Електрика та магнетизм

Розділ 13 Енергія магнітного поля

На відміну від енергії електростатичного поля, яку можна ввести відразу після закону Кулона (просто обчисливши роботу перенесення зарядів проти кулонівської сили), з магнітною енергією так просто не вийде: магнітна складова сили Лоренца, з якою поле діє на заряд, роботи не виконує (гл. 9) — за жодних обставин. Виникає природне запитання: якщо магнітне поле роботи не виконує, звідки ж тоді береться енергія, яку воно, як виявиться, запасає?

Відповідь дає ЕРС самоіндукції — окремий випадок закону електромагнітної індукції (гл. 12): джерело, що підтримує струм у контурі, витрачає частину роботи не на подолання магнітної сили (вона роботи не виконує), а на подолання самої цієї ЕРС, яку контур наводить сам у собі через власне змінюване поле. Тому послідовно ввести енергію магнітного поля можна лише після того, як встановлено закон індукції і поняття самоіндукції; сам механізм — чому саме тут магнітна заборона не діє і хто насправді виконує цю роботу — ми розберемо детальніше в цьому розділі.

13.1 Енергія магнітного поля

Енергія контуру зі струмом

Провідник зі струмом створює магнітне поле, яке з’являється й зникає разом зі струмом; магнітне поле — носій енергії, що дорівнює роботі джерела струму на його створення. Розглянемо роботу джерела ЕРС \(\emf \) під час замикання ключа в колі з котушкою індуктивності \(L\) й резистором \(R\), при перенесенні заряду \(dq = I\, dt\):

\begin{equation*} \delta A = \emf \, dq = I^2R\, dt - \emf _\text {сі}I\, dt = \underbrace {I^2R\, dt}_\text {теплота} + \underbrace {\frac 1{c^2}LI\, dI}_{\text {енергія поля}}. \end{equation*}

Частина роботи джерела йде на теплоту (закон Джоуля-Ленца), а решта — на створення магнітного поля. Інтегруючи другий доданок від нульового струму до кінцевого значення \(I\), отримуємо енергію магнітного поля контуру:

\begin{equation} \label {eq:MagEnergyFormula} W = \frac 1{c^2}\int \limits _0^I LI\, dI = \frac {LI^2}{2c^2} = \frac {I\Phi }{2c} = \frac {\Phi ^2}{2L}. \end{equation}

Об’ємна густина енергії магнітного поля: соленоїд

Знайдемо енергію магнітного поля, використовуючи характеристики самого поля, на прикладі однорідного поля довгого соленоїда з проникністю \(\mu \) (рис. 13.1). Індуктивність соленоїда — за формулою (12.14), \(L = 4\pi \mu N^2 S/\ell \), а поле всередині — \(B = 4\pi \mu NI/(c\ell )\) (гл. 10). Підставляючи в (13.1):

\begin{equation*} W = \frac 1{c^2}\frac {LI^2}2 = \frac 1{c^2}\cdot \frac {(4\pi \mu NI)^2 S\ell }{8\pi \mu \ell ^2} = \frac {B^2}{8\pi \mu }\, V = \frac {BH}{8\pi }\, V, \end{equation*}

де \(V=S\ell \) — об’єм соленоїда (об’єм, зайнятий полем), а в останній рівності використано \(H=B/\mu \). Звідси об’ємна густина енергії магнітного поля:

\begin{equation} \label {eq:MagEnergyDensitySolenoid} \tcbhighmath { w = \frac {BH}{8\pi }. } \end{equation}

У загальному випадку вираз для об’ємної густини енергії магнітного поля не є самостійним постулатом і не випливає лише з формули для сили Ампера чи закону Біо-Савара-Лапласа. Його можна строго вивести тільки з теорії Максвелла, тобто з рівнянь Максвелла та закону збереження енергії електромагнітного поля (див. секцію Енергія електромагнітного поля). Для лінійного середовища (\(\Bfield =\mu \Hfield \)) цей вираз зводиться до наведеного нижче цілком загального результату:

\begin{equation} \label {eq:MagEnergyDensityGeneral} \tcbhighmath { W = \iiint \limits _V \frac {\Bfield \cdot \Hfield }{8\pi }\, dV, \qquad w = \frac {\Bfield \cdot \Hfield }{8\pi } = \frac {\mu H^2}{8\pi }. } \end{equation}

13.2 Взаємна індукція

Коефіцієнти взаємної індуктивності

Нехай два нерухомі контури 1 і 2 розташовані близько один до одного (рис. 13.2). Якщо в контурі 1 тече струм \(I_1\), він створює крізь контур 2 магнітний потік, пропорційний \(I_1\):

\begin{equation} \label {eq:MutualFlux21} \Phi _{21} = \frac 1c L_{21}I_1; \end{equation}

аналогічно, струм \(I_2\) у контурі 2 створює крізь контур 1 потік

\begin{equation} \label {eq:MutualFlux12} \Phi _{12} = \frac 1c L_{12}I_2. \end{equation}

Коефіцієнти пропорційності \(L_{12}\) і \(L_{21}\) називають коефіцієнтами взаємної індуктивності контурів; на відміну від власної індуктивності \(L\), яку зазвичай вважають додатною, це алгебраїчні величини, які можуть мати будь-який знак (залежно від взаємної орієнтації контурів), а також дорівнювати нулю (якщо контури взаємно перпендикулярні так, що жоден потік іншого через себе не пронизує).

Повний магнітний потік, що пронизує кожен із контурів, складається з власного потоку (самоіндукції) та потоку, створеного струмом іншого контуру:

\begin{equation} \label {eq:MutualFluxes} \begin{cases} \Phi _1 = \Phi _{11} + \Phi _{12} = \dfrac 1c\,L_{11}I_1 + \dfrac 1c\,L_{12}I_2, \\[1.5ex] \Phi _2 = \Phi _{21} + \Phi _{22} = \dfrac 1c\,L_{21}I_1 + \dfrac 1c\,L_{22}I_2, \end {cases} \end{equation}

де \(\Phi _{11}=\dfrac 1c L_{11}I_1\) і \(\Phi _{22}=\dfrac 1c L_{22}I_2\) — власні потоки, а \(\Phi _{12}\) і \(\Phi _{21}\) задані співвідношеннями (13.5) і (13.4) відповідно.

З урахуванням взаємної індукції закони Ома для двох контурів набувають вигляду

\begin{equation} \label {eq:MutualOhm} \begin{cases} I_1R_1 = \emf _1 - \dfrac 1{c^2}\dfrac {d}{dt}\left (L_{11}I_1\right ) - \dfrac 1{c^2}\dfrac {d}{dt}\left (L_{12}I_2\right ), \\[1.5ex] I_2R_2 = \emf _2 - \dfrac 1{c^2}\dfrac {d}{dt}\left (L_{21}I_1\right ) - \dfrac 1{c^2}\dfrac {d}{dt}\left (L_{22}I_2\right ), \end {cases} \end{equation}

де \(L_{11}\equiv L_1\), \(L_{22}\equiv L_2\) — власні індуктивності контурів. Той факт, що зміна струму в одному контурі неминуче породжує ЕРС і в іншому, і називають явищем взаємної індукції.

У загальному випадку для \(N\) нерухомих контурів повний магнітний потік, що пронизує \(i\)-й контур, складається з власного потоку та потоків, створених струмами всіх інших контурів, і записується через суму:

\begin{equation} \label {eq:FluxSumN} \Phi _i = \sum _{j=1}^{N} \Phi _{ij} = \frac 1c \sum _{j=1}^{N} L_{ij} I_j, \qquad i = 1, 2, \dots , N, \end{equation}

де діагональні коефіцієнти \(L_{ii}\) — власні індуктивності контурів, а недіагональні \(L_{ij}\) (\(i\neq j\)) — коефіцієнти взаємної індуктивності \(i\)-го та \(j\)-го контурів.

Підставляючи (13.8) у закон електромагнітної індукції \(\emf _i = -\dfrac 1c\dfrac {d\Phi _i}{dt}\), отримуємо закон Ома для \(i\)-го контуру:

\begin{equation} \label {eq:OhmN} I_i R_i = \emf _i - \frac 1{c^2}\frac {d}{dt}\sum _{j=1}^{N} L_{ij} I_j, \qquad i = 1, 2, \dots , N. \end{equation}

Теорема взаємності

У щойно розглянутому прикладі коефіцієнти \(L_{12}\) і \(L_{21}\) обчислювалися двома геометрично різними шляхами, а зійшлися в одному й тому самому значенні. Це не випадковість прикладу з високосиметричним осердям: насправді рівність

\begin{equation} \label {eq:MutualEqual} \tcbhighmath { L_{12} = L_{21}. } \end{equation}

Це загальний закон, який виконується для будь-якої пари контурів довільної форми (за єдиної умови — лінійності середовища, \(\mu \neq f(H)\), як і вказано вище). Тобто, результати розрахунку потоку в обох напрямках точно збігаються. Це твердження називається теоремою взаємності.

Доведемо цю теорему. Нехай маємо два нерухомі тонкі контури \(C_1\) та \(C_2\). За означенням, струм \(I_2\) у контурі \(C_2\) створює крізь контур \(C_1\) магнітний потік (рис. 13.3)

\begin{equation} \label {eq:MutualFlux12_def} \Phi _{12} = \frac {1}{c} L_{12} I_2. \end{equation}

Запишемо потік \(\Phi _{12}\) крізь поверхню \(S_1\), що спирається на контур \(C_1\), від поля \(\Bfield ^{(2)}\), створюваного струмом \(I_2\). Поклавши \(\Bfield ^{(2)} = \rot \vect A^{(2)}\) (див. 9.12), де \(\vect A^{(2)}\) — векторний потенціал поля другого струму, за теоремою Стокса маємо:

\begin{equation} \label {eq:FluxViaVectorPotential} \Phi _{12} = \iint \limits _{S_1}\rot \vect A^{(2)}\cdot d\vect S_1 = \oint \limits _{C_1}\vect A^{(2)}\cdot d\vect l_1, \end{equation}

де \(d\vect l_1\) — орієнтований елемент контуру \(C_1\).

Для тонкого провідника \(C_2\) векторний потенціал \(\vect A^{(2)}\) у точці розташування елемента \(d\vect l_1\) виражається контурним інтегралом (9.13) (для лінійних струмів \(\vect {j} dV \to I d\vect {l}\)):

\begin{equation} \label {eq:VectorPotentialLineCurrent} \vect A^{(2)} = \frac {\mu I_2}{c}\oint \limits _{C_2}\frac {d\vect l_2}{r_{12}}, \end{equation}

де \(r_{12}\) — відстань між елементами \(d\vect l_2\) та \(d\vect l_1\).

Підставляючи вираз (13.14) у формулу (13.13), отримуємо подвійний контурний інтеграл:

\begin{equation} \label {eq:FluxDoubleIntegral} \Phi _{12} = \frac {\mu I_2}{c^2}\oint \limits _{C_1}\oint \limits _{C_2}\frac {d\vect l_1\cdot d\vect l_2}{r_{12}}. \end{equation}

Порівнюючи вираз (13.15) із вихідним означенням потоку (13.12), знаходимо явний вигляд взаємної індуктивності (формулу Неймана):

\begin{equation} \label {eq:MutualInductanceNeumann} L_{12} = {\mu }\oint \limits _{C_1}\oint \limits _{C_2}\frac {d\vect l_1\cdot d\vect l_2}{r_{12}}. \end{equation}

Проводячи повністю симетричні міркування для коефіцієнта \(L_{21}\) (обчислюючи потік \(\Phi _{21} = \frac {1}{c}L_{21}I_1\) від струму \(I_1\) крізь контур \(C_2\)), дістаємо:

\begin{equation} \label {eq:MutualInductanceNeumann21} L_{21} = {\mu }\oint \limits _{C_2}\oint \limits _{C_1}\frac {d\vect l_2\cdot d\vect l_1}{r_{21}}. \end{equation}

Оскільки скалярний добуток елементів \(d\vect l_1 \cdot d\vect l_2 = d\vect l_2 \cdot d\vect l_1\) є комутативним, а відстань між ними \(r_{12} = r_{21}\) однакова в обох випадках, підінтегральний вираз у формулі Неймана є повністю симетричним відносно перестановки індексів \(1 \leftrightarrow 2\). Звідси безпосередньо випливає теорема взаємності: \(L_{12} = L_{21} \).

Формула (13.16) прозоро ілюструє суто геометричний характер взаємної індуктивності: величина \(L_{12}\) залежить лише від форми, розмірів та взаємного розташування двох контурів у просторі, але абсолютно не залежить від величин струму в них.

13.3 Енергія системи зв’язаних контурів

Формула (13.1) стосується одного відокремленого контуру. Виведемо тепер явний вираз для енергії системи довільної кількості \(N\) магнітно зв’язаних контурів зі струмами \(I_1,\dots ,I_N\), спираючись на щойно доведену теорему взаємності \(L_{ik}=L_{ki}\).

Розіб’ємо прирощення енергії на дві частини — від самоіндукції кожного контуру окремо та від взаємної індукції кожної пари контурів:

\begin{equation} \label {eq:EnergyIncrementDecomposition} dW = dW_\text {с}+dW_\text {в}, \qquad dW_\text {с}=\frac 1{c^2}\sum _{i=1}^{N} L_iI_i\,dI_i, \qquad dW_\text {в}=\frac 1{c^2}\sum _{\substack {i,k=1\\i\neq k}}^{N} L_{ik}I_i\,dI_k. \end{equation}

Доданок \(dW_\text {с}\) інтегрується так само, як і для одного контуру у формулі (13.1):

\begin{equation} \label {eq:SelfInductionEnergy} W_\text {с}=\frac 1{2c^2}\sum _{i=1}^{N} L_iI_i^2. \end{equation}

У сумі \(dW_\text {в}\) згрупуємо доданки попарно: для кожної пари індексів \(i<k\) у подвійній сумі за \(i\neq k\) трапляються рівно два доданки, \(L_{ik}I_i\,dI_k\) і \(L_{ki}I_k\,dI_i\):

\begin{equation*} dW_\text {в} = \frac 1{c^2}\sum _{i<k}\left (L_{ik}I_i\,dI_k+L_{ki}I_k\,dI_i\right ). \end{equation*}

Саме тут, і лише тут, потрібна теорема взаємності: підставивши \(L_{ki}=L_{ik}\), кожна дужка перетворюється на повний диференціал добутку \(I_iI_k\),

\begin{equation*} L_{ik}I_i\,dI_k+L_{ik}I_k\,dI_i = L_{ik}\,d(I_iI_k), \end{equation*}

звідки

\begin{equation*} dW_\text {в} = \frac 1{c^2}\sum _{i<k}L_{ik}\,d(I_iI_k) = \frac 1{2c^2}\sum _{\substack {i,k=1\\i\neq k}}^{N}L_{ik}\,d(I_iI_k), \end{equation*}

і, інтегруючи від нульових струмів,

\begin{equation} \label {eq:MutualEnergyFinal} W_\text {в}=\frac 1{2c^2}\sum _{\substack {i,k=1\\i\neq k}}^{N}L_{ik}I_iI_k. \end{equation}

Об’єднуючи (13.19) і (13.20), отримуємо повну енергію системи контурів:

\begin{equation} \label {eq:MultiLoopEnergy} \tcbhighmath { W = W_\text {с}+W_\text {в} = \frac 1{2c^2}\sum _{i,k=1}^{N} L_{ik}I_iI_k = \frac 1{2c}\sum _{i=1}^{N} I_i\Phi _i, } \end{equation}

де в останній рівності використано формулу (13.8).

Для системи з двох контурів формула (13.21) набуває вигляду

\begin{equation} \label {eq:TwoLoopEnergy} W = \frac 1{2c^2}\left (L_1I_1^2+L_2I_2^2+2L_{12}I_1I_2\right ), \end{equation}

де \(L_1\equiv L_{11}\), \(L_2\equiv L_{22}\) — власні індуктивності контурів.

Обмеження на взаємну індуктивність

Вираз (13.22) для енергії двох контурів — квадратична форма струмів \(I_1,I_2\). Енергія магнітного поля не може бути від’ємною за жодних значень струмів, \(W\ge 0\) (стан зі струмом не може мати меншу енергію, ніж стан без струму, — інакше поле саме собою «постачало» б енергію), тобто ця квадратична форма повинна бути додатно визначеною. Записавши (13.22) у стандартному вигляді \(W=aI_1^2+2bI_1I_2+dI_2^2\) з \(a=L_1/2c^2\), \(b=L_{12}/2c^2\), \(d=L_2/2c^2\), отримуємо звичайну умову додатної визначеності \(b^2\le ad\), тобто

\begin{equation} \label {eq:InductanceInequality} \tcbhighmath { L_{12}^2 \le L_1L_2. } \end{equation}

Фізично ця нерівність означає, що магнітний зв’язок між двома контурами не може бути «сильнішим», ніж дозволяють їхні власні індуктивності: частина енергії, яку створює струм одного контуру, завжди залишається в його власному магнітному полі, і лише частина — у полі, зчепленому з іншим контуром. Рівність \(L_{12}^2=L_1L_2\) означає ідеальний магнітний зв’язок (весь потік одного контуру повністю зчеплений з іншим, без розсіювання) — граничний, майже не досяжний на практиці випадок, до якого, однак, впритул наближаються добре сконструйовані обмотки трансформатора на замкненому феромагнітному осерді (наступний параграф).

Вираз енергії системи контурів через поля

Той самий результат (13.22) можна отримати зовсім іншим шляхом — не через роботу джерел, а через локалізацію енергії в полі, узагальнюючи формулу (13.3) на випадок поля, породженого одразу кількома контурами (у лінійному середовищі з \(\mu =\const \), як і в прикладі з двома обмотками). Нехай \(\Bfield _1\) — поле струму \(I_1\), а \(\Bfield _2\) — поле струму \(I_2\); за принципом суперпозиції \(\Bfield =\Bfield _1+\Bfield _2\), і

\begin{equation*} W=\iiint \limits _V \frac {B^2}{8\pi \mu }\,dV = \iiint \limits _V \frac {B_1^2}{8\pi \mu }\,dV+\iiint \limits _V \frac {B_2^2}{8\pi \mu }\,dV+ \iiint \limits _V \frac {\Bfield _1\cdot \Bfield _2}{4\pi \mu }\,dV. \end{equation*}

Перші два інтеграли — це «власні» енергії кожного контуру окремо (\(\tfrac 12L_1I_1^2/c^2\) і \(\tfrac 12L_2I_2^2/c^2\)), а третій, «перехресний», доданок і дає взаємну енергію \(L_{12}I_1I_2/c^2\) з формули (13.22); для довільної кількості контурів міркування те саме, лише з подвійною сумою перехресних доданків замість одного.

Це трактування відразу дає кілька наслідків, не таких очевидних із формули роботи джерел:

• 1. Енергія \(W\) — завжди додатна за будь-яких струмів, оскільки під інтегралом стоїть невід’ємна величина \(B^2\).

• 2. Енергія системи контурів не адитивна: через перехресний доданок вона не дорівнює сумі енергій окремих контурів.

• 3. Коефіцієнт при \(I_1I_2\) у третьому інтегралі — тобто сам інтеграл \(\iiint \Bfield _1\cdot \Bfield _2/4\pi \mu \,dV\) — очевидно симетричний щодо перестановки індексів 1 і 2 (скалярний добуток не залежить від порядку множників). Тому рівність \(L_{12}=L_{21}\) тут випливає як пряме геометричне твердження про симетрію інтеграла — друге, незалежне доведення теореми взаємності.

• 4. Звідси ж — і друге означення взаємної індуктивності, через розподіл полів у просторі, а не через потік крізь контур:

  \(\seteqnumber{0}{13.}{23}\)

  \begin{equation} \label {eq:MutualInductanceViaFieldIntegral} L_{12}=\frac {c^2}{I_1I_2}\iiint \limits _V \frac {\Bfield _1\cdot \Bfield _2}{4\pi \mu }\,dV. \end{equation}

Отже, обидва підходи рівноправні й дають той самий результат, що ще раз підтверджує: магнітна енергія — це справді енергія поля, розподілена в просторі, а не якась умовна властивість самих контурів.

13.4 Потенціальна енергія струмів

Отриманий вище вираз для енергії системи \(N\) магнітно зв’язаних контурів (13.21) підсумовує макроскопічний підхід, базований на струмах \(I_i\) та індуктивностях \(L_{ik}\). Її за традицією називають потенціальною енергією струмів.

Поряд із виведеною раніше локальною об’ємною густиною \(w = \Bfield \cdot \Hfield / 8\pi \), цей результат природно ставить два фундаментальних запитання.

По-перше, яку саме роль величина \(W\) відіграє для системи контурів, якщо саме магнітне поле позбавлене скалярного потенціалу? І по-друге, чи можна записати цю енергію безпосередньо через просторовий розподіл струмів \(\vect j(\vect r)\) та векторний потенціал \(\vect A(\vect r)\) — аналогічно до того, як в електростатиці енергія виражається через густину заряду \(\rho \) та скалярний потенціал \(\phi \)? Саме магнітне поле не є потенціальним, тому скалярного потенціалу в \(\Bfield \) немає — його не можна подати як \(\Bfield =-\grad \phi \).

«Потенціальною» енергію \(W\) називають не тому, що її можна приписати полю як скалярний потенціал, а тому, що вона відіграє роль потенціальної функції в механічному сенсі:

• • це функція стану системи контурів, а не процесу;

• • як буде показано далі в розділі про пондеромоторні сили, механічні сили та ЕРС отримуються з неї диференціюванням;

• • умови рівноваги системи визначаються її екстремумами.

У термінах аналітичної механіки \(W\) — це, строго кажучи, «магнітна кінетична енергія» системи, квадратична форма струмів \(I_i\) з коефіцієнтами \(L_{ik}\) у ролі узагальнених мас, а не потенціал силового поля. Проте в задачах механічної взаємодії нею можна користуватись точнісінько так, як у механіці користуються потенціальною енергією (див. секцію «Пондеромоторні сили в магнітному полі»).

Вираз через векторний потенціал

Тепер покажемо, як ту саму величину (13.21) виразити безпосередньо через векторний потенціал поля, не вдаючись до обчислення геометричних індуктивностей \(L_{ik}\). Для лінійного середовища (\(\Bfield =\mu \Hfield \), \(\mu =\const \)) скористаємось означенням \(\Bfield =\rot \vect A\) і тим, що для системи лінійних струмів векторний потенціал дорівнює сумі внесків окремих контурів, \(\vect A=\sum _i\vect A_i\), де

\begin{equation} \label {eq:VectorPotentialLineCurrentSum} \vect A_i(\vect r) = \frac {\mu I_i}{c}\oint \limits _{C_i} \frac {d\vect l_i}{|\vect r-\vect r_i|}. \end{equation}

Підставляючи \(\Bfield =\rot \vect A\) у вираз для повної енергії поля і інтегруючи частинами (з урахуванням того, що на нескінченності поля спадають достатньо швидко, а \(\divg \vect A=0\) у кулонівському калібруванні), отримуємо:

\begin{equation} \label {eq:MagEnergyViaVectorPotential} W = \frac 1{8\pi }\iiint \limits _V \Bfield \cdot \Hfield \,dV = \frac 1{8\pi }\iiint \limits _V \rot \vect A\cdot \Hfield \,dV = \frac 1{8\pi }\iiint \limits _V \vect A\cdot \rot \Hfield \,dV = \frac 1{2c}\iiint \limits _V \vect A\cdot \vect j\,dV, \end{equation}

де на останньому кроці використано рівняння \(\rot \Hfield =\frac {4\pi }{c}\vect j\). Для системи тонких контурів \(\vect j\,dV\to I_i\,d\vect l_i\), і формула (13.26) переходить у

\begin{equation} \label {eq:MagEnergyLineCurrents} W = \frac 1{2c}\sum _{i=1}^{N} I_i\oint \limits _{C_i}\vect A\cdot d\vect l_i = \frac 1{2c}\sum _{i=1}^{N} I_i\Phi _i, \end{equation}

що точно збігається з отриманим раніше виразом (13.21). Отже, обидва означення — через контурні індуктивності \(L_{ik}\) і через суцільний розподіл векторного потенціалу \(\vect A\) — описують ту саму фізичну величину.

Зіставимо магнітний вираз (13.26) із його електростатичним аналогом, де енергія системи зарядів записується через скалярний потенціал \(\phi \):

\begin{equation*} W_e = \frac 12\iiint \limits _V \rho \,\phi \,dV = \frac 1{8\pi }\iiint \limits _V \Efield \cdot \Dfield \,dV, \end{equation*}

Ми бачимо повну структурну відповідність між обома галузями електродинаміки.

13.5 Принцип роботи трансформаторів

Явище взаємної індукції лежить в основі роботи трансформаторів — пристроїв для підвищення чи зниження напруги змінного струму (рис. 13.6). Первинна й вторинна обмотки з \(N_1\) і \(N_2\) витками укріплені на спільному замкненому феромагнітному осерді; завдяки великому \(\mu \) феромагнетика (гл. 10) магнітний потік майже повністю локалізований в осерді й пронизує обидві обмотки однаковим потоком \(\Phi \). Це — практична реалізація того самого ідеального магнітного зв’язку, граничного випадку \(L_{12}^2=L_1L_2\) з попереднього параграфа: розсіюванням потоку поза осердям тут свідомо нехтують, а отже, увесь потік, породжений первинною обмоткою, зчеплений і з вторинною. Змінна ЕРС \(\emf _1\) у первинній обмотці створює струм \(I_1\) і змінний магнітний потік \(\Phi \); цей потік пронизує й витки вторинної обмотки, наводячи в ній ЕРС взаємної індукції, а в первинній — ЕРС самоіндукції.

Закон Ома для первинного кола: \(\emf _1 - \frac 1c\dfrac {d}{dt}(N_1\Phi ) = I_1R_1\). У режимі швидкозмінних полів (типовому для трансформаторів) \(I_1R_1 \ll \emf _1,\ \tfrac {d}{dt}(N_1\Phi )\), тому у цьому наближенні

\begin{equation} \label {eq:TransformerEMF1} \emf _1 \approx \frac {N_1}c\frac {d\Phi }{dt}, \end{equation}

а ЕРС у вторинній обмотці, оскільки потік \(\Phi \) в осерді той самий,

\begin{equation} \label {eq:TransformerEMF2} \emf _2 = -\frac {N_2}c\frac {d\Phi }{dt} = -\frac {N_2}{N_1}\emf _1 \end{equation}

(знак «мінус» означає протилежність фаз). Відношення

\begin{equation} \label {eq:TransformationRatio} \tcbhighmath { \eta = \frac {N_2}{N_1} } \end{equation}

називають коефіцієнтом трансформації: якщо \(\eta >1\) — трансформатор підвищувальний (збільшує ЕРС), якщо \(\eta <1\) — знижувальний (зменшує ЕРС).

А як перетворюється струм? Тут якраз і працює закон збереження енергії. У наближенні ідеального трансформатора — без омічних втрат (\(R_1,R_2\to 0\)) і без розсіювання потоку — в обмотках не накопичується енергія понад ту, що в кожен момент проходить крізь них: уся потужність, яку джерело вкладає в первинне коло, миттєво передається через спільне поле в коло навантаження вторинної обмотки, тобто потужність зберігається,

\begin{equation*} I_1\emf _1 = -I_2\emf _2 \end{equation*}

(знак «мінус» — та сама протифазність, що й у формулі (13.30): коли первинна обмотка споживає потужність від джерела, вторинна віддає її навантаженню). Підставляючи (13.30), знаходимо коефіцієнт трансформації струмів:

\begin{equation} \label {eq:TransformerCurrentRatio} \tcbhighmath { \frac {I_2}{I_1} = -\frac {\emf _1}{\emf _2} = \frac 1\eta . } \end{equation}

Отже, у скільки разів трансформатор підвищує напругу, у стільки ж разів він знижує струм, — і навпаки: закон збереження енергії не дозволяє одночасно виграти і в напрузі, і в струмі. Саме тому передавати електроенергію на великі відстані вигідно при високій напрузі й, відповідно, малому струмі (а отже, і з малими тепловими втратами \(I^2R\) у дротах лінії передачі), а споживачам подавати вже при низькій, безпечній напрузі — і саме взаємна індукція, а не який-небудь прямий електричний контакт, дозволяє так легко узгоджувати ці дві вимоги.

Тут ми розглянули лише ідеалізований трансформатор — без омічних втрат в обмотках і без розсіювання потоку, — щоб якнайпростіше дістати сам факт існування коефіцієнта трансформації з енергетичних міркувань. Реальний трансформатор як коло змінного струму, з вхідним імпедансом, внесеним опором, режимами холостого ходу й короткого замикання, втратами в міді та сталі, ККД, а також практичними застосуваннями (узгодження навантаження, автотрансформатори, трифазні трансформатори, передача електроенергії на великі відстані) детально розглянуто в розд. 18.5, присвяченому змінному струму.

13.6 Пондеромоторні сили в магнітному полі

Метод віртуальних переміщень для магнітних сил

Повернімося тепер до величини \(W\), яку ми назвали потенціальною енергією струмів. Так само, як і в електростатиці (гл. 6), силу, що діє на провідник чи магнетик з боку магнітного поля, зручно шукати методом віртуальних переміщень, спираючись на закон збереження енергії. Робота джерел струму \(\delta A_\text {дж}\) витрачається на теплоту \(\delta Q\), на приріст магнітної енергії \(dW\) і на механічну роботу \(\delta A_\text {мех}\):

\begin{equation} \label {eq:PonderomotiveWork} \delta A_\text {дж} = \delta Q + dW + \delta A_\text {мех}. \end{equation}

З іншого боку, за законом Ома, робота джерела дорівнює \(\delta A_\text {дж} = \delta Q - \emf _\text {сі}I\, dt\) (ЕРС самоіндукції — частина роботи джерела, витрачена на подолання цієї ЕРС). Порівнюючи два вирази для \(\delta A_\text {дж}\):

\begin{equation*} -\emf _\text {сі}I\, dt = dW + \delta A_\text {мех}. \end{equation*}

Випадок \(I=\const \) (струм у колі підтримується сталим джерелом). Тоді, за формулою (12.13), \(-\emf _\text {сі}I\,dt = \dfrac {I^2}{c^2}dL\), тоді як приріст магнітної енергії за формулою (13.1) становить лише половину цього, \(dW = \dfrac {I^2}{2c^2}dL\) (оскільки \(I=\const \), а не \(\Phi \)). Отже, \(\delta A_\text {мех} = +dW\), і сила

\begin{equation} \label {eq:ForceConstI} \tcbhighmath { F_x = +\left (\frac {dW}{dx}\right )_I. } \end{equation}

Випадок \(\Phi =\const \) (наприклад, контур з надпровідника). Тоді \(\emf _\text {сі} = 0\) (адже \(d\Phi /dt=0\)), тому \(\delta A_\text {мех} = -dW\), і

\begin{equation} \label {eq:ForceConstPhiM} \tcbhighmath { F_x = -\left (\frac {dW}{dx}\right )_\Phi . } \end{equation}

Знаки формул (13.34) і (13.35) — протилежні до відповідних формул для електричної сили, (6.25) і (6.26) з гл. 6 (там при сталому заряді був «мінус», тут при сталому струмі — «плюс», і навпаки). Причина — у формулах (12.12) і (13.1): магнітна енергія пропорційна \(LI^2\), а не \(q^2/C\), тому при диференціюванні за \(I=\const \) (аналог \(\Delta \phi =\const \) в електриці) чи \(\Phi =\const \) (аналог \(q=\const \)) знаки «переставляються» місцями порівняно з електричним випадком — варто бути особливо уважним і щоразу передивлятись це виведення заново, а не покладатись на «інтуїтивну» аналогію зі знаками.

Формула (13.39) — ще одне підтвердження загального правила: парамагнетики (\(\mu >1\)) втягуються в область сильнішого поля, а діамагнетики (\(\mu <1\)) — виштовхуються з неї. Сила пропорційна \(H^2\) (тобто не залежить від напрямку поля) і площі перерізу стержня \(S\) — чим «товщий» стержень, тим більша втягувальна сила. Порівняйте цей результат із формулою (13.40) для підйомної сили електромагніта: там сила теж виявилась пропорційною \(B^2S\) (з точністю до множника, зумовленого іншою геометрією задачі), що ще раз наголошує на універсальності енергетичного методу — він дає змогу знаходити силу в найрізноманітніших конфігураціях, не вдаючись щоразу до прямого обчислення сил Ампера.

Підсумки

Шлях цього розділу був обернений до того, яким вводилась енергія електричного поля: там вона народжувалась напряму з роботи проти сили Кулона. Тут так не вийшло: магнітна сила, за Лоренцем, роботи над зарядами не виконує ніколи — ні для сталого поля, ні для змінного. Але, змінюючись, магнітне поле породжує інше поле — вихрове електричне — і вже воно виконує роботу над зарядами. Саме цю роботу, на подолання ЕРС самоіндукції, і виконує джерело струму, а не роботу проти сили Ампера.

З цієї роботи ми й отримали густину енергії \(w=BH/8\pi \) — за формою тотожну електростатичній \(w=ED/8\pi \) (гл. 6). Та сама логіка лежить і в основі пондеромоторних сил (втягування магнетика в соленоїд, притягання якоря електромагніта). На макрорівні здається, що механічну роботу виконує саме магнітна сила. Проте для заряду, що рухається разом із провідником, ця ж сила одночасно гальмує дрейфовий струм. Робота магнітної сили над макроскопічним рухом тіла в точності компенсується її ж від’ємною роботою над струмом — так що сумарно, як і належить, сила Лоренца роботи не виконує. У мові ж електродинамічних контурів рух тіла змінює індуктивність \(L(x)\), викликаючи додаткову ЕРС індукції. Саме джерело струму, долаючи цю ЕРС, компенсує гальмування носіїв і здійснює підсумкову роботу, яка ділиться порівну: одна її частина йде на поповнення енергії поля з густиною \(w = BH/8\pi \), а інша — переходить у механічний розгін тіла.

Звідси головний висновок розділу: магнітне поле — не виконавець, а посередник. Енергію воно зберігає, але обмінюється нею із зарядами лише через електричне поле, яке воно саме й породжує, змінюючись у часі.

Задачі