У попередньому розділі ми розглянули довгу лінію — найпростішу напрямну систему, в якій електромагнітна хвиля поширюється вздовж двох провідників. Така конфігурація має принципове обмеження: зі зростанням частоти (а отже, зі
зменшенням довжини хвилі) відстань між провідниками стає сумірною з довжиною хвилі, а втрати в діелектрику й металі різко зростають. На частотах вище кількох гігагерців коаксіальний кабель стає непридатним для передачі великої
потужності.
Природний вихід — відмовитися від другого провідника. Виявляється, що електромагнітна хвиля може поширюватися вздовж порожнистої металевої труби або діелектричного стрижня, не маючи жодного
«зворотного» дроту. Такі напрямні системи називаються хвилеводами.
Будь-яку електромагнітну хвилю, що поширюється вздовж осі \(x\), можна розкласти на поперечну (у площині \(yz\)) та поздовжню (уздовж \(x\)) складові. Залежно від того, які складові мають електричне й магнітне поля, розрізняють три типи
хвиль:
•TEM-хвиля (від англ. Transverse Electro-Magnetic, поперечно-електромагнітна): обидва вектори — і \(\Efield \), і \(\Hfield \) — лежать у поперечній площині. Поздовжніх складових немає: \(E_x = 0\), \(H_x = 0\) (\(x\) — напрям поширення хвилі).
•TE-хвиля (від англ. Transverse Electric, поперечно-електрична): електричне поле \(\Efield \) лежить у поперечній площині (\(E_x = 0\)), але магнітне поле має поздовжню складову (\(H_x \neq 0\)). Іноді позначають як H-хвиля.
•TM-хвиля (від англ. Transverse Magnetic, поперечно-магнітна): магнітне поле \(\Hfield \) лежить у поперечній площині (\(H_x = 0\)), але електричне поле має поздовжню складову (\(E_x \neq 0\)). Іноді позначають як E-хвиля.
У довгій лінії існує ТЕМ-хвиля. У порожнистому металевому хвилеводі ТЕМ-хвиля існувати не може. Там поширюються лише TE- або TM-хвилі.
Чому ТЕМ-хвиля неможлива в порожнистому хвилеводі? Інтуїтивно: для ТЕМ-хвилі електричне поле в перерізі має бути потенціальним, тобто описуватися скалярним потенціалом \(\phi (y,z)\), який задовольняє рівняння Лапласа \(\Delta \phi
= 0\). Але стінки порожнистого хвилеводу утворюють один провідник, тому гранична умова вимагає \(\phi = \text {const}\) на всьому контурі перерізу, а це разом із рівнянням Лапласа дає \(\phi = \text {const}\) всередині —
тобто \(\Efield = 0\). (У коаксіальному кабелі два провідники мають різні потенціали, тому там ТЕМ-хвиля можлива.) Отже, ТЕМ-хвилі в порожнистому хвилеводі не буває.
20.2 Прямокутний хвилевід
Найпростіший і найпоширеніший тип хвилеводу — прямокутна металева труба зі сторонами \(a\) і \(b\) (зазвичай \(a > b\)). Оскільки, як ми вже з’ясували, ТЕМ-хвиля в порожнистому хвилеводі неможлива, у ньому можуть
поширюватися лише хвилі типу \(\text {TE}\) або \(\text {TM}\).
Рис. 20.1. Прямокутний хвилевід
Розглянемо \(\text {TE}\)-хвилі в прямокутному хвилеводі. Стінки хвилеводу будемо вважати ідеально провідними, розміри хвилеводу та положення системи координат наведено на рис. 20.1.
Припустимо, що електричний вектор хвилі напрямлений уздовж осі \(y\). Для спрощення ситуації приймемо розмір \(b\) хвилеводу вздовж осі \(y\) нескінченним (фактично, хвилевід перетворюється на дві паралельні провідні площини \(z=0\) та
\(z=a\)). Це позбавляє від необхідності врахування граничних умов для вектора \(\Efield \) на поверхнях хвилеводу, паралельних площині \(xz\), і значно полегшує розв’язання задачі. Крім того, при нескінченній протяжності хвилеводу в
напрямку осі \(y\) задачу можна розглянути методом зображень, що дозволяє з’ясувати фізичну ситуацію та суть процесів, які відбуваються при поширенні хвиль у хвилеводі.
Таким чином, задача зводиться до двох вимірів. Хвильове рівняння (16.9) для напруженості електричного поля у вибраній системі декартових координат має вигляд
який дорівнює нулю на стінках \(z=0\) та \(z=a\), а максимум має при \(z=a/2\). Це і є графічна ілюстрація граничних умов (20.2) і вибраної моди хвилеводу.
Очевидно також, що розв’язок (20.3) задовольняє умову відсутності вільних зарядів у хвилеводі: \(\divg \Efield = \partial E_y / \partial y = 0\), \(E_x = E_z = 0\).
Підставляючи (20.3) в (20.1), отримуємо:
Електромагнітна хвиля поширюється в хвилеводі без затухання, якщо в (20.3) величина \(k_x\) дійсна. Це означає, що в (20.8) підкореневий вираз не повинен бути від’ємним. Звідси отримуємо умову, за якої у хвилеводі поширюються хвилі:
\begin{equation}
\omega \geqslant \frac {\pi c}{a} n. \label {eq:cutoff_frequency_ineq}
\end{equation}
Таким чином, при заданому значенні \(n\), що характеризує форму хвилі в напрямку осі \(z\), існує гранична частота. Електромагнітні хвилі з меншою частотою не можуть поширюватися в хвилеводі: при \(\omega <\omega _0\) величина \(k_x=-i\kappa \) уявна, поле спадає вздовж хвилеводу як \(e^{-\kappa x}\) і енергія
не переноситься. Значення цієї частоти отримується з (20.10) при \(n = 1\):
\(\seteqnumber{0}{20.}{10}\)
\begin{equation}
\omega _0 = \pi c / a. \label {eq:cutoff_frequency}
\end{equation}
Наявність граничної частоти означає, іншими словами, існування хвилі з максимальною довжиною хвилі, яка здатна поширюватися в хвилеводі. Враховуючи, що \(\lambda = cT = 2\pi c/\omega \), отримуємо для граничної довжини хвилі
Ця рівність має дуже ясний геометричний зміст: в розглядуваному хвилеводі можуть поширюватися лише хвилі, довжина хвилі яких (у вільному просторі) менша за подвоєну ширину хвилеводу \(2a\).
Наявність граничної частоти є характерною рисою порожнистих металевих хвилеводів (ТЕМ-лінії, як-от коаксіальний кабель, граничної частоти не мають), хоча її значення залежить від форми й розмірів перерізу. Саме тому такі хвилеводи — це
фільтри верхніх частот: вони пропускають високі частоти й блокують низькі. Це принципово відрізняє їх від довгої лінії, яка пропускає все.
Фазова швидкість
Згідно з виразом (20.3) ця швидкість знаходиться з умови
\(\seteqnumber{0}{20.}{12}\)
\begin{equation}
\omega t - k_x x = \text {const}, \label {eq:phase_const}
\end{equation}
Фазова швидкість електромагнітних хвиль у хвилеводі більша за швидкість світла. Це не суперечить теорії відносності: фазова швидкість — це швидкість руху точки сталої фази, а не швидкість перенесення енергії чи сигналу (див. групову
швидкість нижче). Конкретне значення \(v_\text {ф}\) залежить від властивостей хвилеводу та типу хвилі.
З урахуванням виразів (20.11) і (20.12) формулу (20.14) зручно подати у вигляді
Отже, \(\omega \geqslant \omega _0\), \(\lambda \leqslant \lambda _0\), оскільки в протилежному випадку фазова швидкість стає уявною, тобто поширення хвиль неможливе.
Групова швидкість. Енергію й сигнал переносить хвильовий пакет, що рухається з груповою швидкістю \(v_\text {г}=d\omega /dk_x\). З дисперсійного співвідношення \(\omega ^2=c^2(k_x^2+k_z^2)\) маємо \(\omega \,d\omega =c^2k_x\,dk_x\), тому
Отже, \(v_\text {г}<c\): сигнал у хвилеводі поширюється повільніше за світло у вакуумі. При \(\omega \to \omega _0\) групова швидкість прямує до нуля (уздовж хвилеводу хвиля майже не просувається), а при \(\omega \gg \omega _0\)
обидві швидкості наближаються до \(c\).
Фізичний зміст цього результату простий. Розв’язок (20.3) є різницею двох плоских хвиль, що біжать під кутами \(\pm \theta \) до осі \(x\) і багаторазово відбиваються від
стінок, причому \(\sin \theta =k_zc/\omega \), \(\cos \theta =k_xc/\omega \). Уздовж хвилеводу хвиля просувається зигзагом, тому \(v_\text {г}=c\cos \theta <c\), а фазова картина вздовж осі «біжить» швидше: \(v_\text
{ф}=c/\cos \theta >c\). На граничній частоті \(\theta =90^\circ \): хвиля лише «б’ється» між стінками й нікуди не рухається вздовж осі. Така сама картина багаторазових відбиттів лежить в основі оптичного волокна.
Оптичне волокно — діелектричний хвилевід
Металеві хвилеводи — не єдиний тип напрямних систем. На початку розділу ми вже згадали діелектричний стрижень як хвилевід без металевих стінок; найважливіший приклад такого хвилеводу — оптичне волокно. Якщо замість порожнистої
труби взяти діелектричний стрижень із показником заломлення \(n_1\), оточений середовищем із меншим показником \(n_2 < n_1\), то електромагнітна хвиля може поширюватися вздовж стрижня завдяки повному внутрішньому відбиттю.
Саме так працює оптичне волокно. Його серцевина має показник заломлення \(n_1\), а оболонка — \(n_2 < n_1\). Світло, яке входить у серцевину під достатньо малим кутом, багаторазово відбивається від межі «серцевина-оболонка»
і поширюється вздовж волокна з дуже малими втратами (рис. 20.3). Умова повного відбиття: кут падіння \(\theta \) на межу (від нормалі) має задовольняти \(\sin \theta \geqslant n_2/n_1\).
Рис. 20.3. Поширення світла в оптичному волокні завдяки повному внутрішньому відбиттю на межі серцевина-оболонка: промінь «замкнений» усередині серцевини й рухається вздовж волокна майже без втрат.
Оптичне волокно — це, по суті, хвилевід, у якому роль «стінок» відіграє не метал, а межа двох діелектриків. У ньому теж існують моди (їх називають \(\text {LP}\)), для вищих мод існує критична частота (основна мода її не має — на цьому
ґрунтується одномодовий режим). Волокно з діаметром серцевини близько \(9\) мкм використовується в магістральних лініях зв’язку; втрати в ньому становлять близько \(0{,}2\) дБ/км, тому сигнал проходить десятки й сотні
кілометрів без підсилення, а з оптичними підсилювачами — тисячі.
Підсумки
На високих частотах двопровідні лінії стають непридатними, і електромагнітну хвилю спрямовують уздовж порожнистої металевої труби або діелектричного стрижня — хвилеводу. Залежно від наявності поздовжніх складових полів розрізняють ТЕМ-, ТЕ- та ТМ-хвилі; у порожнистому металевому хвилеводі ТЕМ-хвиля неможлива, бо за відсутності другого провідника потенціал перерізу стала
величина.
Усе зводиться до відповідей на три запитання:
1.Які хвилі можуть існувати в хвилеводі? Лише ТЕ та ТМ (у порожнистому металевому); електричне поле на стінках мусить зникати, тому поперек хвилеводу вкладається ціла кількість півхвиль,
\(k_za=\pi n\).
2.Коли хвиля поширюється? Лише за \(\omega >\omega _0\), тобто коли довжина хвилі менша за \(2a\). Нижче граничної частоти поле експоненційно спадає вздовж хвилеводу, а енергія не переноситься.
3.З якою швидкістю? Фазова швидкість перевищує \(c\), групова — менша за \(c\), а їхній добуток дорівнює \(c^2\); перенесення енергії відбувається з груповою швидкістю,
тому теорії відносності це не суперечить.
Фізично все це — наслідок багаторазового відбиття плоскої хвилі від стінок: вздовж осі хвиля просувається зигзагом зі швидкістю \(c\cos \theta \), а на граничній частоті \(\theta =90^\circ \). Те саме відбиття, але на межі двох
діелектриків, утримує світло в оптичному волокні. Порівняно з довгою лінією, де ТЕМ-хвиля не має граничної частоти й поширюється без дисперсії зі швидкістю \(c/\sqrt {\epsilon \mu }\), хвилевід є фільтром верхніх частот із дисперсією.
Контрольні питання
1. Чому на частотах вище кількох гігагерців коаксіальний кабель стає непридатним для передачі великої потужності, і який природний вихід із цієї проблеми пропонують хвилеводи?
2. Дайте означення трьох типів хвиль у напрямних системах — ТЕМ, ТЕ (H-хвиля) та ТМ (E-хвиля) — через наявність поздовжніх складових \(\Efield \) і \(\Hfield \).
3. Доведіть, чому ТЕМ-хвиля неможлива в порожнистому металевому хвилеводі, спираючись на рівняння Лапласа для потенціалу поперечного електричного поля та граничні умови на стінках.
4. Запишіть хвильове рівняння для поля \(E_y(x,z,t)\) у прямокутному хвилеводі та граничні умови на ідеально провідних стінках. Чому шукають розв’язок у вигляді \(E=E_0\sin (k_zz)\,e^{i(\omega
t-k_xx)}\)?
5. Виведіть умову квантування поперечного хвильового числа \(k_za=\pi n\) з граничних умов на стінках хвилеводу.
6. Підставте припущений розв’язок у хвильове рівняння і виведіть дисперсійне співвідношення \(k_x=\sqrt {\omega ^2/c^2-\pi ^2n^2/a^2}\).
7. Що таке гранична (критична) частота хвилеводу? Виведіть умову поширення хвилі без затухання та граничну частоту \(\omega _0=\pi c/a\) для моди з \(n=1\).
8. Чому граничну частоту хвилеводу можна інтерпретувати через граничну довжину хвилі \(\lambda _0=2a\)? Який геометричний зміст цього результату?
9. Чому хвилеводи називають фільтрами верхніх частот, і чим це принципово відрізняє їх від довгої лінії?
10. Виведіть формулу фазової швидкості хвилі у хвилеводі \(v_\text {ф}=c/\sqrt {1-(\omega _0/\omega )^2}\). Чому ця швидкість завжди перевищує швидкість світла і чому це не суперечить теорії
відносності? Що таке групова швидкість \(v_\text {г}\) і як вона пов’язана з \(v_\text {ф}\)?
11. Поясніть поширення хвилі у хвилеводі як багаторазове відбиття плоскої хвилі від стінок. Як через кут \(\theta \) виражаються \(v_\text {ф}\) і \(v_\text {г}\) і що відбувається при \(\omega \to
\omega _0\)?
12. Як влаштоване оптичне волокно як діелектричний хвилевід? Поясніть, чому світло утримується в серцевині завдяки повному внутрішньому відбиттю на межі з оболонкою.
