Електрика та магнетизм

Розділ 8 Електричний струм у різних середовищах

Диференціальний закон Ома \(\vect j = \lambda \Efield \) (7.10) є лише загальним макроскопічним описом провідності. Питома електропровідність \(\lambda \) визначається мікроскопічною будовою середовища: концентрацією носіїв заряду, їхнім зарядом, рухливістю та механізмом взаємодії з речовиною. Тому одна й та сама напруженість електричного поля може спричиняти зовсім різні струми в металі, електроліті, газі чи напівпровіднику.

Найважливіша відмінність між різними середовищами полягає в природі носіїв струму. У металах струм створюють вільні електрони; в електролітах — позитивні та негативні йони; у газах — електрони та йони, що виникають у процесах іонізації; у вакуумі струм створюється зарядженими частинками, емітованими електродами; у напівпровідниках перенос заряду здійснюють електрони та дірки.

У найзагальнішому випадку, якщо в середовищі є кілька сортів носіїв, густина струму дорівнює сумі внесків усіх сортів (це узагальнення формули (7.4); див. також відповідне зауваження в розд. 7: внески носіїв протилежних знаків, що рухаються в протилежних напрямках, додаються):

\begin{equation} \label {eq:GeneralCurrentMedia} \vect j = \sum _k \rho _k\vect u_k. \end{equation}

Тут \(\rho _k=n_kq_k\) — об’ємна густина заряду носіїв \(k\)-го сорту (не плутати з питомим опором \(\rho =1/\lambda \)).

Якщо для кожного сорту носіїв виконується лінійний закон

\begin{equation} \label {eq:LinearMobility} \vect u_k = \mu _k \vect E, \end{equation}

де \(\mu _k\) — рухливість носіїв, тобто дрейфова швидкість в одиничному полі, то, підставивши (8.2) у (8.1), дістаємо

\begin{equation} \label {eq:GeneralConductivityMedia} \vect j = \sum _k n_k |q_k|\mu _k\,\vect E, \end{equation}

а питома електропровідність

\begin{equation} \label {eq:GeneralConductivity} \lambda = \sum _k n_k |q_k|\mu _k. \end{equation}

Отже, макроскопічно різні провідники підкоряються одній і тій самій схемі: поле приводить у впорядкований рух носіїв заряду, а властивості середовища визначають, наскільки легко цей рух виникає.

8.1 Електричний струм у металах

У металах частина валентних електронів слабко пов’язана з окремими атомами й утворює колективний електронний газ. Позитивні йони утворюють кристалічну ґратку, відносно якої електрони можуть переміщуватися.

За відсутності зовнішнього поля електрони перебувають у стані хаотичного руху. Середня швидкість цього руху дорівнює нулю, тому макроскопічний струм відсутній:

\begin{equation*} \langle \vect v\rangle = 0. \end{equation*}

Під дією електричного поля виникає мала добавка до хаотичного руху — дрейфова швидкість \(\vect u\), і

\begin{equation*} \vect j = -en\vect u_e, \end{equation*}

де \(n\) — концентрація вільних електронів, а \(\vect u_e\) — їхня дрейфова швидкість.

Це окремий випадок формули (7.4) з \(\rho =-en\). Що саме електрони, а не йони ґратки, є носіями струму в металах, довели досліди Толмена і Стюарта (секція «Природа носіїв заряду» розд. 7); там же на прикладі срібного дроту показано, що дрейфова швидкість (частки міліметра за секунду) приблизно на дев’ять порядків менша за теплову (\(\sim 10^5\) м/с).

Оскільки електрон має від’ємний заряд, його дрейф відбувається проти напрямку електричного поля, але густина струму \(\vect j\) спрямована за полем.

Теорія провідності металів Друде

У 1900 р. П. Друде запропонував просту класичну модель, що якісно (а часто й кількісно правильно за порядком величини) пояснює електропровідність металів. У цій моделі вільні електрони металу розглядають як класичний «газ», що рухається в полі \(\Efield \) і час від часу зазнає зіткнень з іонами кристалічної ґратки, розсіюючись на них.

Між зіткненнями електрон прискорюється полем, а зіткнення з іонами ґратки «гасять» набуту впорядковану швидкість. Усереднений вплив зіткнень зручно описати ефективною силою «тертя» \(-m_e\vect u/\tau \), де \(\tau \) — середній час вільного пробігу. Для модуля дрейфової швидкості (\(e>0\) — елементарний заряд)

\begin{equation*} m_e\frac {du}{dt}=eE-\frac {m_eu}{\tau }. \end{equation*}

У стаціонарному режимі \(du/dt=0\), тому \(u=eE\tau /m_e\), а \(j=enu=\dfrac {ne^2\tau }{m_e}E\), тобто питома провідність

\begin{equation} \label {eq:DrudeLorentzConductivity} \tcbhighmath { \lambda = \frac {ne^2\tau }{m_e}. } \end{equation}

(Якщо спрощено вважати, що кожен електрон пролітає між зіткненнями рівно час \(\tau \) і після зіткнення втрачає всю впорядковану швидкість, то середня швидкість виходить удвічі меншою, \(u=eE\tau /2m_e\), і з’являється зайвий множник \(\tfrac 12\); коректне усереднення за (приблизно експоненційним) розподілом часів пробігу його прибирає. Сама модель Друде — грубе класичне наближення, тому множники порядку одиниці тут не принципові.)

Звідси видно, що провідність визначається двома мікроскопічними факторами: \(\lambda \sim n\tau \). Велика концентрація вільних електронів забезпечує металам високу провідність, а зіткнення електронів з ґраткою та її дефектами обмежують її.

Рухливість електронів у металі, за означенням \(\vect u=\mu \Efield \), у моделі Друде-Лоренца дорівнює \(\mu =e\tau /m_e\), так що \(\lambda =ne\mu \) узгоджується із загальною формулою (8.4).

Тепловиділення: мікроскопічне виведення закону Джоуля-Ленца. У моделі Друде впорядкована кінетична енергія, яку електрон набуває від поля між зіткненнями, при зіткненні повністю передається ґратці у вигляді тепла. Якщо від попереднього зіткнення минув час \(t\), то швидкість електрона (відносно початку пробігу) \(v=eEt/m_e\), і при зіткненні він віддає ґратці енергію \(\tfrac 12m_ev^2=e^2E^2t^2/(2m_e)\). Час вільного пробігу — випадкова величина з (приблизно) експоненційним розподілом і середнім \(\tau \); для такого розподілу \(\langle t^2\rangle =2\tau ^2\), тому в середньому за одне зіткнення ґратці передається \(e^2E^2\tau ^2/m_e\). Число зіткнень в одиниці об’єму за одиницю часу дорівнює \(n/\tau \), отже, кількість теплоти, що виділяється в одиниці об’єму за одиницю часу,

\begin{equation*} w=\frac n\tau \cdot \frac {e^2E^2\tau ^2}{m_e}=\frac {ne^2\tau }{m_e}\,E^2=\lambda E^2=\vect j\cdot \Efield , \end{equation*}

що збігається з формулою (7.25). Це те саме усереднення, яке прибирає множник \(\tfrac 12\) у \(\lambda \): у спрощеній моделі з однаковим для всіх електронів часом \(\tau \) множник \(\tfrac 12\) з’явився б і в \(\lambda \), і в \(w\), а співвідношення \(w=\lambda E^2\) лишилося б тим самим. Збіг з макроскопічним виведенням із закону збереження енергії (розд. 7, секція «Закон Джоуля-Ленца») не випадковий: закон Джоуля-Ленца не залежить від механізму розсіювання, а модель Друде лише показує, куди саме йде енергія поля — у теплові коливання ґратки.

Час вільного пробігу \(\tau \), а отже, і провідність \(\lambda \), залежать від температури, оскільки з підвищенням температури зростає інтенсивність теплових коливань іонів ґратки, на яких розсіюються електрони. Дійсно, час вільного пробігу \(\tau = \ell /\bar v\), де \(\ell \) — довжина вільного пробігу (відстань між сусідніми зіткненнями), а \(\bar v\) — швидкість електрона між зіткненнями; оскільки дрейфова швидкість мізерна порівняно з тепловою (розд. 7, секція «Природа носіїв заряду»), \(\bar {v}\approx v_T\). Найпростіший варіант теорії Друде припускає, що концентрація носіїв \(n\) і довжина вільного пробігу \(\ell \) від температури не залежать, а сам електронний газ підпорядковується розподілу Максвелла, тобто \(\tfrac 12 m_e v_T^2 \sim \tfrac 32 k_BT\), звідки \(v_T\propto \sqrt T\). Тоді

\begin{equation*} \tau = \frac {\ell }{v_T} \propto \frac 1{\sqrt T} \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac {ne^2\tau }{m_e} \propto \frac 1{\sqrt T}, \end{equation*}

а отже, згідно з (8.5), для опору — оберненої до провідності величини:

\begin{equation*} \rho = \frac 1\lambda \propto \sqrt T \end{equation*}

(рис. 8.1). Реальна залежність питомого опору чистих металів від температури для не надто низьких температур — майже лінійна:

\begin{equation} \label {eq:TempDependence1} \rho = \rho _0\left (1 + \alpha t\right ) \end{equation}

де \(t\) — температура за шкалою Цельсія, а \(\rho _0\) — питомий опір при \(0\,^\circ \)C, або, якщо відлічувати температуру від зручного початку відліку \(20\,^\circ \)C,

\begin{equation} \label {eq:TempDependence2} \rho = \rho _{20}\left [1 + \alpha (t - 20)\right ]. \end{equation}

Для чистих металів \(\rho _{20}\sim 10^{-8}\) Ом\(\cdot \)м (мідь — \(1{,}7\cdot 10^{-8}\), залізо — \(9{,}7\cdot 10^{-8}\)), а \(\alpha \approx (4 - 6)\cdot 10^{-3}\,{}^\circ \text {C}^{-1}\).

Оскільки опір \(R\) у законі Ома (7.8) залежить від температури, а провідник зі струмом нагрівається (закон Джоуля-Ленца (7.26)), при великих струмах вольт-амперна характеристика металу стає нелінійною. Так, опір вольфрамової спіралі лампи розжарювання в розжареному стані (\(\sim 3000\) К) у 10–15 разів більший, ніж у холодному, тому при вмиканні лампи струм короткочасно у багато разів перевищує усталений.

Що спостерігається насправді. Модель Друде передбачає \(\rho \propto \sqrt T\), але дослід показує інше. Якщо охолоджувати чистий метал, то:

• • при не надто низьких температурах опір зростає з температурою лінійно (8.6), а не як \(\sqrt T\);

• • при подальшому охолодженні опір спадає, але не до нуля: він виходить на сталу величину \(\rho _{\text {зал}}\), яку називають залишковим опором. Ця величина залежить не від температури, а від чистоти й досконалості кристала: у зразків одного й того самого металу з різним вмістом домішок і дефектів \(\rho _{\text {зал}}\) різна, а температурні криві лише зсунуті одна відносно одної (рис. 8.2);

• • в одних металах (ртуть, свинець, ніобій) нижче певної температури опір стрибком падає до нуля — це надпровідність (див. далі); в інших (мідь, срібло, золото) цього не відбувається;

• • довжина вільного пробігу, знайдена з провідності, в чистих металах значно більша, ніж дає класична оцінка (задача 8.1): у міді при \(300\) К вона \(\sim 40\) нм (на два порядки більша за міжатомну відстань), а при гелієвих температурах у чистих зразках може сягати міліметрів.

Ці факти класична теорія пояснити не може.

Квантова природа провідності металів

Щоб пояснити ці особливості, потрібна квантова теорія; для нашого викладу достатньо двох її ідей.

Перша ідея: принцип Паулі. Два електрони не можуть перебувати в одному квантовому стані, тому електрони заповнюють рівні знизу вгору. Енергію найвищого заповненого рівня називають енергією Фермі \(\epsilon _F\) (для міді \(\approx 7\) еВ, що в сотні разів більше за \(k_BT\) при \(300\) К). Змінити стан можуть лише електрони поблизу \(\epsilon _F\), тож у переносі заряду бере участь лише невелика їх частка, але рухаються вони зі швидкістю Фермі

\begin{equation} \label {eq:FermiVelocity} v_F=\sqrt {\frac {2\epsilon _F}{m_e}}\approx 1{,}6\cdot 10^{6}\ \text {м/с} \end{equation}

яка не залежить від температури. Тому час пробігу \(\tau =\ell /v_F\) визначається лише довжиною пробігу \(\ell \), а оскільки розсіяння на теплових коливаннях дає \(\ell \propto 1/T\), дістаємо \(\rho \propto T\) — саме лінійну залежність, яку спостерігають на досліді.

Друга ідея: хвильова природа електрона. Електрон поширюється в кристалі як хвиля і проходить крізь ідеально періодичну ґратку без розсіяння, тому опір такого кристала при \(T=0\) дорівнює нулю. Опір виникає лише там, де періодичність порушена: на теплових зміщеннях іонів та на домішках і дефектах (саме вони дають залишковий опір). Оскільки ці два механізми діють незалежно, їхні внески додаються (правило Маттіссена):

\begin{equation} \label {eq:Matthiessen} \tcbhighmath { \rho (T) = \rho _{\text {зал}} + \rho _{\text {фон}}(T), } \end{equation}

де \(\rho _{\text {зал}}\) — залишковий опір (внесок домішок і дефектів), а \(\rho _{\text {фон}}(T)\) — внесок теплових коливань ґратки (фононів). Другий доданок прямує до нуля при \(T\to 0\), а при не надто низьких температурах зростає лінійно, тому опір чистого металу при охолодженні виходить на плато \(\rho _{\text {зал}}\) (рис. 8.2).

Закон Відемана-Франца

Електрони в металі переносять не лише заряд, а й тепло, тому теплопровідність \(\kappa \) і електропровідність \(\lambda \) мають бути пов’язані. Справді, за теорією Друде-Лоренца обидві величини виражаються через ті самі \(n\), \(\tau \) і \(v_T\): \(\lambda =ne^2\tau /m_e\), \(\kappa =\tfrac 13nc_Vv_T^2\tau \), де \(c_V=\tfrac 32k_B\). Час \(\tau \) скорочується, і залишається

\begin{equation} \label {eq:WiedemannFranz} \frac {\kappa }{\lambda } = L T. \end{equation}

Величину \(L\) називають числом Лоренца (на честь Л. Лоренца, який у 1872 р. виявив, що \(\kappa /\lambda \propto T\); не плутати з Г. А. Лоренцем, автором моделі Друде-Лоренца). Класична теорія дає \(L_{\text {кл}}=\tfrac 32(k_B/e)^2\approx 1{,}1\cdot 10^{-8}\) Вт\(\cdot \)Ом/К\(^2\), а квантова — \(L=\tfrac {\pi ^2}{3}(k_B/e)^2\approx 2{,}44\cdot 10^{-8}\) Вт\(\cdot \)Ом/К\(^2\), що добре узгоджується з експериментом (\(2{,}2\)–\(2{,}6\cdot 10^{-8}\)).

Надпровідність

У 1911 р. Г. Камерлінг-Оннес виявив, що опір ртуті, охолодженої нижче критичної температури \(T_c\approx 4{,}15\) К, стрибкоподібно (а не поступово) звертається в точний нуль (рис. 8.3) — явище назвали надпровідністю. Це не просто «дуже мала» провідність: струм, одного разу збуджений у надпровідному кільці, циркулює без джерела ЕРС практично необмежено довго.

Нульовий опір змінює й енергетику постійного струму. У нормальному провіднику струм підтримується лише джерелом сторонніх сил, яке компенсує тепловтрати \(\mathcal P=I^2R\) (7.26) (розд. 7). У надпровідному кільці \(R=0\), тепло не виділяється (\(w=\vect j\cdot \Efield =0\), пор. (7.25)), і збуджений струм тече без джерела ЕРС. Диференціальний закон Ома \(\vect j=\lambda \Efield \) тут непридатний: \(\lambda \to \infty \), \(\Efield \to 0\), а густина струму залишається скінченною.

Мікроскопічний механізм надпровідності пояснює теорія Бардіна-Купера-Шріффера (БКШ, 1957). У кристалі між електронами виникає слабке притягання, яке передає ґратка: електрон деформує її, і до цієї деформації притягується інший електрон (рис. 8.4). За низьких температур електрони об’єднуються в куперівські пари й утворюють єдиний колективний квантовий стан; щоб розсіяти електрон у ньому, пару треба зруйнувати, а для цього потрібна енергія не менша за енергетичну щілину, якої ґратка за низьких температур не має, тому опір дорівнює нулю. (Мідь і золото надпровідними не стають: електрони в них слабко взаємодіють з ґраткою, тому рідко розсіюються на її коливаннях, і метали добре проводять струм, але така слабка взаємодія не здатна зв’язати електрони в пари.)

У 1986 р. Й. Беднорц і К. Мюллер відкрили високотемпературну надпровідність у купратній кераміці з \(T_c\), що згодом перевищила температуру кипіння рідкого азоту (\(77\) К) — це відкрило шлях до значно дешевшого азотного, а не гелієвого, охолодження. Механізм високотемпературної надпровідності досі остаточно не з’ясований: стандартна фононна теорія БКШ, найімовірніше, його не пояснює.

У табл. 8.1 наведено \(T_c\) кількох характерних надпровідників. Два орієнтири: температура кипіння рідкого гелію (\(4{,}2\) К) — межа, нижче якої працюють усі звичайні надпровідники, і температура кипіння рідкого азоту (\(77\) К): купрати з \(T_c>77\) К (першим був YBCO) можна охолоджувати дешевим азотом замість гелію.

Надпровідники застосовують там, де потрібні сильні магнітні поля або відсутні теплові втрати: у магнітах томографів (МРТ) і прискорювачів (наприклад, диполі з  у Великому адронному колайдері) та в надпровідних кубітах квантових комп’ютерів.

8.2 Електричний струм в електролітах

Електролітами називають речовини, водні або інші розчини яких проводять електричний струм завдяки наявності рухливих йонів. До електролітів належать розчини кислот, лугів і солей, а також розплави багатьох йонних сполук.

На відміну від металів, у електроліті струм переносять частинки двох знаків:

• • позитивні йони — катіони, які рухаються до катода;

• • негативні йони — аніони, які рухаються до анода.

Нехай концентрація катіонів дорівнює \(n_+\), їхній заряд \(q_+>0\), а середня дрейфова швидкість — \(\vect u_+\). Для аніонів відповідні величини позначимо \(n_-\), \(q_-<0\) та \(\vect u_-\). Тоді

\begin{equation} \label {eq:ElectrolyteCurrent} \vect j = n_+q_+\vect u_+ + n_-q_-\vect u_-. \end{equation}

Це формула (7.4) для двох сортів носіїв протилежних знаків. Оскільки катіони рухаються за напрямом поля, а аніони — проти нього, внески обох сортів у густину струму мають один і той самий напрямок.

Для слабких полів дрейфову швидкість йонів можна записати у вигляді

\begin{equation*} \vect u_\pm = \mu _\pm \Efield , \end{equation*}

де \(\mu _\pm \) — рухливості відповідних йонів. Тоді

\begin{equation} \label {eq:ElectrolyteConductivity} \lambda = n_+q_+\mu _+ + n_-|q_-|\mu _-. \end{equation}

Рухливість йонів визначається в’язким тертям розчинника: за формулою Стокса, сила опору руху йона радіуса \(a\) зі швидкістю \(u\) дорівнює \(6\pi \eta a u\) (\(\eta \) — в’язкість), тому усталений дрейф настає при \(|q|E=6\pi \eta a u\), звідки \(\mu =|q|/(6\pi \eta a)\). Типові рухливості йонів у воді — порядку \(10^{-8}\)–\(10^{-7}\) м\(^2\)/(В\(\cdot \)с). З підвищенням температури в’язкість води спадає, тому провідність електролітів, на відміну від металів, зростає з температурою (приблизно на \(2\%\) на кельвін). Від концентрації розчину \(\lambda \) залежить немонотонно: спочатку зростає (більше йонів), а в концентрованих розчинах спадає (міжйонна взаємодія, неповна дисоціація).

На відміну від металів, проходження струму через електроліт супроводжується перенесенням речовини. Йони, рухаючись до електродів, можуть брати участь у хімічних реакціях. Це явище називають електролізом (рис. 8.5).

Струм у колі неперервний: \(\divg \vect j=0\) (7.7). Це означає, що через будь-який переріз кола за одиницю часу проходить однаковий заряд. Але носії цього заряду в різних ділянках різні: у металевому електроді — електрони, в електроліті — йони. На межі електрод-електроліт одні носії перетворюються на інші в електродних реакціях: на катоді електрон з металу приєднується до катіона, на аноді аніон віддає електрон металу. Саме тому сила струму однакова в усіх перерізах кола, хоча природа носіїв уздовж кола змінюється.

Закони Фарадея для електролізу

Нехай через електроліт за час \(t\) пройшов заряд

\begin{equation*} q=It. \end{equation*}

Експериментально М. Фарадей встановив, що маса речовини, виділена на електроді, пропорційна заряду, який пройшов через електроліт:

\begin{equation} \label {eq:FaradayFirst} m=kq=kIt, \end{equation}

де \(k\) — електрохімічний еквівалент речовини.

Другий закон Фарадея: електрохімічний еквівалент пропорційний хімічному еквіваленту речовини, \(k=\dfrac 1F\cdot \dfrac {\mu }{z}\), де \(\mu /z\) — маса одного моля еквівалентів, а \(F\) — універсальна стала.

Для одновалентних йонів маса одного моля речовини \(\mu \) відповідає заряду \(F\), який називають сталою Фарадея:

\begin{equation} F=N_Ae\approx 9.65\cdot 10^4\ \text {Кл/моль}. \end{equation}

Для йона з валентністю \(z\) заряд одного моля дорівнює \(zF\). Тому другий закон Фарадея можна записати:

\begin{equation} \label {eq:FaradaySecond} \frac {m}{q}=\frac {\mu }{zF}, \end{equation}

а загальна формула для маси виділеної речовини набуває вигляду

\begin{equation} \label {eq:ElectrolysisMass} \tcbhighmath { m=\frac {\mu }{zF}It. } \end{equation}

На електродах можуть відбуватися складні хімічні реакції. Тому електроліз не слід розуміти просто як механічне «осадження йонів»: електродні реакції визначають, яка саме речовина фактично утворюється на електроді.

Електролітична комірка як неоднорідна ділянка кола

Розчин з електродами — це ділянка кола, на якій, окрім омічного спаду напруги, діє ще й ЕРС хімічного походження. Якщо через комірку пропускають струм \(I\) від зовнішнього джерела, то на межах електрод-розчин виникає ЕРС поляризації \(\emf _{\text {пол}}\) (зворотна ЕРС: продукти електролізу самі утворюють гальванічний елемент, ЕРС якого напрямлена проти струму). Застосуємо закон Ома для неоднорідної ділянки (7.19) з \(\phi _1-\phi _2=U\) і \(\emf =-\emf _{\text {пол}}\):

\begin{equation} \label {eq:ElectrolysisOhm} IR = U - \emf _{\text {пол}}, \qquad I = \frac {U-\emf _{\text {пол}}}{R}, \end{equation}

де \(R\) — опір розчину. Струм з’являється лише при \(U>\emf _{\text {пол}}\) («напруга розкладання»), а потужність джерела \(UI\) ділиться на джоулеве тепло в розчині \(I^2R\) (закон Джоуля-Ленца \(w=\lambda E^2\) справедливий і для йонної провідності, див. (7.25)) та корисну хімічну роботу \(\emf _{\text {пол}}I\).

Обернений процес — гальванічний елемент та акумулятор: хімічні реакції на електродах відіграють роль сторонніх сил (див. розд. 7), які розділяють заряди й створюють ЕРС \(\emf \).

8.3 Електричний струм у газах

У звичайному стані гази є дуже слабкими провідниками: більшість їхніх молекул та атомів електрично нейтральні, а концентрація вільних заряджених частинок дуже мала. Однак під дією зовнішнього чинника частина атомів або молекул може іонізуватися:

\begin{equation*} \mathrm {A}\longrightarrow \mathrm {A}^+ + e^-. \end{equation*}

Внаслідок цього в газі з’являються електрони та позитивні йони. За певних умов виникають також негативні йони.

Іонізацією називають процес утворення позитивних і негативних заряджених частинок із нейтральних атомів або молекул. Іонізацію газу можуть спричиняти нагрівання, ультрафіолетове та рентгенівське випромінювання, швидкі заряджені частинки, радіоактивне випромінювання та сильне електричне поле.

Одночасно з іонізацією відбувається зворотний процес — рекомбінація: позитивні та негативні носії зустрічаються й утворюють нейтральні частинки.

Отже, провідність газу визначається конкуренцією двох процесів:

\begin{equation*} \text {іонізація}\quad \rightleftarrows \quad \text {рекомбінація}. \end{equation*}

Щоб рекомбінувати, позитивний і негативний носії мають зустрітися. Чим більше тих і інших в одиниці об’єму, тим частіше вони зустрічаються, тому швидкість рекомбінації пропорційна добутку їхніх концентрацій, \(\beta n_+n_-\). Це кінетична форма закону діючих мас: швидкість процесу, що потребує зустрічі двох сортів частинок, пропорційна добутку їхніх концентрацій. Носії народжуються парами, тому \(n_+=n_-=n\) і швидкість рекомбінації дорівнює \(\beta n^2\). Нехай іонізатор створює в одиниці об’єму за одиницю часу \(N\) пар (\(N\) вимірюється в м\(^{-3}\cdot \)с\(^{-1}\)). Тоді за відсутності поля, що виносить носії на електроди, баланс носіїв описує рівняння:

\begin{equation} \label {eq:IonizationBalance} \frac {dn}{dt} = N - \beta n^2, \end{equation}

де \(\beta \) — коефіцієнт рекомбінації (\(\beta \approx 1{,}6\cdot 10^{-12}\) м\(^3\)/с для йонів у повітрі). У стаціонарному стані \(dn/dt=0\), тобто генерація \(N\) дорівнює рекомбінації \(\beta n_0^2\), звідки \(n_0=\sqrt {N/\beta }\) (добуток концентрацій \(n_+n_-=N/\beta \) при цьому сталий — так само, як у напівпровідниках, див. секцію 8.5); після вимкнення іонізатора концентрація спадає за законом \(n=n_0/(1+\beta n_0t)\) — не експоненційно. Рівняння (8.18) — це рівняння неперервності (7.6) для носіїв одного сорту.

Несамостійний газовий розряд

Якщо зовнішній іонізатор постійно створює заряджені частинки, а між електродами прикладено електричне поле, електрони та йони починають рухатися впорядковано. Виникає несамостійний газовий розряд.

Без поля концентрація носіїв визначається балансом (8.18). При збільшенні напруженості поля струм спочатку зростає, оскільки все більша частина створених заряджених частинок досягає електродів.

При достатньо великому полі практично всі створені іонізатором носії доходять до електродів. Подальше збільшення поля вже майже не змінює струм: настає струм насичення.

Густину струму насичення знаходимо з умови, що в стаціонарному режимі кожна створена пара має дійти до електродів: у плоскому конденсаторі з відстанню \(d\) між електродами

\begin{equation} \label {eq:SaturationCurrentDensity} j_{\text {нас}} = eNd, \qquad I_{\text {нас}} = eNSd = eNV, \end{equation}

тобто струм насичення визначається лише потужністю іонізатора й не залежить від напруги. При малих напругах, навпаки, носії встигають рекомбінувати раніше, ніж дійдуть до електродів, і виконується закон Ома (7.10) з \(\lambda =en_0(\mu _++\mu _-)=e(\mu _++\mu _-)\sqrt {N/\beta }\), де \(\mu _\pm \) — рухливості йонів. Ділянка закону Ома закінчується приблизно там, де омічна густина струму \(\lambda E\) зрівнюється з \(j_{\text {нас}}\) (рис. 8.6).

На рис. 8.6 ділянки 1 і 3 — це розглянуті вище омічна ділянка та струм насичення. На ділянці 2 зростання струму сповільнюється, бо частина носіїв ще встигає рекомбінувати. Ділянка 4 — лавинне зростання, де поле вже достатнє для ударної іонізації, і розряд переходить у самостійний (пробій, точка \(e\)); про нього йдеться далі.

Самостійний газовий розряд

За достатньо сильного електричного поля газ починає підтримувати свою іонізацію сам, без зовнішнього іонізатора. Такий розряд називають самостійним. Розберемо, як це відбувається.

Ударна іонізація. Між двома зіткненнями з молекулами електрон прискорюється полем і набуває енергії порядку \(eE\ell \), де \(\ell \) — довжина вільного пробігу. Якщо ця енергія не менша за енергію іонізації молекули \(W_i\) (зазвичай \(10\)–\(15\) еВ), то при наступному зіткненні електрон вибиває з молекули ще один електрон:

\begin{equation*} e^-+\mathrm {A}\longrightarrow 2e^-+\mathrm {A}^+. \end{equation*}

Звідси оцінка необхідного поля: \(E\gtrsim W_i/(e\ell )\) (задача 8.10).

Електронна лавина. Після такого акту електронів уже два; обидва прискорюються полем і іонізують нові молекули, потім їх стає чотири, вісім і так далі. Число електронів лавинно (експоненційно) зростає в міру руху до анода, тому й говорять про електронну лавину (рис. 8.7). Позитивні йони, що при цьому утворюються, важкі й повільні: вони дрейфують до катода.

Чому лавини ще не досить? Лавина закінчується, коли електрони досягають анода. Якщо початкові електрони постачав зовнішній іонізатор, то без нього нова лавина не почнеться, і розряд згасне: він несамостійний. Щоб розряд існував сам, він має сам постачати початкові електрони для наступних лавин. Це роблять позитивні йони: потрапляючи на катод, вони вибивають з нього електрони (вторинна емісія). Якщо кожна лавина породжує стільки йонів, що на катоді з’являється принаймні один новий електрон, то він запускає наступну лавину, і процес відтворює сам себе. Це й є умова самопідтримання розряду (умова Таунсенда), а перехід від несамостійного розряду до самостійного називають пробоєм; напругу між електродами, за якої він настає, називають напругою запалювання.

Електрична міцність. Напруженість поля, за якої настає пробій газу, називають його електричною міцністю \(E_{\text {пр}}\). Для повітря при нормальному тиску \(E_{\text {пр}}\approx 3\cdot 10^{6}\) В/м (3 кВ на міліметр): щоб пробити сантиметровий повітряний проміжок, потрібно близько \(30\) кВ.

Вплив тиску. Напруга запалювання залежить не лише від відстані між електродами, а й від тиску газу (Пашен, 1889). У розрідженому газі довжина пробігу \(\ell \) велика й електрон легко набирає енергію, але молекул так мало, що лавина майже не розвивається. У щільному газі молекул багато, але між зіткненнями електрон проходить малий шлях і не встигає набрати енергію, потрібну для іонізації. Тому напруга запалювання найменша при деякому «проміжному» тиску (для повітря \(\sim 300\) В) і зростає як при його зниженні, так і при підвищенні.

Різні режими самостійного газового розряду відрізняються умовами протікання, механізмом підтримання та характерним світінням (рис. 8.8, табл. 8.2).

8.4 Електричний струм у вакуумі

У ідеальному вакуумі немає речовини, а отже, немає і готових носіїв струму. Проте струм у вакуумі можливий, якщо джерело заряджених частинок розміщене безпосередньо в області вакууму.

Найважливішим механізмом є електронна емісія — вихід електронів із поверхні твердого тіла.

Залежно від механізму розрізняють:

• • термоелектронну емісію — вихід електронів при нагріванні;

• • фотоелектронну емісію — вихід електронів під дією світла;

• • автоелектронну емісію — вихід електронів під дією дуже сильного електричного поля;

• • вторинну емісію — вибивання електронів із поверхні при бомбардуванні її швидкими частинками.

Усі ці механізми об’єднує одне: електрон не може вільно покинути метал, бо на його поверхні діє потенціальний бар’єр (рис. 8.9). Мінімальну енергію, яку треба передати електрону для виходу, називають роботою виходу \(A_{\text {вих}}\). Механізми емісії відрізняються лише тим, звідки електрон її отримує. При нагріванні — з теплового руху. Під дією світла — з енергії фотона: \(h\nu =A_{\text {вих}}+\tfrac 12m_ev^2\) (формула Ейнштейна, 1905; ефект спостерігав Г. Герц у 1887 р.). У дуже сильному полі (\(\sim 10^9\) В/м) бар’єр стає настільки тонким, що електрони «просочуються» крізь нього (тунельний ефект), навіть без нагріву. При вторинній емісії енергію передає швидка частинка. Типові значення \(A_{\text {вих}}\): вольфрам — \(4{,}5\) еВ, цезій — \(2{,}1\) еВ, оксидні катоди () — близько \(1\)–\(1{,}5\) еВ; саме тому оксидні катоди працюють при значно нижчих температурах.

У найпростішому наближенні густина термоелектронного струму описується законом Річардсона-Дешмана:

\begin{equation} \label {eq:RichardsonDushman} j = A_R T^2 \exp \left (-\frac {A_{\text {вих}}}{k_BT}\right ), \end{equation}

де \(A_R\sim 10^{6}\) А/(м\(^2\cdot \)К\(^2\)) — стала Річардсона (для різних металів того ж порядку). Експоненціальний множник показує, що струм дуже чутливий до температури: його визначає частка електронів, чия енергія перевищує \(A_{\text {вих}}\) (задача 8.12).

Класичним прикладом вакуумного струму є електронна лампа (рис. 8.10). У найпростішому вакуумному діоді нагрітий катод емітує електрони, а позитивно заряджений анод притягує їх. За відповідної полярності анода струм проходить, тоді як при зміні полярності електрони не можуть потрапити на анод. Таким чином, вакуумний діод має властивість односторонньої провідності.

Струм, обмежений просторовим зарядом

У вакуумі носії рухаються без зіткнень, тому густина струму задається формулою (7.4): \(j=\rho u\), де \(\rho \) — густина заряду електронів, а \(u\) — їхня швидкість (тепер не повільний дрейф у речовині, а швидкість вільного прискорення полем). У стаціонарному режимі \(\divg \vect j=0\) (7.7), тож у плоскому діоді \(j=\rho (x)v(x)=\const \).

Якщо катод емітує багато електронів, біля нього утворюється хмара просторового заряду, яка повністю екранує поле катода (\(E(0) = -\left .\frac {\mathrm {d}\phi }{\mathrm {d}x}\right |_{x=0} = 0\)) й обмежує струм. Швидкість електрона на відстані \(x\) від катода визначається потенціалом \(\phi (x)\) у цій точці: \(v=\sqrt {2e\phi /m_e}\) (із закону збереження енергії), тому модуль густини заряду \(|\rho | = j/v = j\sqrt {m_e/(2e)}\,\phi ^{-1/2}\) (рис. 8.11).

Підставимо \(|\rho |\) в одновимірне рівняння Пуассона:

\begin{equation*} \frac {d^2\phi }{dx^2} = 4\pi |\rho | = 4\pi j \sqrt {\frac {m_e}{2e}} \, \phi ^{-1/2}. \end{equation*}

Помноживши на \(2\,d\phi /dx\) й проінтегрувавши з урахуванням умов на катоді (\(\phi (0)=0\), \(\phi '(0)=0\)), дістаємо \((d\phi /dx)^2 = 16\pi j \sqrt {m_e/2e}\,\phi ^{1/2}\). Розділивши змінні й проінтегрувавши ще раз, маємо

\begin{equation*} \frac {1}{3}\,\phi ^{3/4}(x) = \sqrt {\pi j} \left (\frac {m_e}{2e}\right )^{1/4} x, \qquad \text {тобто}\quad \phi (x)\propto x^{4/3}. \end{equation*}

На аноді (\(x=d\), \(\phi =U\)) звідси \(\tfrac 19 U^{3/2} = \pi j \sqrt {m_e/2e}\, d^2\), що й дає закон трьох других (закон Чайльда-Ленгмюра):

\begin{equation} \label {eq:ChildLangmuir} j = \frac {\sqrt 2}{9\pi }\sqrt {\frac {e}{m_e}}\,\frac {U^{3/2}}{d^2}. \end{equation}

У СІ рівняння Пуассона має вигляд \(\phi =|\rho |/\epsilon _0\), і результат записується як \(j=\dfrac {4\epsilon _0}{9}\sqrt {\dfrac {2e}{m_e}}\dfrac {U^{3/2}}{d^2}\).

Струм росте не лінійно з напругою, а як \(U^{3/2}\), тому закон Ома для вакуумного діода не виконується. Лише коли напруга така, що всі емітовані електрони відразу йдуть на анод, струм виходить на насичення, яке за законом Річардсона-Дешмана (8.20) визначається температурою катода (рис. 8.12). Електричний струм гріє не простір між електродами, а сам анод, у який на повній швидкості врізаються розігнані електрони, виділяючи потужність \(\mathcal {P} = IU\).

8.5 Електричний струм у напівпровідниках

Напівпровідники займають проміжне положення між металами та діелектриками за величиною електропровідності. До них належать, зокрема, кремній, германій та багато складних напівпровідникових сполук.

Головна особливість напівпровідників полягає в тому, що концентрація носіїв струму дуже чутлива до температури, домішок, освітлення та інших зовнішніх чинників.

Причину такої поведінки пояснює зонна теорія. Енергії, які може мати електрон у кристалі, утворюють смуги — зони, розділені забороненими інтервалами (рис. 8.13).

Струм можливий лише тоді, коли електрон може змінити стан, тобто поруч є вільні стани (як і для металів, див. принцип Паулі в секції 8.1). У металі верхня зона заповнена частково, тож вільні стани є завжди. У діелектрику й напівпровіднику при \(T=0\) нижня (валентна) зона заповнена повністю, а вища (зона провідності) порожня, тому струму немає. Різниця між ними лише в ширині забороненої зони \(E_g\). У напівпровідників вона порівняно мала (кремній — \(1{,}12\) еВ, германій — \(0{,}66\) еВ,  — \(1{,}42\) еВ), тому вже тепловий рух (\(k_BT\approx 0{,}026\) еВ при \(300\) К) закидає в зону провідності помітну кількість електронів, і ця кількість швидко росте з температурою. У діелектрика (\(E_g\gtrsim 5\) еВ, алмаз — \(5{,}5\) еВ) цього не відбувається.

За абсолютного нуля (\(T = 0\text {~К}\)) власний напівпровідник є діелектриком: усі електрони задіяні в ковалентних зв’язках. З підвищенням температури тепловий рух розриває окремі зв’язки, одночасно створюючи вільний електрон і порожнє місце з-під нього.

Таким чином, у напівпровіднику носіями струму є:

• • електрони — частинки з зарядом \(-e\), що перебувають у зоні провідності;

• • дірки — ефективні позитивні носії заряду, пов’язані з відсутністю електрона у валентній зоні.

Дірка не є самостійною елементарною частинкою. Це зручний спосіб опису колективного руху електронів у майже заповненій валентній зоні. Якщо сусідній електрон переходить на місце вакансії, сама вакансія переміщується в протилежному напрямку, ніби позитивно заряджена частинка (рис. 8.14). Тому густина струму в напівпровіднику має два внески:

\begin{equation} \label {eq:SemiconductorCurrent} \vect j = -e n\,\vect u_n +e p\,\vect u_p, \end{equation}

де \(n\) і \(p\) — концентрації електронів та дірок, а \(\vect u_n\) і \(\vect u_p\) — їхні дрейфові швидкості.

У лінійному режимі

\begin{equation*} \vect u_n=-\mu _n\vect E, \qquad \vect u_p=\mu _p\vect E, \end{equation*}

тому

\begin{equation} \label {eq:SemiconductorConductivity} \tcbhighmath { \lambda =e(n\mu _n+p\mu _p). } \end{equation}

Власна та домішкова провідність

У чистому напівпровіднику електрони та дірки виникають парами. Якщо концентрація власних носіїв дорівнює \(n_i\), то

\begin{equation*} n=p=n_i. \end{equation*}

За підвищення температури частина електронів отримує достатню енергію для переходу через заборонену енергетичну зону, і концентрація носіїв швидко зростає.

У наближенні невиродженого напівпровідника

\begin{equation} \label {eq:IntrinsicConcentration} n_i\propto T^{3/2} \exp \left (-\frac {E_g}{2k_BT}\right ), \end{equation}

де \(E_g\) — ширина забороненої зони.

Саме експоненційний множник є принципово важливим: навіть невелике підвищення температури може суттєво збільшити концентрацію носіїв.

Ключова властивість напівпровідників, завдяки якій існує сучасна мікроелектроніка, — це можливість істотно змінювати їхню електричну провідність шляхом введення невеликої кількості атомів інших елементів (домішок). Залежно від наявності домішок напівпровідники поділяють на власні (чисті) та домішкові.

За характером дії на провідність матеріалу домішки поділяють на дві групи:

• • донорні (донори) — віддають («дарують») додаткові електрони в зону провідності, утворюючи напівпровідник \(n\)-типу;

• • акцепторні (акцептори) — захоплюють («приймають») електрони з валентної зони, створюючи дірки й утворюючи напівпровідник \(p\)-типу.

Механізм дії домішок визначається відношенням їхньої валентності до валентності атомів основного кристала. Для найпоширенішого 4-валентного напівпровідника — кремнію (\(\text {Si}\)):

• • Типові донори — елементи V групи (фосфор, миш’як, сурма). Чотири їхні валентні електрони утворюють зв’язки з атомами кремнію, а п’ятий електрон виявляється слабко зв’язаним із ядром. Тому вже за кімнатної температури практично всі донори іонізовані (віддають електрон у зону провідності).

• • Типові акцептори — елементи III групи (бор, алюміній, галій). Вони мають лише три валентні електрони, тому для формування чотирьох зв’язків захоплюють електрон із валентної зони кремнію, утворюючи рухливу дірку.

Кількість введених домішок характеризують їхньою концентрацією — \(N_d\) (для донорів) та \(N_a\) (для акцепторів).

Оскільки за кімнатної температури практично всі атоми домішки іонізовані, кожен донор віддає в зону провідності один електрон. Якщо концентрація донорів значно перевищує власну концентрацію (\(N_d \gg n_i\)), то кількість електронів у напівпровіднику визначається майже виключно домішкою:

\begin{equation} n \approx N_d. \end{equation}

У такому напівпровіднику \(n\)-типу:

• • електрони — це основні носії (їх більшість і їх кількість задає домішка);

• • дірки — це неосновні носії (їх утворюється дуже мало внаслідок теплового руху).

Попри те що домішки кардинально змінюють концентрації \(n\) та \(p\) окремо, за термодинамічної рівноваги добуток їхніх концентрацій залишається постійною величиною. Цю залежність називають законом діючих мас:

\begin{equation} \label {eq:MassAction} np = n_i^2. \end{equation}

Походження цього закону те саме, що й у газі (секція 8.3, формула (8.18)): теплове збудження породжує пари електрон-дірка зі швидкістю \(G(T)\), а рекомбінація (зустріч електрона з діркою) відбувається зі швидкістю \(\beta np\). У рівновазі \(G=\beta np\), тому добуток \(np=G/\beta \equiv n_i^2\) визначається лише температурою та шириною забороненої зони. Домішки змінюють \(n\) і \(p\) окремо, але не їхній добуток.

Звідси концентрація неосновних носіїв (дірок) у напівпровіднику \(n\)-типу становить \(p = n_i^2 / N_d\). Вона є мізерно малою, оскільки надлишок електронів прискорює їхню рекомбінацію з дірками.

Попри це, загальна провідність зростає на багато порядків: навіть одна домішкова заміна на кілька мільйонів атомів кремнію збільшує провідність у \(\sim 10^5\) разів (задача 8.16).

У домішковому напівпровіднику температурна залежність складніша, ніж у власному. За кімнатних температур домішки зазвичай повністю іонізовані, тому концентрація основних носіїв залишається майже сталою (\(n \approx N_d\)), а зміна провідності визначається переважно температурною залежністю рухливості носіїв.

За високих температур починає переважати власна провідність (\(n_i \gg N_d\)), і кристал втрачає свій \(n\)- або \(p\)-тип. Оскільки робота електронних компонентів базується саме на поєднанні \(n\)- та \(p\)-областей, така втрата специфіки робить функціонування кремнієвих структур неможливим за температур понад \(\sim 150\)–\(200\,^\circ \text {C}\).

Контакт двох напівпровідників

Якщо привести в контакт напівпровідники \(p\)- та \(n\)-типів, виникає \(p\)–\(n\)-перехід. Електрони з області \(n\)-типу дифундують у напрямку області \(p\)-типу, а дірки — у протилежному напрямку.

Поблизу межі контакту носії рекомбінують, і утворюється збіднений шар, у якому залишаються нерухомі заряджені домішки (рис. 8.15). Ці заряди створюють внутрішнє електричне поле, яке перешкоджає подальшій дифузії основних носіїв.

У результаті на межі виникає контактна різниця потенціалів. Зовнішня напруга може або посилювати внутрішнє поле, або послаблювати його.

Якщо зовнішнє поле зменшує потенціальний бар’єр, через перехід проходить значний струм — це пряме зміщення. При протилежному напрямку напруги бар’єр збільшується, і струм основних носіїв різко зменшується — зворотне зміщення.

Саме ця асиметрія лежить в основі роботи напівпровідникового діода.

Рівновага настає, коли дифузійний струм основних носіїв (вони прагнуть перейти з області, де їх багато, в область, де їх мало) зрівноважується дрейфовим струмом у полі збідненого шару. Це поле створює контактну різницю потенціалів

\begin{equation} \label {eq:ContactPotential} \phi _k=\frac {k_BT}{e}\ln \frac {N_dN_a}{n_i^2}, \end{equation}

де \(N_d\) і \(N_a\) — концентрації донорів і акцепторів (формулу наводимо без виведення). Для кремнію \(\phi _k\approx 0{,}6\)–\(0{,}8\) В.

Прикладена напруга \(U\) (додатна при прямому зміщенні) змінює висоту бар’єра до \(e(\phi _k-U)\). Струм основних носіїв, що долають бар’єр, зростає як \(e^{eU/k_BT}\), тоді як струм неосновних носіїв від \(U\) практично не залежить. Результат описує формула Шоклі

\begin{equation} \label {eq:Shockley} I=I_s\left (e^{eU/k_BT}-1\right ), \end{equation}

де \(I_s\) — зворотний струм насичення (сильно, експоненційно залежить від температури). При прямому зміщенні \(U\gg k_BT/e\approx 26\) мВ струм зростає експоненційно, а при зворотному \(I\to -I_s\) (рис. 8.16). Вольт-амперна характеристика \(p\)–\(n\)-переходу нелінійна, отже закон Ома для нього непридатний.

Унікальні властивості \(p\)-\(n\)-переходу лежать в основі роботи більшості напівпровідникових приладів:

• • Випрямні діоди — використовують однобічну провідність переходу для перетворення змінного струму на постійний.

• • Світлодіоди — випромінюють світло при прямому зміщенні внаслідок рекомбінації електронів і дірок.

• • Сонячні елементи та фотодіоди — перетворюють світло на електричний струм шляхом фотогенерації пар носіїв у збідненому шарі.

• • Транзистори — містять два \(p\)-\(n\)-переходи й слугують базовими елементами сучасних інтегральних схем.

Підсумки

Підсумуємо відмінності між середовищами (табл. 8.3): макроскопічна природа струму спільна, а мікроскопічна реалізація різна.

Попри ці відмінності, для всіх середовищ залишається справедливим фундаментальний зв’язок (8.1), тобто мікроскопічна основа поняття густини струму. Усі відмінності між провідниками зводяться до відповіді на три запитання:

• 1. Які частинки є носіями заряду?

• 2. Скільки їх у одиниці об’єму?

• 3. Як електричне поле змінює їхній рух?

У цьому розділі закон Ома, що в розд. 7 постулювався як властивість середовища, набув мікроскопічного змісту: провідність \(\lambda \) визначається тим, які носії є в середовищі, скільки їх і наскільки легко поле їх рухає (8.4).

За цією ознакою середовища природно діляться на дві групи. У металах і електролітах кількість носіїв задана самою речовиною, тому все визначає їхня рухливість, а закон Ома виконується. У газах, вакуумі й напівпровідниках кількість носіїв залежить від зовнішніх умов — іонізації, емісії, температури, домішок, — і зазвичай змінюється разом із полем, тому струм нелінійно залежить від напруги. Надпровідність є граничним випадком, де закон Ома втрачає зміст, бо \(\rho =0\).

Усі середовища підкоряються загальним законам розд. 7: збереженню заряду, закону Джоуля-Ленца, узагальненому закону Ома зі сторонніми силами. Нові тут лише мікроскопічні причини, які визначають \(\lambda \). Крім того, на прикладі металів видно межі класичної моделі: щоб правильно описати температурну залежність опору й закон Відемана-Франца, довелося залучити принцип Паулі.

Задачі