Електрика та магнетизм
Розділ 19 Довгі лінії. Телеграфні рівняння
19.1 Від зосереджених елементів до розподілених
У попередньому розділі ми розглядали квазістаціонарні кола, де довжина кола \(l\) набагато менша за довжину хвилі \(\lambda = cT\). Для таких кіл справедливі закон Ома, правила Кірхгофа та метод комплексних амплітуд у тій формі, як ми їх виклали. Але вже там, в (18.1), ми бачили межу цього наближення: магістральна лінія електропередачі, кабель зв’язку або доріжка на друкованій платі можуть мати довжину, сумірну з довжиною хвилі. Тоді напруга й струм у різних точках лінії зсунуті за фазою, і коло вже не можна описувати скінченним набором зосереджених елементів \(R\), \(L\), \(C\).
Історична довідка. Історично першими з цією проблемою зіткнулися не фізики, а інженери-телеграфісти. У 1850-х роках між Англією та Францією було прокладено перший підводний телеграфний кабель, а в 1858 році — трансатлантичний. Сигнал у ньому виявився настільки спотвореним, що передавати повідомлення вдавалося лише зі швидкістю кілька слів на хвилину. Причина — саме та, про яку йдеться в цьому розділі: кабель довжиною в тисячі кілометрів уже не можна було вважати квазістаціонарним колом. Теорію, яка це описала, розробили Вільям Томсон (лорд Кельвін) та Олівер Гевісайд — і саме вона лягла в основу сучасної теорії ліній передачі.
Коло з розподіленими параметрами описують не скінченним набором \(R\), \(L\), \(C\), а чотирма погонними параметрами — величинами, віднесеними до одиниці довжини лінії:
-
• \(R_0\) — опір на одиницю довжини;
-
• \(L_0\) — індуктивність на одиницю довжини;
-
• \(G_0\) — провідність витоку на одиницю довжини;
-
• \(C_0\) — ємність на одиницю довжини.
Провідність \(G_0\) описує струми витоку між провідниками лінії — через недосконалість ізоляції. У ідеальному випадку \(G_0 = 0\), але для реальних кабелів цей параметр важливий, особливо на низьких частотах.
19.2 Виведення телеграфних рівнянь
Розглянемо елементарний відрізок лінії довжиною \(dz\) (рис. 19.1). На цьому відрізку зосереджені елементи \(R_0\,dz\), \(L_0\,dz\), \(G_0\,dz\) і \(C_0\,dz\). Позначимо напругу і струм на вході відрізка як \(u(z,t)\) та \(i(z,t)\), а на виході — як \(u(z+dz,t)\) та \(i(z+dz,t)\).
Застосуємо до цього відрізка друге правило Кірхгофа. Сума спадів напруг уздовж верхньої гілки дорівнює нулю:
\(\seteqnumber{0}{19.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:telegrapher_KVL} u(z,t) - R_0\,dz \cdot i(z,t) - L_0\,dz \frac {\partial i(z,t)}{\partial t} - u(z+dz,t) = 0. \end{equation}
Переносячи \(u(z+dz,t)\) у праву частину й ділячи на \(dz\), отримуємо
\(\seteqnumber{0}{19.}{1}\)\begin{equation} \label {eq:telegrapher_first} -\frac {\partial u}{\partial z} = R_0 i + L_0 \frac {\partial i}{\partial t}. \end{equation}
Тут ми скористалися означенням похідної:
\(\seteqnumber{0}{19.}{2}\)\begin{equation*} \frac {u(z+dz,t) - u(z,t)}{dz} \xrightarrow {dz \to 0} \frac {\partial u}{\partial z}. \end{equation*}
Тепер застосуємо перше правило Кірхгофа до вузла на виході відрізка. Струм, що входить у вузол, дорівнює сумі струмів, що виходять:
\(\seteqnumber{0}{19.}{2}\)\begin{equation} \label {eq:telegrapher_KCL} i(z,t) - i(z+dz,t) - G_0\,dz \cdot u(z+dz,t) - C_0\,dz \frac {\partial u(z+dz,t)}{\partial t} = 0. \end{equation}
Ділячи на \(dz\) і переходячи до границі \(dz \to 0\), отримуємо
\(\seteqnumber{0}{19.}{3}\)\begin{equation} \label {eq:telegrapher_second} -\frac {\partial i}{\partial z} = G_0 u + C_0 \frac {\partial u}{\partial t}. \end{equation}
Рівняння (19.2) і (19.4) називаються телеграфними рівняннями у часовій формі. Разом вони утворюють систему двох диференціальних рівнянь першого порядку для двох невідомих функцій \(u(z,t)\) і \(i(z,t)\).
Телеграфні рівняння — це, по суті, закон Ома та правила Кірхгофа, записані для нескінченно малого відрізка лінії. У границі \(dz \to 0\) скінченний набір зосереджених елементів перетворюється на неперервний розподіл параметрів уздовж лінії. Саме тому ці рівняння ще називають рівняннями довгої лінії: вони описують коло, довжина якого вже не мала порівняно з довжиною хвилі. Якщо формально покласти \(L_0 = C_0 = 0\), рівняння зводяться до звичайного закону Ома для розподіленого опору — але саме наявність \(L_0\) і \(C_0\) робить поведінку лінії хвильовою.
19.3 Гармонічний режим. Хвильове рівняння
Розглянемо випадок гармонічних сигналів, коли напруга й струм змінюються за законом \(e^{i\omega t}\). Перейдемо до комплексних амплітуд:
\(\seteqnumber{0}{19.}{4}\)\begin{equation} \label {eq:harmonic_ansatz} u(z,t) = \operatorname {Re}\!\left [V(z) e^{i\omega t}\right ], \qquad i(z,t) = \operatorname {Re}\!\left [I(z) e^{i\omega t}\right ]. \end{equation}
Підставляючи ці вирази в (19.2) і (19.4) і скорочуючи на \(e^{i\omega t}\), отримуємо систему рівнянь для комплексних амплітуд:
\(\seteqnumber{0}{19.}{5}\)\begin{equation} \label {eq:telegrapher_freq} -\frac {dV}{dz} = (R_0 + i\omega L_0) I, \qquad -\frac {dI}{dz} = (G_0 + i\omega C_0) V. \end{equation}
Ці рівняння за формою нагадують закон Ома для ділянки кола, але тепер «опір» і «провідність» розподілені вздовж лінії й залежать від частоти.
Продиференціюємо перше рівняння (19.6) по \(z\) і підставимо в нього друге:
\(\seteqnumber{0}{19.}{6}\)\begin{equation} \label {eq:wave_equation_V} \frac {d^2 V}{dz^2} = (R_0 + i\omega L_0)(G_0 + i\omega C_0) V. \end{equation}
Аналогічно для струму:
\(\seteqnumber{0}{19.}{7}\)\begin{equation} \label {eq:wave_equation_I} \frac {d^2 I}{dz^2} = (R_0 + i\omega L_0)(G_0 + i\omega C_0) I. \end{equation}
Введемо позначення
\(\seteqnumber{0}{19.}{8}\)\begin{equation} \label {eq:propagation_constant} \tcbhighmath { \gamma = \sqrt {(R_0 + i\omega L_0)(G_0 + i\omega C_0)} = \alpha + i\beta , } \end{equation}
яке називається сталою поширення. Тоді рівняння (19.7) і (19.8) набирають вигляду
\(\seteqnumber{0}{19.}{9}\)\begin{equation} \label {eq:helmholtz} \frac {d^2 V}{dz^2} = \gamma ^2 V, \qquad \frac {d^2 I}{dz^2} = \gamma ^2 I. \end{equation}
Це — одновимірні рівняння Гельмгольца.
Загальний розв’язок рівняння для напруги має вигляд
\(\seteqnumber{0}{19.}{10}\)\begin{equation} \label {eq:voltage_solution} \tcbhighmath { V(z) = V^+ e^{-\gamma z} + V^- e^{+\gamma z}, } \end{equation}
де \(V^+\) і \(V^-\) — комплексні сталі, що визначаються граничними умовами. Перший доданок описує хвилю, що поширюється в напрямку \(+z\) (від генератора до навантаження), другий — хвилю, що поширюється в напрямку \(-z\) (відбиту від навантаження). Дійсна частина \(\alpha \) називається сталою затухання і описує зменшення амплітуди хвилі з відстанню; уявна частина \(\beta \) — фазовою сталою і визначає довжину хвилі та фазову швидкість:
\(\seteqnumber{0}{19.}{11}\)\begin{equation} \label {eq:wavelength_phase} \lambda = \frac {2\pi }{\beta }, \qquad v_{\text {ф}} = \frac {\omega }{\beta }. \end{equation}
Підставляючи (19.11) у перше рівняння (19.6), знаходимо вираз для струму:
\(\seteqnumber{0}{19.}{12}\)\begin{equation} \label {eq:current_solution} I(z) = \frac {\gamma }{R_0 + i\omega L_0}\left (V^+ e^{-\gamma z} - V^- e^{+\gamma z}\right ). \end{equation}
Величина
\(\seteqnumber{0}{19.}{13}\)\begin{equation} \label {eq:characteristic_impedance} \tcbhighmath { Z_{\text {хв}} = \frac {R_0 + i\omega L_0}{\gamma } = \sqrt {\frac {R_0 + i\omega L_0}{G_0 + i\omega C_0}} } \end{equation}
називається хвильовим опором лінії. Через неї вираз для струму записується компактно:
\(\seteqnumber{0}{19.}{14}\)\begin{equation} \label {eq:current_via_Z} I(z) = \frac {1}{Z_{\text {хв}}}\left (V^+ e^{-\gamma z} - V^- e^{+\gamma z}\right ). \end{equation}
Хвильовий опір — це не опір у звичному розумінні. Це величина, яка показує, у якому відношенні перебувають напруга й струм у біжучій хвилі. Якщо лінія нескінченно довга або навантажена на \(Z_{\text {н}} = Z_{\text {хв}}\), то відбитої хвилі немає (\(V^- = 0\)), і \(V/I = Z_{\text {хв}}\). Саме тому узгодження навантаження з хвильовим опором лінії — одна з головних задач радіотехніки та НВЧ-техніки. Для лінії без втрат (\(R_0 = G_0 = 0\)) хвильовий опір дійсний: \(Z_{\text {хв}} = \sqrt {L_0/C_0}\). Для коаксіального кабелю з хвильовим опором \(50\) Ом це означає, що напруга і струм у біжучій хвилі збігаються за фазою — так само як на активному опорі.
19.4 Лінія без втрат
Розглянемо важливий граничний випадок, коли втратами в лінії можна знехтувати: \(R_0 = 0\), \(G_0 = 0\). Тоді стала поширення (19.9) стає чисто уявною:
\(\seteqnumber{0}{19.}{15}\)\begin{equation} \label {eq:gamma_lossless} \gamma = i\omega \sqrt {L_0 C_0} = i\beta , \qquad \beta = \omega \sqrt {L_0 C_0}, \qquad \alpha = 0. \end{equation}
Затухання відсутнє, хвиля поширюється без зменшення амплітуди. Фазова швидкість і довжина хвилі дорівнюють
\(\seteqnumber{0}{19.}{16}\)\begin{equation} \label {eq:phase_velocity_lossless} v_{\text {ф}} = \frac {\omega }{\beta } = \frac {1}{\sqrt {L_0 C_0}}, \qquad \lambda = \frac {2\pi }{\beta } = \frac {2\pi }{\omega \sqrt {L_0 C_0}}. \end{equation}
У лінії без втрат фазова швидкість \(v_{\text {ф}}\) не залежить від частоти; у реальній лінії з втратами вона від частоти залежить, і це є причиною дисперсійного спотворення сигналу (див. нижче).
Хвильовий опір стає дійсним:
\(\seteqnumber{0}{19.}{17}\)\begin{equation} \label {eq:char_impedance_lossless} \tcbhighmath { Z_{\text {хв}} = \sqrt {\frac {L_0}{C_0}}. } \end{equation}
Розв’язок для напруги набирає вигляду
\(\seteqnumber{0}{19.}{18}\)\begin{equation} \label {eq:voltage_lossless} V(z) = V^+ e^{-i\beta z} + V^- e^{+i\beta z}. \end{equation}
Переходячи до часової залежності \(u(z,t) = \operatorname {Re}[V(z)e^{i\omega t}]\), отримуємо
\(\seteqnumber{0}{19.}{19}\)\begin{equation} \label {eq:voltage_time_lossless} u(z,t) = |V^+| \cos (\omega t - \beta z + \phi ^+) + |V^-| \cos (\omega t + \beta z + \phi ^-). \end{equation}
Перший доданок описує хвилю, що біжить у напрямку \(+z\) з фазовою швидкістю \(v_{\text {ф}}\); другий — хвилю, що біжить у протилежному напрямку. Якщо відбитої хвилі немає (\(V^- = 0\)), напруга і струм у кожній точці лінії збігаються за фазою, а їхнє відношення дорівнює \(Z_{\text {хв}}\).
Якщо ж відбита хвиля присутня, виникає інтерференційна картина — стояча хвиля, показана на рис. 19.2. Амплітуда сумарної напруги періодично змінюється вздовж лінії: максимуми дорівнюють \(|V^+|+|V^-|\), мінімуми — \(|V^+|-|V^-|\) (при повному відбитті мінімуми перетворюються на вузли). Глибину модуляції характеризує коефіцієнт стоячої хвилі
\(\seteqnumber{0}{19.}{20}\)\begin{equation*} \text {КСХ} = \frac {|V^+|+|V^-|}{|V^+|-|V^-|}. \end{equation*}
Для узгодженого навантаження (відбитої хвилі немає) \(\text {КСХ}=1\), при повному відбитті \(\text {КСХ}\to \infty \).
Для лінії без втрат фазова швидкість \(v_{\text {ф}} = 1/\sqrt {L_0 C_0}\) не залежить від частоти. Це означає, що сигнал довільної форми поширюється без спотворень — усі його спектральні складові біжать з однаковою швидкістю. У реальних лініях з втратами \(v_{\text {ф}}\) залежить від частоти, що призводить до дисперсії: різні складові сигналу приходять у різний час, і імпульс «розмазується». Саме ця проблема мучила перші трансатлантичні кабелі. Гевісайд у 1890-х роках показав, що спотворень можна позбутися, якщо штучно збільшити індуктивність лінії так, щоб виконувалася умова \(R_0/L_0 = G_0/C_0\) — так звана лінія без спотворень. Це відкриття дозволило збільшити швидкість телеграфного зв’язку в кілька разів.
Наочно ефект дисперсійного розмазування показано на рис. 19.3: гауссовий імпульс при поширенні вздовж реальної лінії поступово розширюється і зменшується за амплітудою.
19.5 Польова картина. Зв’язок з рівняннями Максвелла
Теорія довгих ліній оперує інтегральними величинами — напругою \(u(z,t)\) та струмом \(i(z,t)\), — які описують стан лінії як цілого. Проте самі ці величини є лише зручною мовою для опису глибшого фізичного процесу: у просторі, що оточує лінію, існують електричне та магнітне поля, які змінюються з часом і в просторі. Сукупність цих полів і являє собою електромагнітну хвилю. Тому, коли в лінії поширюється біжуча хвиля струму (або напруги), уздовж лінії біжить електромагнітна хвиля; відповідно, відбиття хвилі струму (або напруги) означає відбиття електромагнітної хвилі.
На рис. 19.4 показано лінії електричного та магнітного полів для біжучої хвилі в деякому перерізі двопровідної лінії у фіксований момент часу. Лінії магнітного поля охоплюють провідники, а лінії електричного поля спрямовані від провідника з більшим потенціалом до провідника з меншим потенціалом. Електричне та магнітне поля коливаються у фазі. Обидва вектори лежать у площині поперечного перерізу: поздовжніх складових поля в такій хвилі (для ідеальних провідників) немає, тому її називають поперечною (ТЕМ-хвилею). Вектор Пойнтінга
\(\seteqnumber{0}{19.}{20}\)\begin{equation*} \vect {S} = \frac {c}{4\pi }\,\Efield \times \Hfield \end{equation*}
спрямований уздовж проводів від джерела до навантаження — саме він переносить енергію вздовж лінії.
Важливо розрізняти струм провідності в дротах і струм зміщення між ними. Вздовж проводів тече струм провідності \(i(z,t)\); саме він визначає магнітне поле в перерізі за законом Ампера (19.21). Оскільки напруга \(u\) змінюється в часі, між проводами існує змінне електричне поле, а отже, й струм зміщення, який тече від одного провідника до іншого. Він «замикає» струм, що зменшується вздовж лінії: друге телеграфне рівняння \(-\partial i/\partial z=C_0\,\partial u/\partial t\) (при \(G_0=0\)) якраз і виражає, що частина струму провідності «витікає» з проводу в діелектрик у вигляді струму зміщення. У самих дротах, внаслідок їхньої високої провідності, поле дуже мале, тому струм зміщення там значно менший за струм провідності; в діелектрику, навпаки, струму провідності практично немає. У стоячій хвилі при повному відбитті коливання електричного та магнітного полів зсунуті за фазою на \(\pi /2\).
Положення вузлів і пучностей полів \(\Efield \) і \(\Hfield \) повторюють положення вузлів і пучностей напруги \(u\) і струму \(i\) відповідно.
Провідники довгої лінії самі по собі не «проштовхують» енергію. Вони відіграють роль напрямних елементів (напрямної системи): задають граничні умови для електричного й магнітного полів, змушуючи електромагнітну хвилю поширюватися вздовж лінії.
Зв’язок між характеристиками поля (\(\Efield , \Hfield \)) та величинами в колі (\(u, i\)) визначається інтегральними співвідношеннями в поперечному перерізі лінії:
\(\seteqnumber{0}{19.}{20}\)\begin{equation} \label {eq:field_to_circuit}u(z,t) = \int \limits _{1}^{2} \Efield \cdot d\vect {r}, \qquad i(z,t) = \frac {c}{4\pi } \oint \limits _{C} \Hfield \cdot d\vect {r}, \end{equation}
де перший інтеграл береться вздовж довільної лінії між провідниками \(1\) та \(2\), а другий — за замкненим контуром \(C\), що охоплює один із провідників.
Оскільки структура поля в кожному поперечному перерізі за формою збігається з відповідними задачами електростатики та магнітостатики, погонні параметри визначені суто геометрією провідників та властивостями діелектрика (\(\epsilon \), \(\mu \)).
З фундаментальних рівнянь Максвелла випливає універсальне співвідношення між погонною індуктивністю та ємністю для довільної лінії з двох провідників в однорідному середовищі:
\(\seteqnumber{0}{19.}{21}\)\begin{equation} \label {eq:L0C0_universal}\tcbhighmath { L_0 C_0 = \frac {\epsilon \mu }{c^2}. } \end{equation}
Тут \(\epsilon \) і \(\mu \) — відносні діелектрична та магнітна проникності середовища (у гауссовій системі \(\epsilon _0 = \mu _0 = 1\)). У СІ це співвідношення має вигляд \(L_0 C_0 = \epsilon _0\epsilon \,\mu _0\mu \).
Якщо підставити цей результат у формулу для фазової швидкості хвилі в лінії без втрат \(v_{\text {ф}} = 1/\sqrt {L_0 C_0}\), ми отримаємо:
\(\seteqnumber{0}{19.}{22}\)\begin{equation} \label {eq:phase_vel_maxwell}v_{\text {ф}} = \frac {c}{\sqrt {\epsilon \mu }}, \end{equation}
де \(c\) — швидкість світла у вакуумі.
Це фундаментальний результат: сигнал у довгій лінії поширюється саме зі швидкістю світла у діелектрику, що оточує провідники.
Коаксіальний кабель. Як приклад застосування польового підходу, розрахуємо параметри коаксіального кабелю з радіусом внутрішньої жили \(a\), радіусом зовнішнього екрана \(b\) та діелектриком (\(\epsilon \), \(\mu \)).
Застосовуючи теорему Гаусса та закон Ампера для перерізу кабелю в гауссовій системі:
\(\seteqnumber{0}{19.}{23}\)\begin{equation} E(r) = \frac {2q'}{\epsilon r}, \qquad H(r) = \frac {2i}{c r}, \end{equation}
де \(q'\) — погонний заряд. Знаходячи напругу \(u = \int _a^b E(r)\,dr\) та магнітний потік \(\Phi ' = \int _a^b \mu H(r)\,dr\) і вводячи погонні параметри співвідношеннями \(q' = C_0 u\) та \(\Phi ' = c\,L_0\,i\) (у гауссовій системі потік і струм пов’язані множником \(c\)), отримуємо:
\(\seteqnumber{0}{19.}{24}\)\begin{equation} \label {eq:C0L0}C_0 = \frac {\epsilon }{2\ln (b/a)}, \qquad L_0 = \frac {2\mu }{c^2}\ln \left (\frac {b}{a}\right ). \end{equation}
Легко перевірити, що \(L_0 C_0 = \epsilon \mu / c^2\). Хвильовий опір такого кабелю \(Z_{\text {хв}} = \sqrt {L_0/C_0}\) дорівнює:
\(\seteqnumber{0}{19.}{25}\)\begin{equation} \label {eq:coax_impedance}Z_{\text {хв}} = \frac {2}{c}\sqrt {\frac {\mu }{\epsilon }}\,\ln \left (\frac {b}{a}\right ) = \frac {2\eta }{c}\,\ln \left (\frac {b}{a}\right ), \end{equation}
де \(\eta = \sqrt {\mu /\epsilon }\) – хвильовий опір самого діелектрика (у гауссовій системі для вакууму \(\eta _0 = 1\)).
Підсумки
Метод зосереджених елементів \(R\), \(L\), \(C\) працює, поки довжина кола \(l\) набагато менша за довжину хвилі \(\lambda =cT\): тоді напруга й струм у всіх точках кола змінюються синхронно. Якщо \(l\) сумірна з \(\lambda \), сигнал не встигає «одночасно» охопити все коло, а \(u\) та \(i\) залежать і від часу, і від координати \(z\) вздовж лінії. Тоді коло описують погонними параметрами \(R_0\), \(L_0\), \(G_0\), \(C_0\) (на одиницю довжини), а замість рівнянь для окремих елементів записують рівняння в частинних похідних.
Усе зводиться до відповідей на три запитання:
-
1. Коли коло слід вважати довгою лінією? Коли час проходження сигналу вздовж кола порівнянний з періодом, тобто \(l\sim \lambda \).
-
2. Як і з якою швидкістю поширюється сигнал? Як хвиля: у лінії без втрат вона біжить зі швидкістю \(1/\sqrt {L_0C_0}=c/\sqrt {\epsilon \mu }\) без спотворень. Втрати призводять до затухання й дисперсії, а за умови \(R_0/L_0=G_0/C_0\) дисперсія зникає.
-
3. Що відбувається на кінці лінії? Відношення \(u/i\) у біжучій хвилі дорівнює \(Z_{\text {хв}}\). Якщо опір навантаження \(Z_{\text {н}}=Z_{\text {хв}}\), відбитої хвилі немає; інакше виникає відбита хвиля, а вздовж лінії — стояча хвиля з коефіцієнтом \(\text {КСХ}=(|V^+|+|V^-|)/(|V^+|-|V^-|)\).
За рівнянням \(v_{\text {ф}}=c/\sqrt {\epsilon \mu }\) сигнал у лінії поширюється зі швидкістю світла в діелектрику (для поліетиленового кабелю \(v_{\text {ф}}\approx 2\cdot 10^{8}\) м/с), а хвильовий опір типових коаксіальних кабелів лежить у межах \(50\)–\(75\) Ом. Напруга й струм — лише зручна мова для опису електромагнітної хвилі, що біжить у діелектрику між провідниками: \(u\) і \(i\) є інтегралами від \(\Efield \) та \(\Hfield \) по перерізу лінії, а самі провідники виконують роль напрямної системи й не «проштовхують» енергію. Саме тому теорія довгих ліній є мостом між теорією кіл і електродинамікою хвиль.
Задачі
-
19.1. Коаксіальний кабель має внутрішню жилу радіусом \(a = 0.5\) мм та зовнішній екран радіусом \(b = 2.0\) мм. Діелектрик між ними — поліетилен із відносною діелектричною проникністю \(\epsilon = 2.25\); магнітна проникність \(\mu \approx 1\). Обчисліть:
-
1. погонну ємність \(C_0\) та погонну індуктивність \(L_0\);
-
2. хвильовий опір \(Z_{\text {хв}}\);
-
3. фазову швидкість \(v_{\text {ф}}\) та показник заломлення \(\sqrt {\epsilon }\).
-
Розв’язок. За формулами (19.25):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} C_0 = \frac {\epsilon }{2\ln (b/a)}, \qquad L_0 = \frac {2\mu }{c^2}\ln \left (\frac {b}{a}\right ). \end{equation*}
Обчислимо геометричний множник:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} \ln \left (\frac {b}{a}\right ) = \ln \left (\frac {2.0}{0.5}\right ) = \ln 4 \approx 1.386. \end{equation*}
Погонна ємність (СГС):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} C_0 = \frac {2.25}{2 \cdot 1.386} \approx 0.812~\text {(СГС, безрозмірна)}. \end{equation*}
Перевід у СІ:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} C_0^{\text {СІ}} = 4\pi \epsilon _0 \cdot 0.812 \approx 9.03\times 10^{-11}~\text {Ф/м} \approx 90.3~\text {пФ/м}. \end{equation*}
Погонна індуктивність (СГС):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} L_0^{\text {СГС}} = \frac {2 \cdot 1}{(3\times 10^{10})^2} \cdot 1.386 \approx 3.08\times 10^{-21}~\text {с}^2/\text {см}^2. \end{equation*}
Перевід у СІ:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} L_0^{\text {СІ}} = 3.08\times 10^{-21} \cdot 9\times 10^{13} \approx 2.77\times 10^{-7}~\text {Гн/м} \approx 277~\text {нГн/м}. \end{equation*}
Хвильовий опір (СГС):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} Z_{\text {хв}}^{\text {СГС}} = \frac {2}{c}\sqrt {\frac {\mu }{\epsilon }}\ln \left (\frac {b}{a}\right ) = \frac {2}{3\times 10^{10}} \cdot \frac {1}{\sqrt {2.25}} \cdot 1.386 \approx 6.16\times 10^{-11}~\text {с/см}. \end{equation*}
Перевід у СІ:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} Z_{\text {хв}}^{\text {СІ}} = 6.16\times 10^{-11} \cdot 9\times 10^{11} \approx 55.4~\text {Ом}. \end{equation*}
Фазова швидкість (СГС):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} v_{\text {ф}}^{\text {СГС}} = \frac {c}{\sqrt {\epsilon }} = \frac {3\times 10^{10}}{1.5} = 2\times 10^{10}~\text {см/с}. \end{equation*}
Перевід у СІ:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} v_{\text {ф}}^{\text {СІ}} = 2\times 10^{10}~\text {см/с} = 2\times 10^{8}~\text {м/с}. \end{equation*}
Показник заломлення:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} \frac {\lambda _0}{\lambda } = \sqrt {\epsilon } = 1.5. \end{equation*}
-
19.2. Доведіть, що для довільної лінії з двох провідників в однорідному діелектрику з параметрами \(\epsilon \), \(\mu \) виконується універсальне співвідношення \(L_0 C_0 = \epsilon \mu / c^2\) (у СГС), скориставшись енергетичним балансом біжучої хвилі. Як наслідок, покажіть, що фазова швидкість у такій лінії не залежить від геометрії провідників і дорівнює \(v_{\text {ф}} = c/\sqrt {\epsilon \mu }\).
Розв’язок. Розглянемо біжучий гармонічний сигнал у лінії без втрат. Нехай у перерізі \(z\) миттєві значення напруги та струму дорівнюють \(u\) та \(i\). Запишемо енергію електричного й магнітного полів, що припадає на одиницю довжини лінії, двома способами.
Енергія зарядженого конденсатора та індуктивності на одиницю довжини (у гауссовій СГС, \(L_0\) означено співвідношенням \(\Phi '=c\,L_0\,i\)):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} W_E' = \frac {1}{2} C_0 u^2, \qquad W_H' = \frac {1}{2} L_0 i^2. \end{equation*}
З іншого боку, інтегруючи густину енергії по площі поперечного перерізу \(S\):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} W_E' = \frac {1}{8\pi }\int _S \epsilon E^2 \, dS, \qquad W_H' = \frac {1}{8\pi }\int _S \mu H^2 \, dS. \end{equation*}
Для біжучої хвилі в кожній точці перерізу \(\sqrt {\epsilon }\,E(x,y) = \sqrt {\mu }\,H(x,y)\), тому \(\epsilon E^2 = \mu H^2\) і енергії електричного та магнітного полів рівні, \(W_E' = W_H'\). Звідси \(C_0 u^2 = L_0 i^2\), тобто \(Z_{\text {хв}} = u/i = \sqrt {L_0/C_0}\).
Потік енергії через переріз (вектор Пойнтінга) з урахуванням \(H = \sqrt {\epsilon /\mu }\,E\) і \(\int _S E^2\,dS = 8\pi W_E'/\epsilon \):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} P = \frac {c}{4\pi }\int _S E H \, dS = \frac {c}{4\pi }\sqrt {\frac {\epsilon }{\mu }}\int _S E^2 \, dS = \frac {2c}{\sqrt {\epsilon \mu }}\,W_E' = \frac {c}{\sqrt {\epsilon \mu }}\,W', \end{equation*}
де \(W' = W_E' + W_H' = 2W_E'\) — повна енергія хвилі на одиницю довжини лінії. З іншого боку, хвиля переносить цю енергію зі швидкістю \(v_{\text {ф}}\), тож \(P = v_{\text {ф}} W'\). Порівнюючи, маємо
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} v_{\text {ф}} = \frac {c}{\sqrt {\epsilon \mu }}. \end{equation*}
Оскільки для лінії без втрат \(v_{\text {ф}} = 1/\sqrt {L_0 C_0}\), звідси
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} L_0 C_0 = \frac {\epsilon \mu }{c^2}, \end{equation*}
де \(c\) — швидкість світла у вакуумі. Бачимо, що \(v_{\text {ф}}\) залежить лише від властивостей діелектрика й не залежить від геометрії провідників.
-
19.3. Коаксіальний кабель має внутрішню жилу радіусом \(a\), зовнішній екран радіусом \(b = 3a\) та діелектрик із \(\epsilon = 2.25\), \(\mu = 1\).
-
1. Виведіть формули для погонних параметрів \(C_0\) і \(L_0\) через \(a\), \(b\), \(\epsilon \), \(\mu \).
-
2. Перевірте, що \(L_0 C_0 = \epsilon \mu /c^2\) незалежно від \(a\) і \(b\).
-
3. Обчисліть \(Z_{\text {хв}}\) і \(v_{\text {ф}}/c\), якщо \(a = 0.5\) мм.
-
4. Як зміниться \(Z_{\text {хв}}\), якщо збільшити \(b\) удвічі, не змінюючи діелектрика? Чи вплине це на \(v_{\text {ф}}\)?
-
Розв’язок. За теоремою Гаусса для циліндричної симетрії (СГС):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} E(r) = \frac {2q'}{\epsilon r}, \qquad u = \int _a^b E(r)\,dr = \frac {2q'}{\epsilon }\ln \left (\frac {b}{a}\right ). \end{equation*}
З означення погонної ємності \(q' = C_0 u\):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} C_0 = \frac {\epsilon }{2\ln (b/a)}. \end{equation*}
За теоремою про циркуляцію (СГС):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} H(r) = \frac {2i}{c r}, \qquad \Phi ' = \int _a^b \mu H(r)\,dr = \frac {2\mu i}{c}\ln \left (\frac {b}{a}\right ). \end{equation*}
З означення погонної індуктивності \(\Phi ' = c\,L_0\,i\):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} L_0 = \frac {2\mu }{c^2}\ln \left (\frac {b}{a}\right ). \end{equation*}
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} L_0 C_0 = \frac {2\mu }{c^2}\ln (b/a) \cdot \frac {\epsilon }{2\ln (b/a)} = \frac {\epsilon \mu }{c^2}. \end{equation*}
Геометричний множник \(\ln (b/a)\) скорочується — співвідношення справді універсальне.
При \(b/a = 3\), \(\epsilon = 2.25\):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} \ln 3 \approx 1.099. \end{equation*}
Обчислення в СГС:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} C_0^{\text {СГС}} = \frac {2.25}{2 \cdot 1.099} \approx 1.024~\text {(СГС, безрозмірна)}. \end{equation*}
Перевід у СІ:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} C_0^{\text {СІ}} = 4\pi \epsilon _0 \cdot 1.024 \approx 1.14\times 10^{-10}~\text {Ф/м} = 114~\text {пФ/м}. \end{equation*}
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} L_0^{\text {СГС}} = \frac {2 \cdot 1}{(3\times 10^{10})^2} \cdot 1.099 \approx 2.44\times 10^{-21}~\text {с}^2/\text {см}^2. \end{equation*}
Перевід у СІ:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} L_0^{\text {СІ}} = 2.44\times 10^{-21} \cdot 9\times 10^{13} \approx 2.20\times 10^{-7}~\text {Гн/м} = 220~\text {нГн/м}. \end{equation*}
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} Z_{\text {хв}}^{\text {СГС}} = \frac {2}{c}\sqrt {\frac {\mu }{\epsilon }}\ln \left (\frac {b}{a}\right ) = \frac {2}{3\times 10^{10}} \cdot \frac {1}{1.5} \cdot 1.099 \approx 4.88\times 10^{-11}~\text {с/см}. \end{equation*}
Перевід у СІ:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} Z_{\text {хв}}^{\text {СІ}} = 4.88\times 10^{-11} \cdot 9\times 10^{11} \approx 43.9~\text {Ом}. \end{equation*}
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} \frac {v_{\text {ф}}}{c} = \frac {1}{\sqrt {\epsilon }} = \frac {1}{1.5} \approx 0.667. \end{equation*}
Якщо \(b \to 2b\), то \(\ln (b/a) \to \ln (2b/a) = \ln 2 + \ln (b/a)\). Оскільки \(C_0 \propto 1/\ln (b/a)\), а \(L_0 \propto \ln (b/a)\), то:
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} Z_{\text {хв}} = \sqrt {\frac {L_0}{C_0}} \propto \ln \left (\frac {b}{a}\right ). \end{equation*}
Отже, \(Z_{\text {хв}}\) зросте. Конкретно, при \(b/a = 3 \to 6\):
\(\seteqnumber{0}{19.}{26}\)\begin{equation*} \frac {Z_{\text {хв}}'}{Z_{\text {хв}}} = \frac {\ln 6}{\ln 3} = \frac {1.792}{1.099} \approx 1.63, \end{equation*}
тобто \(Z_{\text {хв}}' \approx 71.6\) Ом. Фазова швидкість не зміниться, бо вона залежить лише від \(\epsilon \) і \(\mu \).
Контрольні питання
-
1. Чому кола з зосередженими елементами перестають адекватно описувати лінію, довжина якої сумірна з довжиною хвилі сигналу? Наведіть історичний приклад трансатлантичного телеграфного кабелю.
-
2. Що таке погонні параметри довгої лінії \(R_0\), \(L_0\), \(G_0\), \(C_0\)? Яку фізичну роль відіграє кожен із них?
-
3. Виведіть перше телеграфне рівняння \(-\partial u/\partial z = R_0 i + L_0\,\partial i/\partial t\), застосовуючи друге правило Кірхгофа до елементарного відрізка лінії.
-
4. Виведіть друге телеграфне рівняння \(-\partial i/\partial z = G_0 u + C_0\,\partial u/\partial t\), застосовуючи перше правило Кірхгофа до вузла на виході відрізка.
-
5. Перейдіть до комплексних амплітуд у гармонічному режимі й виведіть хвильове рівняння (рівняння Гельмгольца) для напруги \(d^2V/dz^2=\gamma ^2V\). Що таке стала поширення \(\gamma =\alpha +i\beta \)?
-
6. Запишіть загальний розв’язок для напруги \(V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{+\gamma z}\). Що фізично означають доданки з \(V^+\) і \(V^-\), і що описують стала затухання \(\alpha \) та фазова стала \(\beta \)?
-
7. Що таке хвильовий опір лінії \(Z_\text {хв}\)? Чому це не опір у звичному розумінні, а відношення напруги до струму саме в біжучій хвилі?
-
8. Розгляньте лінію без втрат (\(R_0=G_0=0\)): чому стала поширення стає чисто уявною, а хвильовий опір — дійсним? Виведіть фазову швидкість \(v_\text {ф}=1/\sqrt {L_0C_0}\).
-
9. Що таке стояча хвиля в лінії та коефіцієнт стоячої хвилі (КСХ)? За яких умов виникає стояча хвиля замість чистої біжучої?
-
10. Що таке дисперсія сигналу в довгій лінії, і чому вона призводить до «розмазування» імпульсу? Яку умову лінії без спотворень знайшов Гевісайд, щоб цього уникнути?
-
11. Як пов’язані напруга й струм у лінії з польовими величинами \(\Efield \) і \(\Hfield \) через інтеграли вздовж перерізу лінії? Чому електричне й магнітне поля в довгій лінії лежать у площині, перпендикулярній до осі \(z\)?
-
12. Чому провідники довгої лінії самі по собі не «проштовхують» енергію, а лише напрямляють електромагнітну хвилю? У якому напрямку спрямований вектор Пойнтінга в довгій лінії?
-
13. Виведіть універсальне співвідношення \(L_0C_0=\epsilon \mu /c^2\) (у СГС) для довільної лінії з двох провідників, спираючись на енергетичний баланс біжучої хвилі (рівність енергій електричного й магнітного полів на одиницю довжини).
-
14. Чому з універсального співвідношення \(L_0C_0=\epsilon \mu /c^2\) випливає, що фазова швидкість сигналу в довгій лінії дорівнює швидкості світла в діелектрику лінії, \(v_\text {ф}=c/\sqrt {\epsilon \mu }\), незалежно від геометрії провідників?
-
15. Виведіть погонні параметри \(C_0\) і \(L_0\) коаксіального кабелю через радіуси \(a\), \(b\) та властивості діелектрика, застосовуючи теорему Гаусса й закон Ампера. Виведіть формулу хвильового опору коаксіального кабелю через хвильовий опір діелектрика \(\eta \).
-
16. Як зміниться хвильовий опір коаксіального кабелю, якщо збільшити радіус зовнішнього екрана, не змінюючи діелектрика? Чи вплине це на фазову швидкість сигналу?