Електрика та магнетизм

Розділ 4 Електричне поле у провідниках

4.1 Структура провідників

Провідниками називають речовини, в структурі яких є вільні заряди (електрони в металах, наприклад), які можуть переміщуватися під дією як завгодно слабких полів (рис. 4.1).

Електронні оболонки атомів, що складають кристалічну решітку металів, сильно перекриваються, внаслідок чого не можна вказати, біля якого іона локалізовано той чи інший електрон валентної оболонки, — вони легко перетікають від одного іона до іншого, і, в цьому разі, кажуть, що електрони колективізовані. Іони — це ядра й електрони внутрішніх оболонок, які сильно локалізовані. Електрони, які делокалізовані, вільно переміщаються по кристалу. Саме вільні електрони відповідають за багато фізичних і, особливо, транспортних властивостей металів.

Досліди Толмена та Стюарта

У 1916 р. американський фізик Р. Толмен (1881-1948) і американський фізик Т. Д. Стюарт виконали кількісні виміри, які неспростовно довели, що струм у металевих провідниках зумовлений рухом вільних електронів (рис. 4.2).

У цих дослідах котушку з великим числом витків тонкого дроту підключали до гальванометра і приводили в швидке обертання навколо своєї осі. Під час різкого гальмування котушки в колі виникав короткочасний струм, зумовлений інерцією носіїв заряду. За напрямком відхилення стрілки гальванометра було встановлено, що електричний струм створюють негативно заряджені частинки. При цьому експериментально був отриманий питомий заряд носіїв \(q/m\), близький до питомого заряду електрона, отриманого з інших дослідів. Так було експериментально доведено, що носіями вільних зарядів у металах є електрони.

4.2 Провідник у полі

Якщо провідник потрапляє в поле, електрони в ньому починають рухатися проти поля. На одній частині поверхні провідника виступає негативний заряд — ця поверхня стає збагаченою електронами. На протилежній частині поверхні електронів виявляється дещо менше, ніж потрібно для нейтралізації позитивного іонного заряду кристалічної решітки, і ця частина поверхні виявляється зарядженою позитивно. Позитивна і негативна частини поверхні створюють своє власне поле, за напрямком протилежне зовнішньому. Обидва поля — зовнішнє \(\Efield _\text {ex}\) і поле власних поверхневих зарядів провідника (\(\Efield _\text {in}\)) точно компенсують одне одного в усіх точках усередині провідника.На самій поверхні лишається лише нормальна складова повного поля, \(E_n=4\pi \sigma \) (див. нижче). Схема перерозподілу зарядів у провіднику, внесеному в зовнішнє електричне поле, показана на рис. 4.3.

Якби в якій-небудь ділянці провідника поля \(\Efield _\text {ex}\) і \(\Efield _\text {in}\) не компенсували одне одного, то в цій ділянці на електрони діяла б сила і йшов би струм. Відсутність струму означає повну компенсацію полів.

У стаціонарному стані, коли немає струмів, в об’ємі провідника результуюче електричне поле:

\begin{equation} \Efield = 0 \end{equation}

Струм буде текти доти, доки заряди не розташуються так, щоб поле було відсутнє усюди в об’ємі провідника.

З теореми Гаусса

\begin{equation*} \Efield = 0\ {\color {red}\Rightarrow }\ \rho = \frac 1{4\pi } \Div \Efield \ {\color {red}\Rightarrow }\ \rho = 0, \end{equation*}

об’ємна густина зарядів у провіднику дорівнює нулю, вільні заряди можуть розташовуватися тільки на поверхні.

Граничні умови

\begin{align*} E_n & = 4\pi \sigma , \\ E_{\tau } & = 0 \end{align*} показують, що силові лінії входять перпендикулярно в провідник.

Електрофорна машина (машина Вімсхерста)

Явище перерозподілу вільних зарядів у провіднику під дією зовнішнього поля (розглянуте вище, у §«Провідник у полі») лежить в основі електрофорної машини Вімсхерста — індукційного генератора, який, обертаючись, сам нарощує заряд до високих напруг завдяки позитивному зворотному зв’язку, без потреби заряджати щось ззовні тертям (рис. 4.4).

Машина складається з двох дисків із діелектрика (скла чи ебоніту), закріплених на спільній осі й приведених у обертання в протилежних напрямках; на зовнішньому боці кожного диска симетрично наклеєні радіальні металеві секторки. Дві пари діагонально розташованих нейтралізуючих стрижнів зі щітками на кінцях торкаються діаметрально протилежних секторів — кожна пара свого диска, — причому осі обох пар взаємно перпендикулярні.

Найменший випадковий заряд на якомусь секторі одного диска, проходячи повз «свій» нейтралізуючий стрижень, перерозподіляється між парою протилежних секторів. Поле цього заряду індукує на найближчих секторах другого диска, що обертається назустріч, заряд протилежного знака — сектор при цьому продовжує рухатися і невдовзі сам наближається до нейтралізуючого стрижня другого диска, де контактно передає й посилює перерозподіл заряду вже на секторах першого диска. Так з кожним обертом заряд наростає лавиноподібно, аж поки не встановиться рівновага між його приростом і втратами (іонізацією повітря, коронним розрядом тощо).

Накопичений заряд знімають гребінчасті збирачі біля країв дисків, розташовані там, де сектори проходять із найбільшим потенціалом, — і подають на дві лейденські банки (конденсатори, видно збоку на рис. 4.4) та на вихідні електроди з кульками на кінцях довгих стрижнів. Коли різниця потенціалів між кульками перевищує напругу пробою повітряного проміжку, відбувається іскровий розряд.

Поле в порожнині провідника

Зовнішні заряди, зокрема заряди на зовнішній поверхні провідника, не створюють у товщі провідника жодного електричного поля. Чи будуть з’являтись заряди на внутрішній поверхні провідника, в якому є порожнина?

Якщо в порожнині незарядженого провідника є заряд, то на внутрішній поверхні оболонки будуть створюватись індуковані заряди протилежного знака. На зовнішній оболонці заряд розподілиться по поверхні. На основі теореми Гаусса заряд на зовнішній поверхні буде дорівнювати заряду в порожнині (рис. 4.5).

Якщо в порожнині зарядженого провідника немає зарядів, то чи будуть заряди на його внутрішній поверхні оболонки (рис. 4.6)? Якби на внутрішній поверхні в порожнині були заряди, то циркуляція по замкненому контуру не дорівнювала б нулю \(\oint \limits _L \Efield \cdot d\vect {r} \neq 0\), що суперечить теоремі про циркуляцію. Отже, поля всередині порожнини не буде, а отже, індукованих зарядів там не буде.

Електростатичний захист

Електростатичний захист — це явище, яке дозволяє екранувати електричне поле, створюючи зону безпеки всередині замкненої металевої оболонки. У практичному застосуванні для цього часто використовують металеві сітки.

Явище було відкрито Майклом Фарадеєм 1836 року. Він звернув увагу, що зовнішнє електричне поле не може потрапити всередину металевої клітки. Електростатичний захист потрібен там, де необхідно екранувати електроприлади від зовнішніх електричних полів (наприклад, у блоках живлення, материнській платі комп’ютера, лабораторному обладнанні). Ці прилади поміщаються в металевий корпус, який захищає їх від зовнішніх електричних перешкод (рис. 4.7).

Той самий ефект пояснює, чому автомобіль і літак є відносно безпечним місцем під час грози: металевий кузов чи фюзеляж діє як клітка Фарадея, і при ударі блискавки струм тече по зовнішній провідній обшивці, не проникаючи всередину салону, де електричне поле залишається практично нульовим. З цієї ж причини кабіни літаків, корпуси суден і навіть металізовані шатра для чутливого обладнання захищають вміст від зовнішніх електромагнітних полів і розрядів.

Електростатичний генератор Ван-де-Граафа

Генератор Ван де Граафа — електростатичний генератор, в якому використовуються властивості циліндра Фарадея для створення високої напруги. Таким методом можна досягнути напруги до кількох мегавольт (рис. 4.8).

Простий генератор Ван де Граафа складається з діелектричної (шовкової або гумової) стрічки (\(4\) і \(5\) на малюнку), що обертається на роликах \(3\) і \(6\), причому верхній ролик діелектричний, а нижній металевий і з’єднаний з землею. Один з кінців стрічки укладений у металеву сферу \(1\). Два електроди \(2\) і \(7\) у формі щіток знаходяться на невеликій відстані від стрічки зверху і знизу, причому електрод 2 з’єднаний з внутрішньою поверхнею сфери 1. Поблизу нижнього електрода повітря іонізується, утворюються позитивні іони, які під дією сили Кулона рухаються до заземленого ролика \(6\) й осідають на стрічці, завдяки чому частина стрічки, що рухається вгору, заряджається. Стрічка доставляє заряд всередину сфери \(1\), де він знімається щіткою \(2\) завдяки тому, що всі заряди виштовхуються на поверхню сфери і поле всередині сфери створюється тільки додатковим зарядом на стрічці. Таким чином на зовнішній поверхні сфери накопичується електричний заряд. Можливість отримання високої напруги обмежена коронним розрядом, що виникає при іонізації повітря навколо сфери.

Сучасні генератори Ван де Граафа замість стрічок використовують ланцюги, що складаються з металевих і пластикових ланок, що чергуються між собою.

4.3 Електричне поле біля вістря

Електричні заряди завжди розподіляються тільки на поверхні провідника. Однак цей розподіл різний залежно від форми провідника: напруженість електричного поля і поверхнева густина заряду мають найбільші значення біля загострення провідника. Покажемо це на найпростішій моделі.

Розглянемо дві провідні кулі різних радіусів \(R_1\) і \(R_2\) (\(R_1 < R_2\)), з’єднані тонким провідним дротом і розташовані далеко одна від одної — настільки, що взаємним впливом їхніх полів одна на одну (а також зарядом самого дроту) можна знехтувати (рис. 4.9). Тоді заряд кожної кулі можна вважати розподіленим по її поверхні рівномірно, як у відокремленої кулі.

Оскільки кулі з’єднані провідником, увесь цей провідник (обидві кулі й дріт) являє собою єдиний провідник у стані рівноваги, а отже, є еквіпотенціальним:

\begin{equation*} \phi _1 = \phi _2 = \phi . \end{equation*}

Потенціал відокремленої зарядженої кулі радіуса \(R\) із зарядом \(Q\) дорівнює \(\phi = Q/R\). Виразимо звідси заряд через потенціал і радіус, а тоді знайдемо поверхневу густину заряду:

\begin{equation*} Q = \phi R, \qquad \sigma = \frac {Q}{4\pi R^2} = \frac {\phi }{4\pi R}. \end{equation*}

Отже, для обох куль

\begin{equation*} \sigma _1 R_1 = \sigma _2 R_2 = \frac {\phi }{4\pi } = \const , \end{equation*}

тобто поверхнева густина заряду обернено пропорційна радіусу кулі: \(\sigma \sim 1/R\). Оскільки напруженість поля біля поверхні провідника \(E = 4\pi \sigma \), вона також обернено пропорційна радіусу:

\begin{equation*} \frac {E_1}{E_2} = \frac {\sigma _1}{\sigma _2} = \frac {R_2}{R_1} > 1, \end{equation*}

тобто на кулі меншого радіуса і густина заряду, і поле сильніші.

Іонний вітер

«Іонний вітер» — явище, за якого рух повітря створюється за допомогою електричного поля.

Наявні в повітрі в невеликій кількості вільні заряди (іони обох знаків і електрони) поблизу вістря розганяються сильним полем і, вдаряючись об атоми газу, іонізують їх. Створюється область просторового заряду, звідки іони того ж знака, що й вістря, виштовхуються полем, захоплюючи за собою атоми газу. Потік атомів та іонів, спрямований від вістря, створює враження «стікання зарядів». При цьому вістря розряджається (іонами протилежного знака, що потрапляють на нього) і одночасно отримує імпульс, спрямований проти стікання (рис. 4.11).

Отже, загострений провідник у сильному полі не просто «притягує» розряд — він активно змінює повітря навколо себе: іонізує його й жене іони разом із атомами газу від вістря. Це явище саме собою цікаве, але воно має й цілком практичне застосування. Щоб його побачити, достатньо підняти загострений металевий стрижень над будівлею — і ми отримаємо пристрій, відомий під назвою громовідвід.

Громовідвід (блискавковідвід)

Концентрація поля біля загострень і пов’язаний з нею іонний вітер (див. попередній підрозділ) лежать в основі громовідводу, винайденого Б. Франкліном 1752 року. Пристрій складається з металевого стрижня, піднятого над найвищою точкою будівлі, товстого провідника (струмовідводу), що з’єднує стрижень із землею вздовж стіни споруди, і заземлювача — металевого електрода, закопаного в ґрунт (рис. 4.12).

Громовідвід захищає будівлю двома способами. Перший — послаблення заряду хмари заздалегідь. Біля вістря стрижня поле грозової хмари стає набагато сильнішим, ніж навколо, і повітря починає іонізуватися — виникає той самий іонний вітер, який ми щойно розглянули. Частина заряду хмари над будівлею поступово нейтралізується, і поле не встигає (або майже не встигає) досягти тієї величини, за якої повітря пробивається і виникає блискавка над самою спорудою.

Другий — перехоплення розряду. Якщо блискавка все ж починає розвиватися, то найімовірніше вона «вибере» саме вістря стрижня, бо там поле найсильніше. Від вістря назустріч розряду піднімається зустрічний канал іонізованого повітря; з’єднавшись, вони утворюють шлях блискавки, який веде до громовідводу, а не до будівлі. Далі струм по струмовідводу й заземлювачу йде прямо в землю, і конструкція та все, що в ній, не нагріваються й не займаються.

Область простору навколо громовідводу, куди практично не влучає блискавка (оскільки розряд «обирає» ближчий і сильніший осередок поля — сам стрижень), називають зоною захисту; її розміри й форма залежать від висоти стрижня і використовуються під час проєктування блискавкозахисту будівель.

4.4 Єдиність розв’язку електростатичної задачі

Задача електростатики зводиться до знаходження розв’язку рівняння Пуассона (2.45) (або Лапласа (2.46)).

Розв’язок задачі можна вгадати! Якщо вгаданий розв’язок задачі в деякій області задовольняє рівнянню Лапласа (або Пуассона) і умовам на границі області, то він буде правильним і єдиним, незважаючи на те, що ми його вгадали. Це твердження ґрунтується на теоремі єдиності.

Дійсно, якщо при заданій конфігурації зарядів і потенціалів на границях розв’язок не один, то буде різний електричний «ландшафт», отже, у кожній точці поле \(\Efield \), узагалі кажучи, буде неоднозначним — що є фізично абсурдним.

Використання теореми єдиності дуже спрощує розв’язання деяких електростатичних задач.

Метод електричних зображень

Метод ґрунтується на теоремі єдиності і полягає у вгадуванні конфігурації зарядів, у якій поле в цікавій для нас частині простору було б тим же самим, що й у розглядуваної задачі.

Розглянемо ідею цього методу на прикладі, коли точковий заряд \(q\) знаходиться біля нескінченної заземленої провідної площини (рис. 4.13).

Як знайти поле у верхній частині простору? Як знайти розподіл заряду на площині?

Можна вгадати таку конфігурацію зарядів, у якої буде еквіпотенціальна поверхня, на якій \(\phi = 0\)!

Для обчислення поля достатньо ввести фіктивний заряд-зображення \(q' = -q\), помістивши його по інший бік площини на такій самій відстані від неї, що й заряд \(q\). Дійсно, для будь-якої точки на самій площині відстані до заряду \(q\) і до заряду-зображення \(q'\) однакові (позначимо цю спільну відстань \(r\)) — через дзеркальну симетрію їхнього розташування відносно площини. Тому внески зарядів у потенціал скорочуються:

\begin{equation*} \phi = \frac {q}{r} + \frac {q'}{r} = \frac {q}{r} - \frac {q}{r} = 0, \end{equation*}

і площина справді виявляється еквіпотенціальною поверхнею з \(\phi = 0\) — саме такою, якою має бути заземлена провідна площина.

Фіктивний заряд \(q'\) створює у верхньому півпросторі точно таке саме поле, як і індуковані заряди на площині (див. рис. 4.14).

Ідея заряду-зображення лежить в основі опису взаємодії зонда з провідною поверхнею в електростатичній силовій мікроскопії (EFM) і скануючій тунельній мікроскопії (СТМ): заряджений або близько піднесений до провідного зразка металевий зонд-вістря індукує на поверхні заряд-зображення, і сила його притягання до поверхні (яку можна оцінити саме методом зображень) використовується для контролю відстані зонд-зразок і побудови зображення поверхні з нанометровою роздільною здатністю.

Заряд поблизу сферичної поверхні

Розглянемо систему двох різнойменних точкових зарядів. Серед її еквіпотенціальних поверхонь є сферичні; на одній із них потенціал дорівнює нулю, \(\phi = 0\). Це дає змогу застосувати метод зображень до задачі про заряд поблизу провідної сфери (рис. 4.15).

Нехай точковий заряд \(q\) розташований на відстані \(b\) від центра заземленої провідної сфери радіуса \(R\) (рис. 4.15а). Поле поза сферою можна знайти, якщо підібрати такий фіктивний заряд-зображення \(q'\), щоб поверхня сфери була еквіпотенціальною з \(\phi = 0\). Це гарантує, що знайдений розв’язок задовольняє теоремі єдиності.

Положення \(a\) заряду-зображення відносно центра сфери та його величина \(q'\) визначаються формулами

\begin{equation} \label {eq:mirror_sphere} a = \frac {R^2}{b}, \qquad q' = -\frac {R}{b}\,q . \end{equation}

Заряд-зображення лежить на тій самій прямій, що й реальний заряд \(q\), але з протилежного боку від центра сфери, всередині неї. Знак мінус означає, що індукований на сфері заряд має протилежний знак до \(q\).

Якщо сфера ізольована й несе повний заряд \(q_0\), то одного заряду-зображення вже недостатньо: щоб зберегти нульовий потенціал поверхні та водночас забезпечити заданий повний заряд сфери, до заряду \(q'\) треба додати другий заряд-зображення \(q''\), розміщений у центрі сфери. Це пов’язано з тим, що заряд, поміщений точно в центр сфери, створює на її поверхні сталий потенціал і не порушує сферичної симетрії поля. Величина \(q''\) визначається з умови збереження повного заряду:

\begin{equation*} q' + q'' = q_0 . \end{equation*}

Отже, поле поза ізольованою зарядженою сферою еквівалентне полю двох фіктивних зарядів: \(q'\) на відстані \(a\) від центра (рис. 4.15б) і \(q''\) у центрі сфери. Поле всередині провідної сфери при цьому дорівнює нулю, а поле заряду-зображення \(q'\) у тій області є суто математичною фікцією, яка не має фізичного змісту.

4.5 Металева куля в однорідному полі

Постановка задачі

Металеву кулю радіуса \(R\) вміщено в однорідне зовнішнє електричне поле \(\Efield _0\). Метал — провідник, тому в стані рівноваги вільні заряди в ньому нерухомі, а отже, поле всередині дорівнює нулю:

\begin{equation*} \Efield = 0, \qquad r < R . \end{equation*}

Весь надлишковий заряд збирається на поверхні кулі. Потрібно знайти поле зовні, розподіл заряду на поверхні та наведений дипольний момент.

Задача має аксіальну симетрію навколо напрямку \(\Efield _0\), тому природно вибрати сферичні координати з полярною віссю вздовж \(\Efield _0\), а початок координат сумістити з центром кулі (рис. 4.16).

Граничні умови на поле

На поверхні металу \(r = R\) мають виконуватися дві умови для поля.

Перша: тангенціальна складова неперервна. Це загальна умова для будь-якої межі поділу, і вона випливає з \(\oint \Efield \cdot d\vect {l} = 0\):

\begin{equation*} E_{\tau }(R+0) = E_{\tau }(R-0) . \end{equation*}

Оскільки всередині поля немає, \(E_{\tau }(R-0) = 0\), а отже,

\begin{equation*} E_{\tau }(R+0) = 0 . \end{equation*}

Це означає, що зовні поле підходить до поверхні кулі строго перпендикулярно до неї.

Друга: стрибок нормальної складової. Він визначається поверхневим зарядом і випливає з теореми Гаусса:

\begin{equation*} E_{r}(R+0) - E_{r}(R-0) = 4\pi \sigma . \end{equation*}

Оскільки \(E_r(R-0) = 0\), маємо

\begin{equation*} \sigma = \frac {1}{4\pi }\,E_r(R+0) . \end{equation*}

Отже, вся задача зводиться до одного: знайти поле зовні кулі, яке задовольняє дві умови — воно перпендикулярне до поверхні та має задану нормальну складову, яка й дає поверхневий заряд.

Поле зовні кулі

Зовні кулі поле складається із зовнішнього однорідного поля \(\Efield _0\) та поля наведених зарядів на поверхні. Наведений заряд в цілому нейтральний, тому його поле на великих відстанях зменшується як поле диполя. Тому природно записати

\begin{equation*} \Efield (r,\theta ) = \Efield _0 + \Efield _{\text {дип}}, \end{equation*}

де \(\Efield _{\text {дип}}\) — поле точкового диполя, орієнтованого вздовж \(\Efield _0\), з невідомим поки що моментом \(\vect {p}\).

У сферичних координатах зручно працювати з компонентами. Для однорідного поля, напрямленого вздовж осі \(z\),

\begin{equation*} E_{0,r} = \Efield _0\cos \theta , \qquad E_{0,\theta } = -\Efield _0\sin \theta . \end{equation*}

Для диполя з моментом \(\vect {p} = p\,\hat {\vect z}\):

\begin{equation*} E_{\text {дип},r} = \frac {2p\cos \theta }{r^3}, \qquad E_{\text {дип},\theta } = \frac {p\sin \theta }{r^3} . \end{equation*}

Повне поле зовні:

\begin{equation*} E_r = \Efield _0\cos \theta + \frac {2p\cos \theta }{r^3}, \qquad E_\theta = -\Efield _0\sin \theta + \frac {p\sin \theta }{r^3} . \end{equation*}

Застосування граничних умов

Підставляємо \(r = R\).

З умови \(E_\theta (R) = 0\):

\begin{equation*} -\Efield _0\sin \theta + \frac {p\sin \theta }{R^3} = 0 \quad \Longrightarrow \quad p = \Efield _0 R^3 . \end{equation*}

З умови \(\sigma = E_r(R)/4\pi \):

\begin{equation*} \sigma (\theta ) = \frac {1}{4\pi } \left ( \Efield _0\cos \theta + \frac {2p\cos \theta }{R^3} \right ) = \frac {1}{4\pi } \left ( \Efield _0\cos \theta + 2\Efield _0\cos \theta \right ) = \frac {3}{4\pi }\,\Efield _0\cos \theta . \end{equation*}

Отже, обидві граничні умови дали повний розв’язок: і наведений дипольний момент, і розподіл поверхневого заряду.

Остаточні результати

Дипольний момент кулі:

\begin{equation*} \vect {p} = R^3\Efield _0 . \end{equation*}

Поле зовні та всередині кулі:

\begin{equation*} \Efield = \begin{cases} 0, & r \le R, \\[6pt] \Efield _0 - \dfrac {\vect {p}}{r^3} + \dfrac {3\left (\vect {p}\cdot \vect {r}\right )\vect {r}}{r^5}, & r > R . \end {cases} \end{equation*}

Заряди на поверхні:

\begin{equation*} \sigma = \frac {3}{4\pi }\,\Efield _0\cos \theta = \frac {3}{4\pi }\,\frac {\Efield _0\cdot \vect {r}}{R} \quad \text {(у гауссовій системі)} . \end{equation*}

Потенціал кулі (для повноти, його легко відновити інтегруванням поля):

\begin{equation*} \phi = \begin{cases} 0, & r \le R, \\[4pt] -\left (\Efield _0\cdot \vect {r}\right ) + \dfrac {\vect {p}\cdot \vect {r}}{r^3}, & r > R . \end {cases} \end{equation*}

Отже, всередині металевої кулі поле відсутнє, а зовні воно є суперпозицією зовнішнього однорідного поля \(\Efield _0\) і поля індукованого диполя \(\vect {p}\) (рис. 4.17).

4.6 Сили, що діють на поверхню провідника в полі

На малий елемент \(dS\) поверхні провідника діє сила:

\begin{equation*} dF = dq E_0 = \sigma dS \cdot E_0, \end{equation*}

з боку поля \(E_0\) інших зарядів у місці знаходження заряду \(dq = \sigma dS\). Але прилад може виміряти сумарне поле \(E\), тобто поле інших зарядів \(E_0\) плюс власне поле \(E_{\sigma }\), і розрізнити їх не може!

Задача полягає в тому, щоб виразити силу саме через сумарне поле.

Оскільки поле всередині провідника \(E = 0\), то власне поле за модулем має дорівнювати полю «чужих» зарядів:

\begin{equation*} E_0 = E_{\sigma }, \end{equation*}

це означає, що густина заряду підлаштовується під зовнішнє поле!

Гранична умова дає поле у вакуумі:

\begin{equation*} E = E_0 + E_{\sigma } = 2 E_0 = 4\pi \sigma . \end{equation*}

Сила, що діє на одиницю поверхні провідника

\begin{equation*} \frac {dF}{dS} = f = \frac 12 \sigma E = \frac {E^2}{8\pi }. \end{equation*}

Підсумки

Провідник — це речовина з вільними зарядами; в металах ними є колективізовані валентні електрони, що підтверджують досліди Толмена та Стюарта. У стані рівноваги поле в об’ємі провідника дорівнює нулю, \(\Efield = 0\), тому об’ємна густина заряду також нульова: надлишковий заряд розташовується лише на поверхні. Поверхня провідника є еквіпотенціальною, а на ній виконуються граничні умови \(E_n = 4\pi \sigma \), \(E_\tau = 0\), тобто силові лінії підходять до неї перпендикулярно. Замкнена провідна оболонка електрично розділяє внутрішній і зовнішній простір: у порожнині без зарядів поля немає (це випливає з теореми про циркуляцію), а заряд усередині порожнини наводить на зовнішній поверхні такий самий заряд. На цьому ґрунтуються електростатичний захист (клітка Фарадея) і генератор Ван-де-Граафа, а перерозподіл зарядів у зовнішньому полі лежить в основі машини Вімсхерста.

Густина заряду й поле біля поверхні зростають зі збільшенням кривизни (\(\sigma \sim 1/R\), \(E = 4\pi \sigma \)), звідки іонний вітер біля вістря й дія громовідводу. Розв’язок рівнянь Пуассона й Лапласа з заданими граничними умовами єдиний; цей факт дозволяє розв’язок вгадувати, що й робить метод електричних зображень. Для заземленої площини заряд-зображення \(q' = -q\) стоїть дзеркально, а для заземленої сфери \(a = R^2/b\), \(q' = -Rq/b\); для ізольованої зарядженої сфери додається другий заряд-зображення \(q''\) у центрі, причому \(q' + q'' = q_0\). Металева куля в однорідному полі набуває дипольного моменту \(\vect {p} = R^3\Efield _0\); поле всередині неї нульове, а поверхневий заряд \(\sigma = \frac {3}{4\pi }E_0\cos \theta \). На поверхню провідника діє сила з густиною \(f = \frac 12\sigma E = E^2/8\pi \), яка залежить лише від сумарного поля.

У провіднику заряди рухаються вільно й повністю екранують внутрішнє поле. Більшість речовин, однак, — діелектрики, у яких заряди зв’язані й можуть лише незначно зміщуватися під дією поля. Як таке зміщення (поляризація) змінює поле всередині речовини, розглянемо в наступному розділі (гл. 5).

Задачі