовах. Тому потенціал має змінюватися плавно і бути неперервним у просторі, за винятком точок, де зосереджені заряди (де можливі особливості у вигляді дискретних змін потенціалу).

2.7 Циркуляція вектора \(\Efield \)

Оскільки робота поля над зарядом не залежить від форми траєкторії — то для довільної замкненої траєкторії \(L\) (рис. 2.17) маємо

\begin{equation} \tcbhighmath { \oint \limits _L \Efield \cdot d\vect {r} = 0 } \end{equation}

Цей інтеграл називається циркуляцією вектора \(\Efield \) по контуру \(L\), а рівність називається теоремою про циркуляцію в інтегральній формі.

Теорема про циркуляцію в диференціальній формі

Нехай замкнутий контур \(L(S)\) охоплює малу поверхню площею \(S\). Вектор \(S\) спрямований за нормаллю до розглянутої площадки і за величиною дорівнює площі цієї площадки: \(\vect {S} = \vect {n}S\), \(|\vect {n}| = 1\). Напрямок вектора \(\vect {S}\) задається позитивним напрямком обходу контуру \(L\) і визначається правилом гвинта.

Виділимо в площині нескінченно малий прямокутний контур зі сторонами \(dx\), \(dy\), що паралельні до координатних осей (рис. 2.19).

Обчислимо циркуляцію вектора \(\Efield \) вздовж контуру \(1\to 2\to 3\to 4\to 1\) проти годинникової стрілки.

На стороні \(1\)–\(2\) (нижня, обхід у позитивному напрямку осі \(x\)) дотична складова поля дає внесок \(E_x(x,y)\,dx\). На протилежній стороні \(3\)–\(4\) (верхня) обхід іде у від’ємному напрямку осі \(x\), тому внесок дорівнює \(-E_x(x, y+dy)\,dx\). Сума цих двох внесків:

\begin{equation*} -\left [E_x(x, y+dy) - E_x(x,y) \right ] dx = -\left ( \frac {\partial E_x}{\partial y} dy\right ) dx = -\frac {\partial E_x}{\partial y} dS. \end{equation*}

Тут використано формулу (2.16), де \(f(y) = E_x(x,y)\), а \(\epsilon _y = dy\), а \(dS = dx\,dy\) — площа контуру.

Аналогічно, на стороні \(2\)–\(3\) (права, обхід у позитивному напрямку осі \(y\)) внесок дорівнює \(E_y(x+dx, y)\,dy\), а на стороні \(4\)–\(1\) (ліва, обхід у від’ємному напрямку осі \(y\)) внесок дорівнює \(-E_y(x,y)\,dy\). Сума:

\begin{equation*} \left [E_y(x+dx, y) - E_y(x,y) \right ] dy = \left ( \frac {\partial E_y}{\partial x} dx\right ) dy = \frac {\partial E_y}{\partial x} dS. \end{equation*}

Повна циркуляція вздовж усього контуру:

\begin{equation*} d\Gamma = \oint \Efield \cdot d\vect {l} = \left ( \frac {\partial E_y}{\partial x} - \frac {\partial E_x}{\partial y} \right ) dS = (\rot \Efield )_z\, dS. \end{equation*}

Величину \((\rot \Efield )_z\) можна розглядати як \(z\)-компоненту вектора \(\rot \Efield \) (ротора вектора \(\Efield \)), який визначається як границя відношення циркуляції вектора вздовж малого замкненого контуру до площі цього контуру, коли нормаль до контуру \(\vect n\) напрямлена вздовж відповідної осі (тут — вздовж осі \(z\), за правилом правого гвинта відносно напрямку обходу):

\begin{equation*} (\rot \Efield )_n = \lim _{S \to 0} \frac {1}{S}\oint \Efield \cdot d\vect {l}. \end{equation*}

Проводячи аналогічні міркування для контурів у площинах \(yz\) та \(zx\), отримаємо решту компонент, і в результаті повний вираз для ротора у декартових координатах:

\begin{equation} \rot \Efield = \left ( \frac {\partial E_z}{\partial y} - \frac {\partial E_y}{\partial z} \right )\vect {e}_x + \left ( \frac {\partial E_x}{\partial z} - \frac {\partial E_z}{\partial x} \right )\vect {e}_y + \left ( \frac {\partial E_y}{\partial x} - \frac {\partial E_x}{\partial y} \right )\vect {e}_z. \end{equation}

Тобто, коли контур стягується в точку: \(\lim \limits _{S\to 0} \left ( \frac 1S \oint \limits _S \Efield \cdot d\vect {r}\right ) = (\Rot \Efield )_n \) — ця межа являє собою проекцію вектора \(\Rot \Efield \) на напрямок нормалі \(\vect {n}\). З огляду на довільність вибору контуру робимо висновок, що:

\begin{equation*} \Rot \Efield \equiv \tcbhighmath { \rot \Efield = 0. } \end{equation*}

Потенціальні та вихрові поля

Лінії поля або десь починаються і десь закінчуються, або є замкнутими. Так, наприклад, заряди створюють електричне поле, лінії якого починаються або закінчуються на цих зарядах (або в нескінченності). Далі в курсі ми познайомимось з магнітним полем, та навіть з електричним полем, яке не створюється зарядами. Лінії таких полів є замкненими. Точки, в якій лінії поля починаються (або закінчуються), називається джерелом (або стоком) поля. Точка, навколо якої замикаються лінії поля, називається вихором поля. Поля, які мають джерела, називаються потенціальними, а ті які мають вихори — вихровими (рис. 2.20).

2.8 Граничні умови

На границі розділу двох середовищ електричне поле може змінюватися стрибком, але цей стрибок залишається скінченним. Такі стрибки називаються розривами першого роду. Іншими словами, значення електричного поля з одного боку границі відрізняється від значення з іншого боку, але саме поле не стає нескінченним і не зникає на самій поверхні.

Застосуємо теорему Гаусса до поверхні \(S\) нескінченно малого циліндра, що охоплює частину межі розділу двох середовищ (рис. 2.21). Оскільки \(d\vect {S}_1 = - d\vect {S}_2\), \(q = \sigma dS\), \(d\vect {S}_2 = \vect {n}\ dS\), маємо

\begin{equation*} \oiint \limits _S \Efield \cdot d\vect {S} = 4\pi \sigma \ \Rightarrow \Efield _1\cdot d\vect {S}_1 + \Efield _2\cdot d\vect {S}_2 \equiv (\Efield _2 - \Efield _1)\cdot \vect {n}\ dS = 4\pi \sigma dS \end{equation*}

Звідси випливає перша гранична умова:

\begin{equation} \tcbhighmath { E_{2n} - E_{1n} = 4\pi \sigma . } \end{equation}

Нормальна складова вектора \(\Efield \) зазнає стрибка при переході через заряджену границю розділу. Однак якщо заряди на межі розділу відсутні (\(\sigma = 0\)), то \(E_{1n} = E_{2n}\) і стрибка не буде.

Застосуємо теорему про циркуляцію до нескінченно малого прямокутного контуру \(L\), що проходить на нескінченно малій відстані над і під поверхнею розділу середовищ (рис. 2.22). Оскільки \(d\vect {r}_2 = - d\vect {r}_1\), позначимо \(d\vect {r} = d\vect {r}_2 = \vect {\tau } d\ell \) маємо:

\begin{equation*} \oint \limits _L \Efield \cdot d\vect {r} = 0 \Rightarrow \Efield _1\cdot d\vect {r}_1 + \Efield _2\cdot d\vect {r}_2 \equiv (\Efield _2 - \Efield _1)\cdot d\vect {r} \equiv (\Efield _2 - \Efield _1)\cdot \vect {\tau } d\ell = 0, \end{equation*}

де \(\vect {\tau }\) — це одиничний вектор, дотичний до поверхні розділу, \(d\ell \) — елемент контуру.

Звідси випливає друга гранична умова \((\Efield _2 - \Efield _1)\cdot \vect {\tau } = 0\), або еквівалентна форма:

\begin{equation} \tcbhighmath { E_{1\tau } = E_{2\tau }. } \end{equation}

Тангенціальна складова \(\Efield \) виявляється однаковою по обидва боки границі розділу (не зазнає стрибка).

2.9 Рівняння Пуассона та Лапласа

Оскільки \(\Efield = - \vect {\nabla }\phi \) і \(\divg \Efield = 4\pi \rho \), то звідси випливає рівняння Пуассона для потенціалу поля:

\begin{equation*} \tcbhighmath { \nabla ^2\phi = - 4\pi \rho . } \end{equation*}

У області простору, вільній від зарядів (\(\rho = 0\) ), рівняння Пуассона зводиться до рівняння Лапласа

\begin{equation*} \tcbhighmath { \nabla ^2\phi = 0 . } \end{equation*}

Як і будь-яке рівняння в часткових похідних, рівняння Пуассона та Лапласа допускають безліч лінійно незалежних часткових розв’язків. Однак, у конкретній фізичній задачі додатково задаються граничні умови (наприклад, значення потенціалу \(\phi \) на поверхні, що обмежує область, та/або нормальна компонента напруженості електричного поля). Ці умови визначають задачу однозначно. Таким чином, будь-який розв’язок, що задовольняє рівнянню Пуассона або Лапласа і відповідає граничним умовам, буде єдино можливим. Дійсно, якщо при заданих граничних умовах розв’язок не один, то це означатиме, що буде не один електричний «ландшафт», отже, у кожній точці поле \(\Efield \) також буде неоднозначним — що є фізично абсурдним. Це твердження називають теоремою єдиності. Теоремою єдиності можна скористатись, коли нам треба «вгадати» розв’язок рівняння Пуассона (або Лапласа). Якщо розв’язок задачі задовольняє рівнянню Лапласа (або Пуассона) і граничним умовам, то можна стверджувати, що воно є правильним і єдиним, навіть якщо ми його вгадали.

2.10 Повна система рівнянь електростатичного поля у вакуумі

Електростатика досліджує взаємодію нерухомих зарядів та полів, які вони створюють. Основою цього розділу є система рівнянь, що описує властивості електростатичного поля у вакуумі. Ці рівняння формулюються в інтегральній та диференціальній формах.

Інтегральна форма рівнянь

Інтегральні рівняння визначають такі характеристики поля, як потік і циркуляція. У випадку електростатичного поля вони формулюються так:

\begin{alignat} {2} & \oiint \limits _S \Efield \cdot d\vect {S} & & = 4\pi \iiint \limits _V\rho dV, \\ & \oint \limits _L \Efield \cdot d\vect {r} & & = 0. \end{alignat} Перше рівняння є теоремою Гаусса для електричного поля, яке пов’язує потік напруженості через замкнену поверхню \(S\) із загальним зарядом у об’ємі \(V\). Друге рівняння стверджує, що циркуляція електростатичного поля довільному по замкненому контуру \(L\) дорівнює нулю.

Диференціальна форма рівнянь

Диференціальні рівняння визначають такі характеристики поля, як дивергенція і ротор, які є локальними характеристиками:

\begin{alignat} {1} \divg \Efield & = 4\pi \rho , \label {eq:divE} \\ \rot \Efield & = 0. \label {eq:rotE=0} \end{alignat} Перше рівняння відображає зв’язок густини заряду \(\rho \) з дивергенцією напруженості в даній точці простору, тоді як друге стверджує, що електростатичне поле в жодній точці не має вихорів.

Граничні умови

Для повного визначення задачі диференціальні рівняння мають бути доповнені граничними умовами на поверхнях розділу середовищ:

\begin{alignat} {1} E_{2n} - E_{1n} & = 4\pi \sigma , \\ E_{2\tau } & = E_{1\tau }. \end{alignat} Тут \(E_{1n}\) та \(E_{2n}\) — нормальні компоненти напруженості на поверхні з боку різних середовищ, \(\sigma \) — поверхнева густина заряду, а \(E_{1\tau }\) та \(E_{2\tau }\) — тангенціальні компоненти.

Потенціал і рівняння Пуассона

Електростатичне поле є потенціальним, тобто існує скалярний потенціал \(\phi \), зв’язаний із напруженістю поля за рівнянням:

\begin{equation} \Efield = - \grad \phi . \end{equation}

Умова \(\rot \Efield = 0\) є необхідною і достатньою для існування такого потенціалу. Справді, підставимо \(\Efield = -\grad \phi \) у вираз для ротора:

\begin{equation} \rot \Efield = \rot (-\grad \phi ) = 0, \end{equation}

оскільки \(\rot \grad \phi \equiv 0\) для будь-якої двічі диференційованої функції \(\phi \).

Застосовуючи рівняння (2.39), можна отримати диференціальне рівняння для потенціалу, яке називається рівнянням Пуассона:

\begin{equation} \label {eq:Puasson} \nabla ^2\phi = - 4\pi \rho . \end{equation}

У випадку відсутності зарядів (\(\rho = 0\)) рівняння Пуассона спрощується до рівняння Лапласа:

\begin{equation} \label {eq:Laplase} \nabla ^2\phi = 0. \end{equation}

Підсумки

Взаємодія зарядів передається електричним полем — фізичним об’єктом, що існує в кожній точці простору. Кількісно його задає напруженість \(\Efield =\vect F/q\) (2.1), тобто сила, що діє на одиничний пробний заряд. Для напруженості справджується принцип суперпозиції: поле системи зарядів дорівнює векторній сумі полів окремих зарядів. Наочне уявлення про поле дають силові лінії, що починаються на додатних зарядах і закінчуються на від’ємних.

Джерелами електростатичного поля є заряди, і цей зв’язок виражає теорема Гаусса: потік \(\Efield \) крізь довільну замкнену поверхню дорівнює \(4\pi \), помноженому на повний заряд усередині неї. У диференціальній формі вона має вигляд \(\divg \Efield =4\pi \rho \) (2.39) і зв’язує поле із густиною заряду в кожній точці. Інтегральна форма має більшу математичну спільність (вона застосовна й до розривних розподілів заряду), але для фізичних розподілів обидві форми еквівалентні. Із самої теореми Гаусса випливає теорема Ерншоу: стійка рівновага заряду в електростатичному полі неможлива, тому, зокрема, електрон в атомі не може перебувати в стані спокою.

Друга фундаментальна властивість поля — його потенціальність. Робота сил електростатичного поля не залежить від траєкторії, а це рівносильне трьом іншим твердженням: \(\oint _L\Efield \cdot d\vect r=0\), \(\rot \Efield =0\) (2.40) та існування потенціалу, \(\Efield =-\grad \phi \). Потенціал визначено з точністю до адитивної сталої, а еквіпотенціальні поверхні скрізь перпендикулярні до силових ліній. Безвихровий характер поля означає, що його лінії не можуть бути замкненими, на відміну від ліній вихрових полів.

Для повного опису поля на межі двох середовищ рівняння доповнюють граничними умовами: стрибок нормальної складової \(E_{2n}-E_{1n}=4\pi \sigma \) (наслідок теореми Гаусса) і неперервність тангенціальної, \(E_{2\tau }=E_{1\tau }\) (наслідок теореми про циркуляцію). Підстановка \(\Efield =-\grad \phi \) в теорему Гаусса дає рівняння Пуассона \(\nabla ^2\phi =-4\pi \rho \) (2.45), а в області без зарядів — рівняння Лапласа (2.46). За теоремою єдиності розв’язок, що задовольняє рівняння й граничні умови, є єдиним, тому його можна знаходити довільним способом, зокрема вгадуванням.

Система рівнянь електростатики є окремим випадком більш загальної системи рівнянь Максвелла для електромагнітного поля, коли часові похідні полів дорівнюють нулю. У цьому випадку електричне поле описується лише розподілом зарядів. В електростатиці принцип близькодії неочевидний, бо закон Кулона має вигляд далекодії. Повною мірою він проявляється в нестаціонарних процесах, де змінне поле поширюється зі скінченною швидкістю у вигляді електромагнітних хвиль.

Задачі