Електрика та магнетизм

Розділ 14 Система рівнянь Максвелла

Основоположники теорії електромагнітного поля

Теорію електромагнітного поля, початки якої заклав Фарадей, математично завершив Максвелл (рис. 14.1). Однією з найважливіших нових ідей, висунутих Максвеллом, була думка про симетрію у взаємозалежності електричного й магнітного полів: якщо змінне магнітне поле породжує електричне (закон Фарадея, гл. 12), то, за красивою симетрією, змінне електричне поле мусить породжувати магнітне. Ця ідея, як ми зараз побачимо, узгоджується із законом збереження заряду й веде до відкриття струму зміщення — останньої відсутньої ланки повної системи рівнянь електродинаміки.

Формулювання рівнянь Максвелла А. Ейнштейн і Л. Інфельд у книзі «Еволюція фізики» назвали «найважливішою подією з часу Ньютона» — не лише через цінність їхнього змісту, а й тому, що вони дають зразок нового типу законів: рівняння Максвелла — це закони, що виражають структуру поля, а не закони руху окремих частинок.

14.1 Струм зміщення

Суперечність у законах магнетизму

Теорема про циркуляцію для постійного магнітного поля, яку ми встановили в гл. 10,

\begin{equation} \label {eq:CirculationHVacuumOld} \oint \limits _L \Hfield \cdot d\vect r = \frac {4\pi }{c}\iint \limits _S \vect j\cdot d\vect S, \qquad \rot \Hfield = \frac {4\pi }{c}\vect j, \end{equation}

виявляється неправильною у випадку змінного електричного поля (рис. 14.2). Застосуємо операцію \(\divg \) до диференціальної форми цього рівняння: оскільки дивергенція будь-якого ротора тотожно дорівнює нулю, \(\divg \rot \Hfield \equiv 0\), отримуємо

\begin{equation} \label {eq:DivJZero} \divg \vect j = 0. \end{equation}

Але, з іншого боку, за законом збереження заряду (рівняння неперервності, гл. 7), якщо густина заряду змінюється з часом, \(\partial \rho /\partial t \neq 0\), то

\begin{equation} \label {eq:ContinuityViolation} \divg \vect j = -\frac {\partial \rho }{\partial t} \neq 0. \end{equation}

Рівняння (14.2) і (14.3) відверто суперечать одне одному щоразу, коли \(\partial \rho /\partial t\neq 0\) — а отже, теорему про циркуляцію (14.1) необхідно видозмінити.

Гіпотеза Максвелла

Щоб усунути цю суперечність, Дж. Максвелл увів поняття струму зміщення \(\vect j_\text {зм}\), доповнивши теорему про циркуляцію так, щоб закон збереження заряду виконувався за будь-яких обставин:

\begin{equation} \label {eq:DisplacementCurrentDef} \rot \Hfield = \frac {4\pi }{c}\left (\vect j+\vect j_\text {зм}\right ). \end{equation}

Застосовуючи операцію \(\divg \) до цього рівняння:

\begin{equation*} \divg \left (\vect j+\vect j_\text {зм}\right ) = 0 \quad \Rightarrow \quad \divg \vect j_\text {зм} = \frac {\partial \rho }{\partial t} \end{equation*}

(тут ми скористались рівнянням (14.3)). За теоремою Гаусса для електричного поля, \(\rho = \dfrac 1{4\pi }\divg \Dfield \) (гл. 5), тому

\begin{equation*} \divg \vect j_\text {зм} = \frac {\partial }{\partial t}\left (\frac 1{4\pi }\divg \Dfield \right ) = \divg \left (\frac 1{4\pi }\frac {\partial \Dfield }{\partial t}\right ). \end{equation*}

Найпростіше (і, як показує подальша перевірка експериментом, єдино правильне) розв’язання цього рівняння — покласти

\begin{equation} \label {eq:DisplacementCurrentDeriv} \tcbhighmath { \vect j_\text {зм} = \frac 1{4\pi }\frac {\partial \Dfield }{\partial t}. } \end{equation}

Теорема про циркуляцію магнітного поля з урахуванням струму зміщення

Отже, теорема про циркуляцію для магнітного поля, узгоджена із законом збереження заряду, набуває остаточного вигляду:

\begin{equation} \label {eq:CirculationHFull} \tcbhighmath { \rot \Hfield = \frac {4\pi }{c}\vect j + \frac 1c\frac {\partial \Dfield }{\partial t}. } \end{equation}

В інтегральній формі:

\begin{equation} \label {eq:CirculationHFullInt} \tcbhighmath { \oint \limits _L \Hfield \cdot d\vect r = \frac {4\pi }{c}\iint \limits _S \vect j\cdot d\vect S + \frac 1c\iint \limits _S \frac {\partial \Dfield }{\partial t}\cdot d\vect S, } \end{equation}

де

\begin{equation} \label {eq:DisplacementCurrentIntegral} I_\text {зм} = \frac 1{4\pi }\iint \limits _S \frac {\partial \Dfield }{\partial t}\cdot d\vect S \end{equation}

— струм зміщення, що пронизує поверхню \(S\), натягнуту на контур \(L\). Тут \(\vect j\) — густина струму провідності (і конвекційного струму, тобто руху заряджених тіл). Отже, згідно з гіпотезою Максвелла, змінне електричне поле поряд зі звичайними струмами провідності також створює магнітне поле.

Порівняння закону Фарадея та гіпотези Максвелла

Порівняємо закон електромагнітної індукції Фарадея (гл. 12) і «оновлену» теорему про циркуляцію за відсутності струмів провідності (\(\vect j=0\)) у вакуумі (\(\epsilon =\mu =1\), тобто \(\Efield =\Dfield \), \(\Hfield =\Bfield \)):

\begin{equation} \label {eq:FaradayVsMagnetoelectric} \underbrace {\rot \Efield = -\frac 1c\frac {\partial \Bfield }{\partial t}}_\text {закон електромагнітної індукції} \qquad \qquad \underbrace {\rot \Bfield = +\frac 1c\frac {\partial \Efield }{\partial t}}_\text {\enquote {закон магнітоелектричної індукції}}. \end{equation}

14.2 Система рівнянь Максвелла

Доповнивши основні закони електромагнетизму, встановлені в попередніх розділах, гіпотезою про струм зміщення, Максвелл отримав повну систему фундаментальних рівнянь електродинаміки. Таких рівнянь — чотири (табл. 14.1).

Тут \(\rho \) і \(\vect j\) — густини вільних зарядів і струмів (зв’язані заряди й струми враховано через \(\Dfield \) і \(\Hfield \)). Закон збереження заряду не є окремим рівнянням, а випливає з двох останніх: застосувавши \(\divg \) до четвертого рівняння й підставивши третє, отримуємо \(\divg \vect j + \partial \rho /\partial t = 0\).

Вираз електричного поля через потенціали

Рівняння Максвелла природно групуються парами: перша пара (теорема Гаусса для \(\Bfield \) і циркуляція \(\Efield \)) — рівняння без явних джерел (зарядів і струмів), друга пара — рівняння з джерелами.

Теорема Гаусса для \(\Bfield \) дає змогу, як і в магнітостатиці (гл. 9), ввести вектор-потенціал:

\begin{equation*} \Bfield = \rot \vect A. \end{equation*}

Підставляючи це в закон індукції, \(\rot \Efield = -\dfrac 1c\parttime {\Bfield } = -\dfrac 1c\parttime {}(\rot \vect A) = -\rot \left (\dfrac 1c \parttime {\vect A}\right )\), отримуємо

\begin{equation*} \rot \left (\Efield +\frac 1c\parttime {\vect A}\right ) = 0. \end{equation*}

Оскільки ротор цього виразу тотожно дорівнює нулю, сам вираз можна подати як градієнт деякої скалярної функції \(-\phi \):

\begin{equation} \label {eq:EFromPotentials} \tcbhighmath { \Efield = -\grad \phi - \frac 1c\frac {\partial \vect A}{\partial t}. } \end{equation}

У випадку сталих у часі полів \(\parttime {\vect A}=0\), і \(\Efield =-\grad \phi \) — введена тут функція \(\phi \) природно збігається зі звичним скалярним потенціалом електростатики. Зауважимо, що потенціали визначені неоднозначно: заміна \(\vect A\to \vect A+\grad f\), \(\phi \to \phi -\frac 1c\parttime {f}\) не змінює ні \(\Bfield \), ні \(\Efield \) (калібрувальна свобода, гл. 9).

Стаціонарні поля

У стаціонарному випадку всі часткові похідні за часом дорівнюють нулю, \(\parttime {}=0\), і повна система рівнянь Максвелла розпадається на дві незалежні системи — для електростатики й магнітостатики (рис. 14.4):

\begin{equation} \label {eq:StaticDecoupling} \underbrace {\begin{cases} \divg \Dfield = 4\pi \rho , \\ \rot \Efield = 0. \end {cases}}_\text {електростатика} \qquad \qquad \underbrace {\begin{cases} \divg \Bfield = 0, \\ \rot \Hfield = \dfrac {4\pi }c\vect j. \end {cases}}_\text {магнітостатика} \end{equation}

Матеріальні рівняння

Рівняння Максвелла — це рівняння загальної структури поля; щоб розв’язати конкретну задачу, їх необхідно доповнити матеріальними рівняннями, що пов’язують поля \(\Dfield \) та \(\Efield \), з одного боку, і \(\Hfield \) та \(\Bfield \) — з іншого, і залежать від властивостей конкретного середовища (табл. 14.2).

Граничні умови

Диференціальні рівняння Максвелла необхідно доповнити граничними умовами на межі розділу двох середовищ; ці умови неявно містяться в інтегральній формі рівнянь Максвелла і виводяться з них тим самим способом (циліндр Гаусса, контур циркуляції), що й у попередніх розділах курсу. Граничні умови для змінних полів мають той самий вигляд, що й для стаціонарних (табл. 14.3).

Тут \(\sigma \) — поверхнева густина вільних електричних зарядів, а \(\vect i\) — поверхнева густина струму провідності на межі розділу. Якщо поверхневих струмів немає, гранична умова для тангенціальної компоненти \(\Hfield \) спрощується:

\begin{equation*} H_{1\tau } = H_{2\tau }. \end{equation*}

14.3 Про рівняння Максвелла

Теорія Максвелла — це вершина класичної науки про електромагнітне поле. До цієї висоти ми піднімалися крок за кроком, уточнюючи поняття й розкриваючи глибинні принципи цієї науки: кожен пройдений розділ — електростатика, закони постійного струму, магнітостатика, явище електромагнітної індукції — був немов базовий табір на шляху до вершини (рис. 14.5).

На вершині перед нами постають рівняння Максвелла — велична симфонія електричного й магнітного полів, ключ до розуміння електромагнітної взаємодії. Уся споруда класичної електродинаміки, зведена нами розділ за розділом — від закону Кулона до струму зміщення, — вміщується тепер у чотирьох компактних рівняннях Максвелла, доповнених трьома матеріальними рівняннями середовища. Ці чотири рівняння містять усе: електростатику й магнітостатику як окремі стаціонарні випадки, електромагнітну індукцію й струм зміщення як дві половини єдиної симетрії, — і, як буде показано далі, електромагнітні хвилі й саме світло як прямий наслідок цих же рівнянь у вакуумі. Генріх Герц сказав про ці рівняння так:

Ці слова — не поетичне перебільшення, а точний опис того, що сталося з рівняннями вже за життя їхнього автора. Максвелл записав систему рівнянь, спираючись на закони Кулона, Ампера, Фарадея — і жодне з цих окремих досягнень електростатики та магнітостатики не містило натяку на те, що об’єднана система виявиться незрівнянно багатшою за суму своїх частин. Наслідки рівнянь подібні (за словами Фейнмана) до спуску з вершини, у простір застосувань. Перші кроки цього спуску ми зробимо вже в межах цього розділу: закон збереження енергії електромагнітного поля (теорема Пойнтінга) і скін-ефект у провідниках — найближчі до вершини застосування щойно записаної системи. Далі, у наступних розділах курсу, цей спуск продовжиться — до поширення електромагнітних хвиль, принципів їх випромінювання і, зрештою, до основ оптики, радіо- та електротехніки.

14.4 Енергія електромагнітного поля

Закон збереження енергії електромагнітного поля

Нехай у деякій області простору присутнє електромагнітне поле й заряджені частинки, що з ним взаємодіють (рис. 14.6). Якщо ця система замкнена, її енергія зберігається; якщо ж незамкнена, енергія може як втікати в цю область, так і витікати з неї. Якісно закон збереження енергії для такої області можна записати так:

\begin{multline*} (\text {зменшення енергії поля в об'ємі}) = \\ (\text {робота над частинками}) + (\text {потік енергії назовні}), \end{multline*} або, виражаючи цікаву для нас величину — роботу поля над зарядженими частинками:

\begin{multline*} (\text {робота над частинками}) = \\(\text {зменшення енергії поля в об'ємі}) - (\text {потік енергії назовні}). \end{multline*}

Рухати заряджені частинки, як ми твердо встановили ще в гл. 9, може лише електричне поле (магнітне поле роботи не виконує). Енергія, яку електричне поле витрачає на розгін частинок в одиниці об’єму за одиницю часу, — це потужність \(\vect j\cdot \Efield \) (у провіднику вона перетворюється на джоулеве тепло, гл. 7).

Виведення закону збереження

Запишемо закон Максвелла для \(\rot \Hfield \) (14.6), розв’язавши його відносно \(\vect j\):

\begin{equation*} \vect j = \frac {c}{4\pi }\rot \Hfield - \frac 1{4\pi }\parttime {\Dfield }. \end{equation*}

Помножимо скалярно обидві частини на \(\Efield \):

\begin{equation*} \vect j\cdot \Efield = \frac {c}{4\pi }\Efield \cdot \rot \Hfield - \frac 1{4\pi }\Efield \cdot \parttime {\Dfield }. \end{equation*}

Скористаємось тотожністю векторного аналізу \(\Efield \cdot \rot \Hfield = -\divg \left [\Efield \times \Hfield \right ] + \Hfield \cdot \rot \Efield \) та матеріальним рівнянням \(\Dfield =\epsilon \Efield \) (середовище лінійне, без дисперсії, \(\epsilon \) і \(\mu \) сталі; тому \(\Efield \cdot \parttime {\Dfield } = \epsilon \Efield \cdot \parttime {\Efield } = \parttime {}\left (\tfrac 12\epsilon E^2\right )\)):

\begin{equation*} \vect j\cdot \Efield = -\divg \left (\frac {c}{4\pi }\left [\Efield \times \Hfield \right ]\right ) + \frac {c}{4\pi }\Hfield \cdot \rot \Efield - \parttime {}\left (\frac 1{8\pi }\epsilon E^2\right ). \end{equation*}

Тепер підставимо закон електромагнітної індукції, \(\rot \Efield = -\dfrac 1c\parttime {\Bfield }\), і матеріальне рівняння \(\Bfield =\mu \Hfield \) (так що \(\Hfield \cdot \parttime {\Bfield } = \parttime {}\left (\tfrac 12\mu H^2\right )\)):

\begin{equation*} \vect j\cdot \Efield = -\divg \left (\frac {c}{4\pi }\left [\Efield \times \Hfield \right ]\right ) - \parttime {}\left (\frac {\epsilon E^2}{8\pi } + \frac {\mu H^2}{8\pi }\right ). \end{equation*}

Теорема Пойнтінга

Проаналізуємо отриманий вираз. Позначимо

\begin{equation} \label {eq:PoyntingVectorDef} \tcbhighmath { \vect \Pi = \frac {c}{4\pi }\left [\Efield \times \Hfield \right ] } \end{equation}

— вектор Пойнтінга, і

\begin{equation} \label {eq:energy_density} \tcbhighmath { w = \dfrac {\epsilon E^2}{8\pi }+\dfrac {\mu H^2}{8\pi } = \dfrac {\Efield \cdot \Dfield }{8\pi }+\dfrac {\Bfield \cdot \Hfield }{8\pi } } \end{equation}

— об’ємну густину енергії електромагнітного поля (сума вже відомих нам електричної й магнітної частин, гл. 6, гл. 12). Тоді

\begin{equation} \label {eq:PoyntingTheoremDiff} \tcbhighmath { -\parttime {w} = \divg \vect \Pi + \vect j\cdot \Efield . } \end{equation}

Інтегруючи по довільному об’єму \(V\), обмеженому поверхнею \(S\), і застосовуючи теорему Остроградського-Гаусса, отримуємо інтегральну форму — теорему Пойнтінга:

\begin{equation} \label {eq:PoyntingTheoremInt} \tcbhighmath { -\frac {dW}{dt} = \oiint \limits _S \vect \Pi \cdot d\vect S + \iiint \limits _V \vect j\cdot \Efield \, dV. } \end{equation}

Про одиниці вимірювання

У гауссовій системі одиниць

\begin{equation*} \left [\Pi \right ] = \frac {\text {ерг}}{\text {см}^2\cdot \text {с}}, \qquad \left [w\right ] = \frac {\text {ерг}}{\text {см}^3}; \end{equation*}

для порівняння, у СІ вектор Пойнтінга вимірюється у Вт/м\(^2\), а густина енергії — у Дж/м\(^3\).

14.5 Скін-ефект

До цього моменту рівняння Максвелла поставали перед нами або як підсумок уже відомого (стаціонарні випадки — електро- і магнітостатика), або як джерело якісних висновків (струм зміщення, симетрія, теорема Пойнтінга). Тепер подивимося на них як на робочий інструмент, узявши конкретну фізичну задачу: поведінку електромагнітного поля у провіднику за швидкозмінних процесів, на прикладі скін-ефекту.

Означення та наслідки

Скін-ефектом (від англ. skin — шкіра) називають протікання струмів високої частоти переважно в тонкому поверхневому шарі провідника (рис. 14.7).

Скін-ефект має кілька важливих практичних наслідків:

• • зменшується діюча площа перерізу провідника, а отже, зростає його опір на змінному струмі;

• • зменшується індуктивність провідника: оскільки за сильного скін-ефекту струму (а отже, і магнітного поля) всередині провідника практично немає, магнітна енергія стає меншою на величину енергії поля, яка раніше запасалась усередині провідника;

• • електромагнітна хвиля, що потрапляє на поверхню провідника (металу, електроліту, плазми), швидко загасає вглиб нього, проникаючи лише на невелику глибину — це тісно пов’язано з тим, що провідники добре відбивають світло.

Якісне пояснення

Змінний струм у провіднику породжує змінне вихрове магнітне поле, силові лінії якого перпендикулярні до осі провідника (рис. 14.8). Це змінне магнітне поле, своєю чергою, породжує вихрове електричне поле (гл. 12), що спричиняє в товщі провідника струми Фуко: на поверхні провідника вихровий струм напрямлений у той самий бік, що й основний струм провідності (і підсилює його там), а всередині провідника — у протилежний бік (і послаблює струм у серцевині). У результаті струм витісняється з осі провідника до його поверхні.

Чому в металах нехтують струмами зміщення

У провіднику густина струму провідності й напруженість поля пов’язані законом Ома, \(\vect j = \lambda \Efield \). Якщо поле в провіднику змінюється гармонічно, \(\Efield =\Efield _0\cos (\omega t)\), то поряд зі струмом провідності виникає й струм зміщення:

\begin{equation*} \vect j_\text {зм} = \frac {\epsilon }{4\pi }\parttime {\Efield } = \frac {\epsilon \omega }{4\pi }E_0\cos \left (\omega t+\frac \pi 2\right ). \end{equation*}

Оцінимо відношення амплітуд густини струму зміщення та струму провідності:

\begin{equation} \label {eq:SkinDisplacementNegligible} \frac {j_\text {зм}}{j_\text {пров}} = \frac {\epsilon \omega }{4\pi \lambda } = \omega \tau _\text {М} \ll 1, \end{equation}

де \(\tau _M = \dfrac {\epsilon }{4\pi \lambda }\) — максвелівський час релаксації (7.34). Умова означає, що \(\tau _\text {М} \ll T\), де \(T \sim 1/\omega \) — період зміни електромагнітного поля.

Для типових металів провідність \(\lambda = 10^{15}\)–\(10^{17}\) с\(^{-1}\) (гауссова система), а типова діелектрична проникність остова — порядку \(10\)–\(100\), що відповідає вкрай малому максвелівському часу \(\tau _\text {М} \sim 10^{-19}\)–\(10^{-18}\) с. Тому аж до частот порядку \(10^{13}\) Гц виконується нерівність (14.21), тобто у широкому діапазоні частот струми зміщення не відіграють істотної ролі у металах порівняно зі струмами провідності — саме тому надалі, аналізуючи скін-ефект у металах, ми зможемо ними знехтувати.

Строге виведення глибини проникнення

Виведемо глибину проникнення поля в провідник, спираючись безпосередньо на рівняння Максвелла (а не на якісні міркування). Нехай \(\epsilon =\const \), \(\mu =\const \); у провіднику немає некомпенсованого об’ємного заряду, тому теорема Гаусса дає \(\divg \Efield =0\). З урахуванням закону Ома, а також знехтувавши, за щойно встановленою нерівністю (14.21), струмом зміщення, рівняння Максвелла в металі набувають вигляду

\begin{equation*} \rot \Efield = -\frac {\mu }c\parttime {\Hfield }, \qquad \rot \Hfield = \frac {4\pi \lambda }{c}\Efield , \qquad \divg \Efield =0, \quad \divg \Hfield =0. \end{equation*}

Виключимо \(\Hfield \): застосуємо операцію \(\rot \) до першого рівняння й підставимо друге:

\begin{equation*} \rot \rot \Efield = -\frac {\mu }c\parttime {}\left (\rot \Hfield \right ) = -\frac {4\pi \mu \lambda }{c^2}\parttime {\Efield }. \end{equation*}

З іншого боку, за тотожністю векторного аналізу і з урахуванням \(\divg \Efield =0\): \(\rot \rot \Efield = \grad (\divg \Efield )-\nabla ^2\Efield = -\nabla ^2\Efield \). Прирівнюючи, отримуємо рівняння скін-ефекту:

\begin{equation} \label {eq:SkinWaveEquation} \tcbhighmath { \nabla ^2\Efield = \frac {4\pi \mu \lambda }{c^2}\parttime {\Efield }. } \end{equation}

Оцінка глибини проникнення

Рівняння (14.22) за математичною формою збігається з рівнянням дифузії, \(\nabla ^2 F = D\parttime {F}\), з коефіцієнтом дифузії \(D = c^2/(4\pi \mu \lambda )\). Якщо на поверхні речовини діє джерело, то за час \(\tau \) «хвиля дифузії» проникає на глибину \(\delta =\sqrt {D\tau }\); якщо джерело діє періодично з періодом \(T=2\pi /\omega \), слід узяти \(\tau \sim 1/\omega \) (з точністю до множника \(2\pi \) це період \(T=2\pi /\omega \)), звідки отримуємо оцінку для глибини проникнення:

\begin{equation} \label {eq:SkinDepthEstimate} \delta \sim \frac {c}{\sqrt {4\pi \lambda \mu \omega }}. \end{equation}

Переконаємось, що ця оцінка, з точністю до числового множника, дійсно правильна, застосувавши безпосередньо рівняння Максвелла в інтегральній формі до тонкого приповерхневого шару завтовшки \(\delta \).

Циркуляція \(\Efield \). Розглянемо прямокутний контур \(L\) зі сторонами \(h\) (уздовж осі провідника, на його поверхні) і \(\delta \) (углиб) (рис. 14.9). За законом електромагнітної індукції, \(Eh = -\dfrac 1c\dfrac {\Delta \Phi }{\Delta t}\), де магнітний потік крізь цей контур \(\Phi = -BS = -\mu H h\delta \) (поле \(H\) спадає до нуля на глибині \(\delta \)), а швидкість його зміни за порядком величини \(\Delta \Phi /\Delta t \approx \omega \Phi \) (\(\omega \sim 1/T\) — частота зміни струму). Тому

\begin{equation} \label {eq:SkinCirculationE} Eh \sim \frac 1c\mu H\omega h\delta \quad \Rightarrow \quad E \sim \frac {\mu H\omega \delta }{c}. \end{equation}

Циркуляція \(\Hfield \). Тепер розглянемо контур \(L\) на поперечному перерізі провідника, завдовжки \(\ell \) уздовж поверхні й завширшки \(\delta \) углиб (рис. 14.10). За теоремою про циркуляцію, \(H\ell = \dfrac {4\pi }{c}j\ell \delta \), а з огляду на закон Ома, \(j=\lambda E\):

\begin{equation} \label {eq:SkinCirculationH} H \sim \frac {4\pi \lambda }{c}E\delta . \end{equation}

Підставляючи (14.25) в (14.24):

\begin{equation*} E \sim \frac {4\pi \mu \lambda \omega \delta ^2}{c^2}\, E, \end{equation*}

звідки, скорочуючи на \(E\), отримуємо оцінку глибини скін-шару:

\begin{equation} \label {eq:SkinDepthFinal} \delta \sim \frac {c}{\sqrt {4\pi \lambda \mu \omega }}, \end{equation}

що збігається з дифузійною оцінкою (14.23). Точне значення числового коефіцієнта дає розв’язок рівняння (14.22) для однорідного провідника, що займає півпростір \(x>0\):

\begin{equation} \label {eq:SkinDepthExact} \tcbhighmath { \delta = \frac {c}{\sqrt {2\pi \lambda \mu \omega }}. } \end{equation}

Оцінка (14.26) відрізняється від точної формули лише множником \(\sqrt 2\). Значення \(\delta \) для деяких металів на частоті \(10\) ГГц, обчислені за точною формулою, наведено в табл. 14.4.

Застосування скін-ефекту в техніці

Існування скін-ефекту завжди враховують у техніці швидкозмінних струмів. Оскільки такі струми практично не йдуть у глибині провідника, проводи й шини для них виготовляють із порожнистих труб — економлячи метал без істотної втрати в опорі. У радіотехніці надвисоких частот багато деталей (хвилеводи, коаксіальні лінії) покривають тонким, добре провідним шаром срібла, оскільки їхній опір практично повністю визначається лише поверхневим шаром. Скін-ефект у поєднанні з нагріванням вихровими струмами (гл. 12) використовують і для поверхневого загартування сталі: деталі піддають дії змінних струмів і потім швидко охолоджують, унаслідок чого розігрів і загартування відбуваються лише в поверхневому шарі, а основна маса деталі лишається незагартованою — це дає вироби з високою стійкістю до стирання поверхні, але без крихкості, властивої звичайному наскрізному загартуванню.

Підсумки

У цьому розділі ідея Максвелла про струм зміщення замкнула систему рівнянь електродинаміки в остаточному вигляді й дала нам два перші, найближчі до вершини, наслідки цієї системи: закон збереження енергії електромагнітного поля у формі теореми Пойнтінга та кількісний опис скін-ефекту у провідниках. В обох випадках рівняння Максвелла виступили вже не підсумком відомого, а робочим інструментом, що дає нові, нетривіальні результати — аж до контрінтуїтивного висновку про те, що енергія до провідника надходить не вздовж нього, а ззовні, крізь бічну поверхню.

Наступний крок — спуститися з вершини далі, у простір хвильових явищ: розглянути, як із рівнянь Максвелла у вакуумі випливає саме існування електромагнітних хвиль, що біжать зі швидкістю світла, а тоді — дослідити, як саме заряджені частинки, що рухаються з прискоренням, ці хвилі випромінюють.

Задачі