Електрика та магнетизм

Додатки

А Таблиця переходу між гауссовою системою одиниць та SI

Для коректного читання та інтерпретації літератури з класичної електродинаміки необхідно вільно орієнтуватися в різних системах одиниць, зокрема в системі СІ та гауссовій системі (СГС). Це пов’язано з тим, що різні джерела використовують різні системи одиниць: фундаментальні теоретичні праці традиційно формулюються в СГС, тоді як у сучасній навчальній і прикладній літературі переважає система СІ. Тому необхідно впевнено володіти перевідними співвідношеннями між цими системами для основних фізичних величин.

Перехід між системами одиниць не зводиться до простого масштабування величин, а супроводжується зміною вигляду рівнянь. У системі SI рівняння містять константи \(\epsilon _0\) та \(\mu _0\), тоді як у гауссовій системі вони відсутні, і відповідні коефіцієнти з’являються у вигляді множників \(4 \pi \). Тому необхідно враховувати не лише перевідні співвідношення, але й зміну структури рівнянь.

Приклад: переписування рівнянь Максвела з гауссової системи (СГС) в SI

Розглянемо перехід від гауссової системи (СГС) до системи SI на прикладі рівнянь Максвелла. Це дозволяє простежити зміну вигляду рівнянь при переході між системами одиниць.

У гауссовій системі рівняння Максвела для вакууму мають вигляд:

\begin{equation*} \begin{aligned} \Div \Efield _{\text {СГС}} & = 4\pi \rho _{\text {СГС}}, & \qquad \Rot \Efield _{\text {СГС}} & = -\frac {1}{c}\frac {\partial \Bfield _{\text {СГС}}}{\partial t}, \\[4pt] \Div \Bfield _{\text {СГС}} & = 0, & \qquad \Rot \Bfield _{\text {СГС}} & = \frac {4\pi }{c}\vect {j}_{\text {СГС}} + \frac {1}{c}\frac {\partial \Efield _{\text {СГС}}}{\partial t}. \end {aligned} \end{equation*}

З таблиці беремо перевідні співвідношення (позначимо величини в SI тим же символом без індексу):

\begin{align*} & \Efield _{\text {СГС}} = \sqrt {4\pi \epsilon _0}\,\Efield , \quad \Bfield _{\text {СГС}} = \sqrt {4\pi \mu _0}\,\Bfield , \\ & \rho _{\text {СГС}} = \frac {\rho }{\sqrt {4\pi \epsilon _0}}, \quad \vect {j}_{\text {СГС}} = \frac {\vect {j}}{\sqrt {4\pi \epsilon _0}}, \\ & c = \frac {1}{\sqrt {\epsilon _0\mu _0}}. \end{align*}

Підставимо в перше рівняння (теорема Гауса):

\begin{equation*} \Div \bigl ( \sqrt {4\pi \epsilon _0}\,\Efield \bigr ) = 4\pi \cdot \frac {\rho }{\sqrt {4\pi \epsilon _0}} \;\Longrightarrow \; \sqrt {4\pi \epsilon _0}\,\Div \Efield = \sqrt {\frac {4\pi }{\epsilon _0}}\,\rho \;\Longrightarrow \; \Div \Efield = \frac {\rho }{\epsilon _0}. \end{equation*}

Друге рівняння (закон електромагнітної індукції Фарадея):

\begin{equation*} \Rot \bigl ( \sqrt {4\pi \epsilon _0}\,\Efield \bigr ) = -\frac {1}{c}\frac {\partial }{\partial t}\bigl ( \sqrt {4\pi \mu _0}\,\Bfield \bigr ). \end{equation*}

\begin{equation*} \sqrt {4\pi \epsilon _0}\,\Rot \Efield = -\frac {\sqrt {4\pi \mu _0}}{c}\,\frac {\partial \Bfield }{\partial t}. \end{equation*}

Оскільки \(c = 1/\sqrt {\epsilon _0\mu _0}\), то \(\sqrt {\mu _0}/c = \sqrt {\mu _0}\sqrt {\epsilon _0\mu _0} = \mu _0\sqrt {\epsilon _0}\). Тоді:

\begin{equation*} \sqrt {4\pi \epsilon _0}\,\Rot \Efield = -\sqrt {4\pi \epsilon _0}\,\mu _0\,\frac {\partial \Bfield }{\partial t} \;\Longrightarrow \; \Rot \Efield = -\frac {\partial \Bfield }{\partial t}. \end{equation*}

Третє рівняння:

\begin{equation*} \Div \bigl ( \sqrt {4\pi \mu _0}\,\Bfield \bigr ) = 0 \;\Longrightarrow \; \Div \Bfield = 0. \end{equation*}

Четверте рівняння:

\begin{equation*} \Rot \bigl ( \sqrt {4\pi \mu _0}\,\Bfield \bigr ) = \frac {4\pi }{c}\cdot \frac {\vect {j}}{\sqrt {4\pi \epsilon _0}} + \frac {1}{c}\frac {\partial }{\partial t}\bigl ( \sqrt {4\pi \epsilon _0}\,\Efield \bigr ). \end{equation*}

\begin{equation*} \sqrt {4\pi \mu _0}\,\Rot \Bfield = \frac {4\pi }{c\sqrt {4\pi \epsilon _0}}\,\vect {j} + \frac {\sqrt {4\pi \epsilon _0}}{c}\,\frac {\partial \Efield }{\partial t}. \end{equation*}

Використаємо \(c = 1/\sqrt {\epsilon _0\mu _0}\):

\begin{equation*} \frac {4\pi }{c\sqrt {4\pi \epsilon _0}} = 4\pi \sqrt {\epsilon _0\mu _0}\cdot \frac {1}{\sqrt {4\pi \epsilon _0}} = \frac {4\pi \sqrt {\epsilon _0\mu _0}}{\sqrt {4\pi \epsilon _0}} = \sqrt {4\pi }\sqrt {\mu _0} = \sqrt {4\pi \mu _0}. \end{equation*}

А другий доданок: \(\frac {\sqrt {4\pi \epsilon _0}}{c} = \sqrt {4\pi \epsilon _0}\sqrt {\epsilon _0\mu _0} = \sqrt {4\pi }\,\epsilon _0\sqrt {\mu _0}\).

Отже:

\begin{equation*} \sqrt {4\pi \mu _0}\,\Rot \Bfield = \sqrt {4\pi \mu _0}\,\vect {j} + \sqrt {4\pi }\,\epsilon _0\sqrt {\mu _0}\,\frac {\partial \Efield }{\partial t}. \end{equation*}

Поділимо на \(\sqrt {4\pi \mu _0}\):

\begin{equation*} \Rot \Bfield = \vect {j} + \frac {\sqrt {4\pi }\,\epsilon _0\sqrt {\mu _0}}{\sqrt {4\pi \mu _0}}\,\frac {\partial \Efield }{\partial t} = \vect {j} + \epsilon _0\sqrt {\mu _0}\cdot \frac {1}{\sqrt {\mu _0}}\,\frac {\partial \Efield }{\partial t} = \vect {j} + \epsilon _0\,\frac {\partial \Efield }{\partial t}. \end{equation*}

Отримані рівняння Максвелла в системі SI для вакууму:

\begin{equation*} \begin{aligned} & \Div \Efield = \frac {\rho }{\epsilon _0}, \qquad & \Rot \Efield = -\frac {\partial \Bfield }{\partial t}, \\[4pt] & \Div \Bfield = 0, \qquad & \Rot \Bfield = \mu _0\vect {j} + \mu _0\epsilon _0\,\frac {\partial \Efield }{\partial t}. \end {aligned} \end{equation*}

Слід зауважити, що навіть у вакуумі в системі SI часто вводять допоміжні вектори електричної індукції \(\Dfield \) та напруженості магнітного поля \(\Hfield \), які для вакууму визначаються як:

\begin{equation*} \Dfield = \epsilon _0 \Efield , \qquad \Hfield = \frac {\Bfield }{\mu _0}. \end{equation*}

Підставляння цих визначень дозволяє переписати рівняння Максвелла в симетричнішій формі, де коефіцієнти \(\epsilon _0\) та \(\mu _0\) зникають з правих частин¹:

\begin{equation*} \begin{aligned} & \Div \Dfield = \rho , \qquad & \Rot \Efield = -\frac {\partial \Bfield }{\partial t}, \\[4pt] & \Div \Bfield = 0, \qquad & \Rot \Hfield = \vect {j} + \frac {\partial \Dfield }{\partial t}. \end {aligned} \end{equation*}

Б Основні формули векторного аналізу

Б.1 Диференціальні операції в різних системах координат

Декартова система координат

\begin{align} \label {cartesian} \mathrm {grad}\,\psi \equiv \vect {\nabla }\psi & = \frac {\partial \psi }{\partial x} \vect {e}_x + \frac {\partial \psi }{\partial y} \vect {e}_y + \frac {\partial \psi }{\partial z} \vect {e}_z \\ \mathrm {div}\,\left (\mathrm {grad}\,\psi \right ) \equiv \Laplasian \psi & = \frac {\partial ^2 \psi }{\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \psi }{\partial y^2} + \frac {\partial ^2 \psi }{\partial z^2} \\ \mathrm {div}\,\vect {A} \equiv \divg \vect {A} & = \frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} \\ \mathrm {rot}\,\vect {A} \equiv \rot \vect {A} & = \left ( \frac {\partial A_z}{\partial y} - \frac {\partial A_y}{\partial z}\right ) \vect {e}_x + \left ( \frac {\partial A_x}{\partial z} - \frac {\partial A_z}{\partial x}\right ) \vect {e}_y + \left ( \frac {\partial A_y}{\partial x} - \frac {\partial A_x}{\partial y}\right ) \vect {e}_z \end{align}

Циліндрична система координат

\begin{align} \label {cylindric} \vect {\nabla }\psi & = \frac {\partial \psi }{\partial \rho } \vect {e}_{\rho } + \frac {1}{\rho }\frac {\partial \psi }{\partial \phi } \vect {e}_{\phi } + \frac {\partial \psi }{\partial z} \vect {e}_{z} \\ \Laplasian \psi & = \frac {1}{r} \frac {\partial }{\partial r} \left ( r \frac {\partial \psi }{\partial r} \right ) + \frac {1}{r^2} \frac {\partial ^2 \psi }{\partial \phi ^2} + \frac {\partial ^2 \psi }{\partial z^2} \\ \divg \vect {A} & = \frac {1}{\rho }\frac {\partial \left (\rho A_{\rho }\right )}{\partial \rho }+\frac {1}{\rho }\frac {\partial A_{\phi } }{\partial \phi }+\frac {\partial A_{z}}{\partial z} \\ \rot \vect {A} & =\left ({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial z}}\right )\vect {e}_{\rho }+\left ({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right )\vect {e}_{\phi } + \nonumber \\ & + {\frac {1}{\rho }}\left ({\frac {\partial (\rho A_{\phi })}{\partial \rho }}-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \phi }}\right )\vect {e}_{z} \end{align} Орти циліндричної системи координат зв’язані з декартовими ортами як:

\begin{align} \vect {e}_r &= \cos \phi \, \vect {e}_x + \sin \phi \, \vect {e}_y, \\ \vect {e}_{\phi } &= -\sin \phi \, \vect {e}_x + \cos \phi \, \vect {e}_y, \\ \vect {e}_{z} &= \vect {e}_z. \end{align}

Сферична система координат

\begin{align} \label {spheric} \vect {\nabla }\psi & = \frac {\partial \psi }{\partial r} \vect {e}_{r} + \frac {1}{r}\frac {\partial \psi }{\partial \theta } \vect {e}_{\theta } + \frac {1}{r\sin \theta }\frac {\partial \psi }{\partial \phi } \vect {e}_{\phi } \\ \Laplasian \psi & = \frac {1}{r^2} \frac {\partial }{\partial r} \left ( r^2 \frac {\partial \psi }{\partial r} \right ) + \frac {1}{r^2 \sin \theta } \frac {\partial \psi }{\partial \theta } \left ( \sin \theta \frac {\partial \psi }{\partial \theta } \right ) + \frac {1}{r^2\sin ^2 \theta } \frac {\partial ^2 \psi }{\partial \phi ^2} \\ \divg \vect {A} & =\frac {1}{r^2}\frac {\partial \left (r^2A_r\right )}{\partial r} + \frac {1}{r\sin \theta }\frac {\partial }{\partial \theta }\left (A_{\theta }\sin \theta \right ) + \frac {1}{r\sin \theta }\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi } \\ \rot \vect {A} & = \frac {1}{r\sin \theta }\left (\frac {\partial }{\partial \theta }\left (A_{\phi }\sin \theta \right )-\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }\right )\vect {e}_{r} + \frac {1}{r}\left (\frac {1}{\sin \theta }\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }-\frac {\partial }{\partial r}\left (rA_{\phi }\right )\right )\vect {e}_{\theta } + \nonumber \\ & + \frac {1}{r}\left (\frac {\partial }{\partial r}\left (rA_{\theta }\right )-\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }\right )\vect {e}_{\phi } \end{align} Орти сферичної системи координат зв’язані з декартовими ортами як:

\begin{align} \vect {e}_r &= \sin \theta \cos \phi \, \vect {e}_x + \sin \theta \sin \phi \, \vect {e}_y + \cos \theta \, \vect {e}_z, \\ \vect {e}_{\theta } &= \cos \theta \cos \phi \, \vect {e}_x + \cos \theta \sin \phi \, \vect {e}_y - \sin \theta \, \vect {e}_z, \\ \vect {e}_{\phi } &= -\sin \phi \, \vect {e}_x + \cos \phi \, \vect {e}_y. \\ \end{align}

Б.2 Другі похідні

\begin{align} \mathrm {rot}\,\mathrm {grad}\,\phi & = \rot (\vect {\nabla }\phi ) = 0 \\ \mathrm {div}\,\mathrm {rot}\,\vect {A} & = \divg (\rot \vect {A}) = 0 \\ \mathrm {rot}\,\mathrm {rot}\,\vect {A} & = \rot (\rot \vect {A}) = \vect {\nabla }(\divg \vect {A}) - \Laplasian \vect {A} \end{align}

Б.3 Похідні від добутків

\begin{align} \mathrm {grad}\,(\phi \psi ) & = \psi \,\mathrm {grad}\,\phi +\phi \, \mathrm {grad}\,\psi \\ \mathrm {div}\,(\phi \vect {A}) & = \phi \,\mathrm {div}\,\vect {A} + \vect {A}\,\mathrm {grad}\,\phi \\ \mathrm {rot}\,(\phi \vect {A}) & = \phi \,\mathrm {rot}\,\vect {A} + \mathrm {grad}\,\phi \times \vect {A} \\ \mathrm {grad}\,(\vect {A}\cdot \Bfield ) & = \Bfield \times \mathrm {rot}\,\vect {A} + \vect {A}\times \mathrm {rot}\,\Bfield + \left ( \Bfield \vect {\nabla }\right )\vect {A} + \left ( \vect {A}\vect {\nabla }\right )\Bfield \\ \mathrm {div}\,(\vect {A}\times \Bfield ) & = \Bfield \cdot \mathrm {rot}\,\vect {A} - \vect {A}\cdot \mathrm {rot}\,\Bfield \\ \mathrm {rot}\,(\vect {A}\times \Bfield ) & = \left ( \Bfield \vect {\nabla }\right )\vect {A} - \left ( \vect {A}\vect {\nabla }\right )\Bfield + \vect {A}\,\mathrm {div}\,\Bfield - \Bfield \,\mathrm {div}\,\vect {A} \label {rotvect} \\ \frac 12\mathrm {grad}\,A^2 & = \left ( \vect {A}\vect {\nabla }\right )\vect {A} + \vect {A}\times \mathrm {rot}\,\vect {A} \end{align}

Б.4 Індексна нотація формул векторного аналізу

Нагадаємо співвідношення з векторного аналізу, що будуть потрібні далі. Латинські індекси \(i\), \(j\), \(k\) пробігатимуть допустимі значення \(1\),\(2\),\(3\). Якщо індекси у виразі повторюються, це означатиме суму по цих індексах (правило Ейнштейна).

Тривимірний символ Леві-Чівіти

Тривимірний символ Леві-Чівіти визначений співвідношеннями

\begin{equation} \label {eq:Levi-Chiv} \epsilon _{ijk} = - \epsilon _{jik} = - \epsilon _{ikj}. \end{equation}

Деякі співвідношення з цим символом:

\begin{align} \epsilon _{ijk}\epsilon _{kpq} &= \delta _{ip}\delta _{jq} - \delta _{iq}\delta _{jp}, \\ \epsilon _{iqk}\epsilon _{pqk} &= 2\delta _{ip}. \end{align}

Ротор та векторний добуток у декартових координатах \(\{x,y,z\} = \{x_1, x_2, x_3\}\):

\begin{align} \left [\rot \vect {A} \right ]_i &= \epsilon _{ijk}{\partial _j}{A_k}, \\ \left [ \vect {A} \times \Bfield \right ]_i &= \epsilon _{ijk}{A_j}{B_k}, \end{align} всі індекси пробігають значення \(1\), \(2\), \(3\).

Диференціальні операції в декартових координатах

У декартових координатах \(x_1, x_2, x_3 \) дивергенція:

\begin{equation*} \Div \vect {A} \equiv \partial _j A_j; \end{equation*}

градієнт:

\begin{equation*} (\grad F)_i \equiv \partial _i F, \end{equation*}

тут і надалі \((X)_i = X_i\) означає \(i\)-ту компоненту вектора \(\vect {r}\);

та оператор Лапласа:

\begin{equation*} \Laplasian F \equiv \partial _j \partial _j F. \end{equation*}

За допомогою (Б.30) можна записати \(i\)-ту компоненту векторного добутку:

\begin{equation*} [\vect {A} \times \Bfield ]_i = \epsilon _{ijk} A_j B_k \end{equation*}

де \((A_i, B_i\) — компоненти векторів \(\vect {A}\) та \(\Bfield )\), а також ротор:

\begin{equation*} \Rot (\vect {A})_i = \epsilon _{ijk} \partial _j A_k. \end{equation*}

Добуток скалярної та векторної функцій

Легко перевірити такі співвідношення для добутку скалярної функції \(F(\vect {r}) \) та векторної \(\vect {A}(\vect {r}) \):

\begin{equation*} \Div (F \vect {A}) = \partial _i (F A_i) = A_i \partial _i F + F \partial _i A_i = \vect {A} \cdot \grad F + F \Div \vect {A}; \end{equation*}

\begin{equation*} \Rot (F \vect {A})_i = \epsilon _{ijk} \partial _j (F A_k) = \epsilon _{ijk} (\grad F)_j A_k + F \epsilon _{ijk} \partial _j A_k, \end{equation*}

або

\begin{equation*} \Rot (F \vect {A}) = [\grad F \times \vect {A}] + F \Rot \vect {A}. \end{equation*}

Дивергенція векторного добутку

Дивергенція векторного добутку:

\begin{multline*} \Div [\vect {A} \times \Bfield ] = \partial _i (\epsilon _{ijk} A_j B_k) = B_k \epsilon _{ijk} \partial _i A_j + A_j \epsilon _{ijk} \partial _i B_k = B_k \epsilon _{kij} \partial _i A_j - A_j \epsilon _{ijk} \partial _i B_k = \\ = \Bfield \cdot \Rot \vect {A} - \vect {A} \cdot \Rot \Bfield . \end{multline*}

Згортка символів \(\epsilon _{ijk}\)

Далі будуть потрібні формули для згортки двох символів \(\epsilon _{ijk}\). Користуючись властивостями визначника, легко перевірити, що:

\begin{equation*} \epsilon _{ijk} = \begin{vmatrix} \delta _{i1} & \delta _{i2} & \delta _{i3} \\ \delta _{j1} & \delta _{j2} & \delta _{j3} \\ \delta _{k1} & \delta _{k2} & \delta _{k3} \end {vmatrix}, \end{equation*}

де \(\delta _{ij}\) — символ Кронекера, а також:

\begin{equation*} \epsilon _{ijk} \epsilon _{pqr} = \begin{vmatrix} \delta _{ip} & \delta _{iq} & \delta _{ir} \\ \delta _{jp} & \delta _{jq} & \delta _{jr} \\ \delta _{kp} & \delta _{kq} & \delta _{kr} \end {vmatrix} \end{equation*}

Якщо в останньому співвідношенні розкрити визначник за правилом трикутників:

\begin{equation*} \epsilon _{ijk} \epsilon _{pqr} = \delta _{ip} \delta _{jq} \delta _{kr} + \delta _{iq} \delta _{jr} \delta _{kp} + \delta _{ir} \delta _{jp} \delta _{kq} - \delta _{ip} \delta _{jr} \delta _{kq} - \delta _{iq} \delta _{jp} \delta _{kr} - \delta _{ir} \delta _{jq} \delta _{kp}, \end{equation*}

та взяти суму по \(k = r \), отримаємо формулу згортки:

\begin{equation} \epsilon _{ijk} \epsilon _{pqk} = \delta _{ip} \delta _{jq} - \delta _{iq} \delta _{jp}. \label {eq:epsilon_contraction} \end{equation}

Подвійний векторний добуток

Отримаємо за допомогою (Б.35) правило для подвійного векторного добутку:

\begin{equation*} ([\vect {A} \times [\Bfield \times \vect {C}]])_i \equiv \epsilon _{ijk} A_j ([\Bfield \times \vect {C}])_k \equiv \epsilon _{ijk} A_j \epsilon _{kpq} B_p C_q. \end{equation*}

Завдяки (Б.35):

\begin{equation*} ([\vect {A} \times [\Bfield \times \vect {C}]])_i \equiv (\delta _{ip} \delta _{jq} - \delta _{iq} \delta _{jp}) A_j B_p C_q = B_i A_q C_q - C_i A_p B_p, \end{equation*}

тобто маємо відому формулу:

\begin{equation*} [\vect {A} \times [\Bfield \times \vect {C}]] = \Bfield (\vect {A} \cdot \vect {C}) - \vect {C}(\vect {A} \cdot \Bfield ). \end{equation*}

Подвійний ротор

Обчислимо за допомогою (Б.35) подвійний ротор:

\begin{equation*} (\Rot \Rot \vect {A})_i = \epsilon _{ijk} \partial _j (\Rot \vect {A})_k = \epsilon _{ijk} \partial _j \epsilon _{kpq} \partial _p A_q. \end{equation*}

Завдяки (Б.35):

\begin{equation*} (\Rot \Rot \vect {A})_i = (\delta _{ip} \delta _{jq} - \delta _{iq} \delta _{jp}) \partial _j \partial _p A_q = \partial _i \partial _j A_j - \partial _j \partial _j A_i. \end{equation*}

За означенням, \(\partial _j A_j \equiv \Div \vect {A}\) та \(\partial _j \partial _j A_i \equiv \Laplasian A_i\). Звідси маємо:

\begin{equation*} \Rot \Rot \vect {A} = \grad \Div \vect {A} - \Laplasian \vect {A}. \end{equation*}

Б.5 Інтегральні характеристики та теореми

Теорема Остроградського-Гауса:

\begin{equation} \label {OGTheorem} \int \limits _{\partial \Omega } \vect {A}\cdot d\vect {S} = \int \limits _{\Omega } \Div \vect {A} dV, \end{equation}

де \(\Omega \) — об’єм, \(\partial \Omega \) — його межа.

Теорема Стокса:

\begin{equation} \label {Stoksheorem} \int \limits _{\partial S} \vect {A}\cdot d\vect {l} = \int \limits _S \Rot \vect {A} \cdot d\vect {S}, \end{equation}

де \(S\) — поверхня, що спирається на контур \(\partial S\).

Перша та друга тотожності Гріна:

\begin{align} \int \limits _{\Omega } \left ( \Grad \phi \cdot \Grad \psi + \phi \nabla ^2\psi \right ) dV &= \int \limits _{\partial \Omega } \phi \Grad \psi \cdot d\vect {S}, \label {Grin1} \\ \int \limits _{\Omega } (\phi \nabla ^2\psi - \psi \nabla ^2\phi )\, dV &= \int \limits _{\partial \Omega } (\phi \Grad \psi - \psi \Grad \phi ) \cdot d\vect {S}. \label {Grin2} \end{align}