Електрика та магнетизм

Розділ 7 Постійний електричний струм

Досі ми вивчали провідники в електростатичній рівновазі: заряди на них розподілялися так, щоб поле всередині провідника зникло, а сама поверхня стала еквіпотенціальною. Тепер розглянемо принципово інший, хоч і споріднений, стан провідника — коли поле всередині не зникає, а, навпаки, підтримує неперервний, впорядкований рух зарядів. Такий рух і називають електричним струмом. Побачимо, що майже вся математична техніка, розвинена для електростатики (потік вектора поля, теорема Гаусса-Остроградського, граничні умови на межі середовищ), переноситься сюди практично без змін — тільки роль потенціалу частково переймає сила струму, а роль ємності, як ми переконаємось у розділі про струми в необмежених середовищах, — електричний опір.

7.1 Основні поняття

Сила струму та вектор густини струму

Електричним струмом називають будь-який упорядкований (спрямований) рух електричних зарядів. Силою струму \(I\) називають заряд, що переноситься через переріз провідника за одиницю часу:

\begin{equation} \label {eq:CurrentDef} \tcbhighmath { I = \frac {dq}{dt}. } \end{equation}

Струм може бути нерівномірно розподілений по поверхні, крізь яку він протікає (рис. 7.1). Щоб описати цей розподіл локально, у кожній точці простору вводять вектор густини струму \(\vect j\): за напрямом він збігається з напрямом руху носіїв позитивного заряду в даній точці, а за модулем чисельно дорівнює відношенню сили струму через елементарну площадку, розташовану перпендикулярно до руху носіїв, до площі цієї площадки:

\begin{equation} \label {eq:CurrentDensityDef} j = \frac {dI}{dS_\perp }. \end{equation}

Знаючи вектор густини струму в кожній точці довільної (не обов’язково перпендикулярної до \(\vect j\)) поверхні \(S\), силу струму через цю поверхню знаходять як потік вектора \(\vect j\):

\begin{equation} \label {eq:CurrentFlux} \tcbhighmath { I = \iint \limits _S \vect j \cdot d\vect S. } \end{equation}

Густина струму, густина заряду і дрейфова швидкість

Під дією електричного поля вільні носії заряду в провіднику здійснюють впорядкований рух, який накладається на їхній хаотичний тепловий рух. Середню швидкість цього впорядкованого руху називають дрейфовою швидкістю \(\vect u\).

Нехай концентрація носіїв заряду дорівнює \(n\), а заряд кожного носія — \(e\). Візьмемо площадку \(dS\), перпендикулярну до дрейфової швидкості (рис. 7.2). За час \(dt\) цю площадку перетнуть усі носії, що на початку проміжку часу перебували в циліндрі об’ємом \(dV = u\,dt\, dS\): таких носіїв \(dN = n\,dV\), і разом вони перенесуть заряд \(dq = e\,dN = enu\,dt\,dS\). Отже, густина струму

\begin{equation*} j = \frac {dq}{dt}\frac 1{dS} = enu = \rho u, \end{equation*}

де \(\rho = en\) — об’ємна густина заряду носіїв. У векторному вигляді

\begin{equation} \label {eq:JRhoU} \tcbhighmath { \vect j = \rho \vect u. } \end{equation}

7.2 Природа носіїв заряду

Досліди Толмена і Стюарта

Той факт, що струм у металах зумовлений рухом вільних електронів, а не, скажімо, йонів кристалічної ґратки, не є очевидним апріорі і потребував експериментального доведення. У 1916 р. американський фізик Р. Толмен і шотландський фізик Т. Стюарт виконали дослід, який неспростовно це довів.

Котушку з великою кількістю витків тонкого дроту приєднували до гальванометра і приводили в швидке обертання навколо власної осі, а потім різко гальмували. Під час гальмування вільні носії заряду, за інерцією, продовжували свій рух відносно ґратки провідника ще якийсь час, тобто в колі виникав короткочасний струм. За напрямом відхилення стрілки гальванометра було встановлено, що цей струм створюють негативно заряджені частинки, а виміряний питомий заряд носіїв \(e/m\) виявився близьким до питомого заряду електрона, відомого з інших дослідів (зокрема, з дослідів Дж. Дж. Томсона з катодними променями). Так було експериментально доведено, що носіями струму в металах є електрони.

7.3 Закон збереження заряду

Ми з’ясували, що саме рухається (вільні електрони) і наскільки повільно відбувається це впорядковане перенесення заряду. Постає природне запитання: чи може заряд у довільному об’ємі змінюватися довільним чином, чи існує тут якийсь закон, що обмежує можливі струми? Такий закон — це закон збереження електричного заряду, записаний мовою вектора густини струму.

Нехай у деякому провідному середовищі виділено об’єм \(V\), обмежений замкненою поверхнею \(S\). Повний струм, що витікає крізь цю поверхню, \(I = \oiint _S \vect j\cdot d\vect S\); оскільки струм — це рух заряду, то заряд, який лишається всередині об’єму \(V\), з часом зменшується рівно на ту величину заряду, яка витекла (рис. 7.3):

\begin{equation} \label {eq:ContinuityInt} \oiint \limits _S \vect j\cdot d\vect S = -\frac {d}{dt}\iiint \limits _V \rho \, dV. \end{equation}

Це співвідношення називають рівнянням неперервності: воно є математичним виразом закону збереження електричного заряду (заряд не з’являється й не зникає — він лише переноситься з місця на місце). У диференціальній формі (за теоремою Остроградського-Гаусса)

\begin{equation} \label {eq:ContinuityDiff} \tcbhighmath { \divg \vect j = -\frac {\partial \rho }{\partial t}. } \end{equation}

У стаціонарному випадку, тобто коли розподіл заряду в просторі не змінюється з часом (\(\partial \rho /\partial t = 0\)), рівняння неперервності спрощується:

\begin{equation} \label {eq:ContinuitySteady} \oiint \limits _S \vect j\cdot d\vect S = 0, \qquad \text {або}\qquad \divg \vect j = 0. \end{equation}

Це означає, що з будь-якого об’єму, обмеженого замкненою поверхнею, витікає рівно стільки ж заряду, скільки в нього і втікає (рис. 7.4) — лінії струму в стаціонарному випадку не мають ні витоків, ні стоків (окрім хіба що точок, де є зовнішні джерела чи стоки заряду).

7.4 Закон Ома

Рівняння неперервності (7.6)–(7.7) — умова суто кінематична: вона обмежує можливі конфігурації \(\vect j\), але нічого не каже про те, який саме струм насправді виникне в даному провіднику під дією даного поля \(\Efield \). Щоб замкнути опис, потрібне ще одне, матеріальне рівняння, яке пов’язує \(\vect j\) з \(\Efield \) і залежить від конкретних властивостей середовища (так само як у діелектриках матеріальне рівняння \(\vect D = \epsilon \Efield \) доповнює рівняння електростатики). Таким матеріальним рівнянням для провідників і є закон Ома.

Інтегральна форма

Г. Ом 1827 року експериментально встановив, що сила струму \(I\), який тече однорідним металевим провідником, за відсутності в ньому сторонніх сил, пропорційна різниці потенціалів (напрузі) \(U\) на його кінцях:

\begin{equation} \label {eq:OhmIntegral} \tcbhighmath { I = \frac {U}{R}. } \end{equation}

Коефіцієнт пропорційності \(R\) називають електричним опором провідника; він залежить від форми й розмірів провідника, від матеріалу, з якого він виготовлений, від температури, а також, узагалі кажучи, від розподілу струму по провіднику. У найпростішому випадку однорідного циліндричного провідника довжиною \(\ell \) і перерізом \(S\)

\begin{equation} \label {eq:ResistanceCylinder} R = \rho \, \frac {\ell }{S}, \end{equation}

де \(\rho \) — питомий опір матеріалу (величина, обернена до питомої електропровідності \(\lambda = 1/\rho \), яку ми означимо нижче).

Про одиниці вимірювання

У гауссовій системі одиниць \([I] = \text {Фр}/\text {с}\), а \([U] = \text {Фр}/\text {см}\), тому

\begin{equation*} [R] = \frac {[U]}{[I]} = \frac {\text {с}}{\text {см}}, \end{equation*}

тобто опір у СГС має розмірність оберненої швидкості. Відповідно, для питомого опору

\begin{equation*} [\rho ] = [R]\frac {[S]}{[\ell ]} = \frac {\text {с}}{\text {см}}\cdot \frac {\text {см}^2}{\text {см}} = \text {с}, \end{equation*}

тобто в гауссовій системі питомий опір вимірюється просто в секундах, а питома провідність \(\lambda \) — в обернених секундах.

Диференціальна форма

Виведемо локальний (диференціальний) варіант закону Ома, який пов’язує густину струму \(\vect j\) з напруженістю поля \(\Efield \) в кожній точці провідника, а не інтегрально — на його кінцях. Виділимо в околі довільної точки провідного середовища нескінченно малий циліндричний об’єм із твірними, паралельними вектору \(\vect j\) (рис. 7.5).

Якщо переріз циліндра дорівнює \(dS\), а довжина — \(dl\), то, застосовуючи до нього закон Ома (7.8)–(7.9) (\(I \to j\, dS\), \(U \to E\, dl\), \(R \to \rho \, dl/dS\)), маємо

\begin{equation*} j\, dS = \frac {E\, dl}{\rho \, dl/dS} = \frac 1\rho E\, dS, \end{equation*}

звідки, після скорочень, у векторному вигляді:

\begin{equation} \label {eq:OhmDiff} \tcbhighmath { \vect j = \frac 1\rho \Efield = \lambda \Efield , } \end{equation}

де \(\lambda = 1/\rho \) — питома електропровідність середовища.

Розподіл зарядів у провіднику, яким тече струм

З’ясуємо, де саме розташовані заряди, які створюють електричне поле всередині провідника зі струмом. Якщо провідник однорідний (\(\lambda = \const \)) і по ньому тече стаціонарний струм, то \(\divg \vect j = 0\) за формулою (7.7). Але, за диференціальним законом Ома (7.10) і теоремою Гаусса,

\begin{equation} \label {eq:VolumeChargeZero} \divg \vect j = \lambda \,\divg \Efield = \lambda \cdot 4\pi \rho = 0 \quad \Rightarrow \quad \rho = 0. \end{equation}

Отже, в однорідному провіднику зі стаціонарним струмом об’ємна густина заряду в усіх внутрішніх точках дорівнює нулю.

Водночас, на поверхні провідника зі струмом заряди, взагалі кажучи, є (рис. 7.6). Саме ці поверхневі заряди і є джерелами поля \(\Efield \), яке існує всередині провідника і забезпечує протікання постійного струму. Порівняймо два стани провідника, які легко сплутати:

• • провідник без струму (електростатична рівновага): поле всередині дорівнює нулю, поверхня еквіпотенціальна, поверхневі заряди розташовані так, щоб повністю скомпенсувати поле всередині;

• • провідник зі струмом: поле всередині не дорівнює нулю, але дорівнює \(\Efield = \vect j/\lambda \) у кожній точці; поверхневі заряди перерозподіляються так, щоб підтримувати саме таке поле, а не знищувати його.

Зв’язок поверхневих зарядів із полем дають граничні умови для електростатичного поля. Тангенціальна складова напруженості електричного поля \(\mathbf {E}_\tau \) є неперервною при переході через поверхню розділу середовищ. Оскільки всередині провідника існує поле \(\mathbf {E}'\), яке забезпечує протікання струму, його тангенціальна складова дорівнює тангенціальній складовій поля зовні:

\begin{equation} E_\tau = E'_\tau . \end{equation}

Нормальна ж складова зазнає стрибка, який визначається поверхневою густиною заряду \(\sigma \):

\begin{equation} \label {eq:NormalFieldJump} E_n^{\text {зовн}} - E_n^{\text {внутр}} = 4\pi \sigma . \end{equation}

Саме ця умова і пов’язує кількісно розподіл поверхневих зарядів із конфігурацією поля на поверхні провідника.

Із неперервності \(\mathbf {E}_\tau \) випливає, що в провіднику зі струмом тангенціальна складова поля на поверхні відмінна від нуля. А це означає, що вздовж поверхні є спад напруги:

\begin{equation} \label {eq:SurfacePotentialDrop} \phi _1 - \phi _2 = \int \limits _{1}^{2} E_\tau \, dl \neq 0. \end{equation}

Тому поверхня провідника зі струмом, на відміну від провідника в електростатичній рівновазі, не є еквіпотенціальною. Практичний наслідок: вольтметр, приєднаний до двох точок на поверхні одного й того самого однорідного провідника зі струмом, реєструє ненульову напругу — результат, неможливий для провідника в електростатичній рівновазі. Саме умова неперервності \(\Efield _\tau \) і зумовлює ту конфігурацію силових ліній, яка зображена на рисунку, де вектор поля зовні \(\Efield \) має як нормальну, так і тангенціальну складові (рис. 7.6).

Пряме спостереження поверхневих зарядів ускладнене, проте створюване ними поле надійно реєструється експериментально (рис. 7.7). Один із класичних методів — візуалізація силових ліній за допомогою дрібнодисперсного порошку (або завислих частинок у в’язкому середовищі). Частинки, потрапляючи в електричне поле, поляризуються: їхній дипольний момент орієнтується вздовж поля, а в неоднорідному полі на них діє сила, що втягує їх у ділянки сильнішого поля. У результаті частинки шикуються вздовж силових ліній. Якщо провідник зі струмом занурити в таку суспензію або нанести порошок на його поверхню, картина ліній поля стає безпосередньо видимою. Ключове спостереження: силові лінії виходять із поверхні провідника під кутом, відмінним від прямого, а не перпендикулярно до неї, як було б у випадку електростатичної рівноваги. Саме цей нахил і є прямим візуальним свідченням наявності тангенціальної складової поля \(\Efield _\tau \), створеної поверхневими зарядами. (Зауважимо: порошок реєструє саме поле, а не самі заряди — поверхневі заряди є лише його джерелом.)

Сторонні сили. Електрорушійна сила

У замкненому колі позитивні носії заряду рухаються під дією електричного поля від вищого потенціалу до нижчого — тобто в бік спадання потенціалу. Якби це був єдиний механізм, коло дуже швидко прийшло б до рівноваги: усі точки провідників набули б однакового потенціалу, поле всередині зникло б, і струм припинився б. Щоб струм не припинявся, потрібно повертати носіїв назад — на ділянки з вищим потенціалом, тобто проти сил електростатичного поля (рис. 7.8). Перенесення носіїв на таких ділянках можливе лише за допомогою сил неелектростатичного походження, які називають сторонніми силами.

Фізична природа сторонніх сил може бути дуже різною. У гальванічному елементі (батарейці, акумуляторі) хімічна реакція розділяє заряди на електродах: на одному накопичується надлишок позитивного заряду, на іншому — негативного; виникає поле сторонніх сил, яке «заганяє» іони всередину джерела проти поля. У термоелементі різниця температур на спаях двох різних металів викликає дифузію носіїв, що створює сторонню ЕРС. У фотоелементі енергія світла вивільняє носії, розділяючи їх по різні боки переходу. У електрогенераторі механічне обертання рамки в магнітному полі породжує силу Лоренца, яка відіграє роль сторонньої сили. Попри різну природу, всі ці механізми можна описати єдиним чином — через поле сторонніх сил.

Незалежно від конкретної природи, для кількісного опису вводять поле сторонніх сил \(\vect E^*\) — сторонню силу, що діє на одиничний позитивний заряд:

\begin{equation} \label {eq:ExtraneousForceField} \vect E^* = \frac {\vect F^*}{q}. \end{equation}

Роботу сторонніх сил з переміщення одиничного позитивного заряду з точки \(1\) у точку \(2\) (в межах ділянки, де діють сторонні сили) називають електрорушійною силою (ЕРС):

\begin{equation} \label {eq:EMFDef} \emf = \frac {A^*}{q} = \int \limits _{(1)}^{(2)} \vect E^* \cdot d\vect r. \end{equation}

Для замкненого кола цей інтеграл перетворюється на циркуляцію поля сторонніх сил по всьому контуру:

\begin{equation} \label {eq:EMFClosedLoop} \tcbhighmath { \emf = \oint \vect E^* \cdot d\vect r. } \end{equation}

Саме ця циркуляція і відрізняє поле сторонніх сил від електростатичного: електростатичне поле потенціальне, його циркуляція по будь-якому замкненому контуру дорівнює нулю, тоді як циркуляція поля сторонніх сил по замкненому контуру не дорівнює нулю — і саме вона дорівнює ЕРС.

Якщо на провідник одночасно діють і електростатичне поле \(\Efield \), і поле сторонніх сил \(\vect E^*\), то на кожен носій заряду діє сумарна сила \(\vect F = q(\Efield + \vect E^*)\), і диференціальний закон Ома (7.10) узагальнюється:

\begin{equation} \label {eq:GeneralizedOhm} \tcbhighmath { \vect j = \lambda \left (\Efield + \vect E^*\right ). } \end{equation}

Закон Ома в інтегральній формі для неоднорідної ділянки та замкненого кола

Неоднорідною називають ділянку кола, на якій, окрім електростатичного поля, діють ще й сторонні сили (рис. 7.9). Розглянемо таку ділянку між точками \(1\) і \(2\) і проінтегруємо узагальнений закон Ома (7.18), скалярно помножений на елемент довжини \(d\vect r\) уздовж ділянки, від точки \(1\) до точки \(2\):

\begin{equation*} \int \limits _{(1)}^{(2)} \frac {\vect j\cdot d\vect r}{\lambda } = \int \limits _{(1)}^{(2)} \Efield \cdot d\vect r + \int \limits _{(1)}^{(2)} \vect E^*\cdot d\vect r. \end{equation*}

Ліва частина рівняння, з огляду на сталість сили струму \(I\) уздовж послідовно з’єднаної ділянки (стаціонарність!) і означення опору, дорівнює \(IR\), де \(R = \int \rho \, dl/S\) — опір усієї ділянки; перший доданок справа, за означенням потенціалу, дорівнює \(\phi _1 - \phi _2\); другий, за означенням (7.16), — це ЕРС \(\emf \), що діє на ділянці. Отримуємо закон Ома для неоднорідної ділянки кола:

\begin{equation} \label {eq:OhmNonUniform} \tcbhighmath { IR = \phi _1 - \phi _2 + \emf . } \end{equation}

Для замкненого кола точки \(1\) і \(2\) збігаються, тому \(\phi _1 = \phi _2\), і закон (7.19) набуває найпростішого вигляду:

\begin{equation} \label {eq:OhmClosedLoop} \tcbhighmath { IR = \emf , } \end{equation}

де тепер \(R\) — повний опір усього замкненого кола, а \(\emf \) — алгебраїчна сума всіх ЕРС, що діють у цьому колі.

Внутрішній опір джерела. ККД джерела

Реальне джерело ЕРС (гальванічний елемент, акумулятор, генератор) завжди має власний, внутрішній опір \(r\) — адже сторонні сили діють не в математичній точці, а в певному матеріальному об’ємі джерела, який чинить такий самий опір проходженню струму, як і решта кола. Якщо джерело з ЕРС \(\emf \) і внутрішнім опором \(r\) замкнене на зовнішнє навантаження опором \(R\), закон Ома для замкненого кола (7.20) набуває вигляду

\begin{equation} \label {eq:OhmInternalResistance} \tcbhighmath { I = \frac {\emf }{R+r}. } \end{equation}

Звідси видно два граничні випадки: при розімкненому колі (\(R\to \infty \)) струм відсутній, а напруга на затискачах джерела дорівнює якраз ЕРС \(\emf \) (це і є практичний спосіб виміряти ЕРС — вольтметром з дуже великим внутрішнім опором, коли струм у колі нехтовно малий); при короткому замиканні (\(R=0\)) струм досягає максимального значення \(I_{\text {к.з.}} = \emf /r\), обмеженого вже тільки внутрішнім опором самого джерела.

Потужність, яку джерело віддає у зовнішнє коло, дорівнює \(\mathcal P_{\text {зовн}} = I^2R\), тоді як повна потужність, яку розвивають сторонні сили, — \(\mathcal P_{\text {повн}} = \emf I = I^2(R+r)\); різниця \(I^2 r\) виділяється у вигляді тепла всередині самого джерела. Відношення цих потужностей називають коефіцієнтом корисної дії джерела:

\begin{equation} \label {eq:SourceEfficiency} \eta = \frac {\mathcal P_{\text {зовн}}}{\mathcal P_{\text {повн}}} = \frac {R}{R+r}. \end{equation}

Розгалужені кола. Правила Кірхгофа

Закони (7.19)–(7.20) безпосередньо дозволяють розрахувати нерозгалужене коло, де по всьому колу тече той самий струм. У розгалуженому колі (тобто в колі з кількома контурами, що мають спільні ділянки) струми на різних ділянках різні, і їх усі треба знайти. Для цього закон Ома для неоднорідної ділянки (7.19) доповнюють умовою стаціонарності (7.7); разом вони записуються у формі двох правил Кірхгофа.

Перше правило Кірхгофа стосується вузлів кола — точок, де сходяться три й більше провідники (рис. 7.10). Його фізична причина — збереження електричного заряду разом зі стаціонарністю струму. Вузол не може накопичувати заряд: якби сумарний струм, що втікає у вузол, перевищував сумарний струм, що витікає з нього, то заряд поблизу вузла зростав би зі швидкістю \(dq/dt = \sum I_{\text {вх}} - \sum I_{\text {вих}} \ne 0\), разом із ним змінювалися б потенціал вузла й створене ним поле, а отже, і струми в провідниках — усе це суперечить стаціонарності. Насправді навіть мізерний надлишок заряду створює поле, яке відразу перерозподіляє струми так, що баланс відновлюється; тому в стаціонарному режимі заряд вузла не змінюється.

Кількісно це наслідок рівняння (7.7), застосованого до замкненої поверхні \(S\), що охоплює вузол і перетинає лише підвідні провідники. Поза провідниками \(\vect j = 0\), а потік вектора \(\vect j\) крізь переріз \(k\)-го провідника дорівнює \(\pm I_k\) (знак «плюс», якщо струм витікає з об’єму, «мінус» — якщо втікає). Тому \(\oiint _S \vect j\cdot d\vect S = 0\) перетворюється на твердження: алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю:

\begin{equation} \label {eq:Kirchhoff1} \tcbhighmath { \sum \limits _{k=1}^K I_k = 0. } \end{equation}

Струми, що втікають у вузол, і струми, що витікають з нього, при цьому слід вважати величинами різних знаків (наприклад, «втікає» — зі знаком «плюс», «витікає» — зі знаком «мінус», або навпаки, аби послідовно дотримуватись однієї домовленості).

Друге правило Кірхгофа стосується довільного контуру (замкненої частини розгалуженого кола, рис. 7.11). Закон Ома для замкненого кола (7.20) тут безпосередньо застосувати не можна: він записаний для єдиного струму \(I\), тоді як на різних ділянках контуру розгалуженого кола струми різні. Тому виходимо із закону Ома для неоднорідної ділянки (7.19), який справедливий для кожної ділянки окремо.

Оберемо напрям обходу контуру (рис. 7.11) й розіб’ємо контур на \(M\) послідовних ділянок так, щоб на кожній ділянці струм був сталим (за першим правилом він може змінитися лише у вузлах). Точки, що розділяють ділянки, пронумеруємо за ходом обходу: ділянка \(m\) іде від точки \(m\) до точки \(m+1\), а після останньої ділянки повертаємося в точку \(1\) (тобто \(M+1\equiv 1\)). Нехай \(I_m\) — сила струму на ділянці \(m\) (додатна, якщо струм іде за напрямом обходу), \(R_m\) — її опір, \(\emf _m\) — ЕРС на ній (додатна, якщо сторонні сили діють за напрямом обходу; якщо джерела на ділянці немає, \(\emf _m = 0\)). Закон (7.19) для ділянки \(m\) дає

\begin{equation*} I_m R_m = \phi _m - \phi _{m+1} + \emf _m, \qquad m = 1,\dots ,M. \end{equation*}

Додамо ці \(M\) рівностей:

\begin{equation*} \sum \limits _{m=1}^M I_m R_m = \sum \limits _{m=1}^M \left (\phi _m - \phi _{m+1}\right ) + \sum \limits _{m=1}^M \emf _m. \end{equation*}

Перша сума справа — «телескопічна»: \((\phi _1-\phi _2)+(\phi _2-\phi _3)+\dots +(\phi _M-\phi _1)=0\), бо потенціали проміжних точок скорочуються, а потенціал у початковій точці входить двічі з протилежними знаками. Фізично це означає, що електростатичне поле потенціальне: циркуляція \(\oint \Efield \cdot d\vect r\) по замкненому контуру дорівнює нулю, і в кожній точці потенціал має єдине значення. Отже, електростатичні потенціали з рівняння зникають, і лишається друге правило Кірхгофа: алгебраїчна сума добутків сил струмів на опори ділянок контуру дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, що діють у цьому контурі:

\begin{equation} \label {eq:Kirchhoff2} \tcbhighmath { \sum \limits _{m=1}^M I_m R_m = \sum \limits _{n=1}^N \emf _n. } \end{equation}

Тут \(N\) — кількість джерел у контурі (ЕРС відмінні від нуля лише на ділянках із джерелами). Отже, друге правило — це закон Ома для неоднорідної ділянки, записаний для всіх ділянок контуру й підсумований так, що потенціали скоротилися. Якщо коло нерозгалужене, усі \(I_m\) однакові, і (7.24) зводиться до закону Ома для замкненого кола (7.20).

7.5 Закон Джоуля-Ленца

Оскільки провідник зі струмом чинить опір рухові носіїв заряду (розсіюючи їхню впорядковану кінетичну енергію на теплові коливання ґратки при зіткненнях), проходження струму неминуче супроводжується виділенням тепла.

Робота поля з перенесення заряду \(dq\) через різницю потенціалів \(U\) дорівнює \(dA = U\, dq = UI\, dt\); уся ця робота, за відсутності інших змін в системі (наприклад, накопичення енергії в конденсаторі), переходить у теплоту, тому потужність тепловиділення на ділянці кола \(\mathcal P = dA/dt = UI\), а за законом Ома \(U=IR\):

\begin{equation*} \mathcal P = I^2 R = \frac {U^2}{R}. \end{equation*}

Записуючи це для нескінченно малого циліндричного елемента провідника (\(U \to E\, dl\), \(I \to j\, dS\)) і ділячи на його об’єм \(dV = dl\, dS\), отримуємо формулу для об’ємної густини потужності тепловиділення:

\begin{equation} \label {eq:JouleLenzDiff} \tcbhighmath { w = \lambda E^2 = \vect j\cdot \Efield . } \end{equation}

Інтегруючи по всьому об’єму провідника, знаходимо закон Джоуля-Ленца в інтегральній формі:

\begin{equation} \label {eq:JouleLenzIntegral} \tcbhighmath { \mathcal P = \int \limits _V w\, dV = \int \limits _V \rho j^2\, dV = I^2\int \limits _V \rho \,\frac {dl}{S} = I^2 R. } \end{equation}

7.6 Струми в необмежених середовищах

Досі опір провідника обчислювався за готовою формулою (7.9) для найпростішої, циліндричної геометрії, у якій струм тече строго вздовж однієї осі. Але як бути, коли струм розтікається в просторі довільної форми — наприклад, від електрода чи заземлювача в необмежене провідне середовище? Виявляється, для цього не потрібна принципово нова теорія: досить згадати вже відому з електростатики аналогію між рівнянням Лапласа для потенціалу й тим самим рівнянням, що керує розподілом струму.

Розглянемо задачу, яка, на перший погляд, не стосується «кіл» у звичному розумінні: у провідне середовище з питомою провідністю \(\lambda \) і діелектричною проникністю \(\epsilon \) занурено два електроди, і потрібно знайти повний опір середовища між ними (рис. 7.12). Ця задача важлива, наприклад, для розрахунку опору заземлення.

Нехай на електроди нанесено заряди \(+q\) і \(-q\). З теореми Гаусса для електростатичного поля в діелектрику, застосованої до поверхні, що охоплює позитивний електрод,

\begin{equation*} \oiint \limits _S \Efield \cdot d\vect S = \frac {4\pi }{\epsilon }\, q = \frac {4\pi }{\epsilon }\, C(\phi _+ - \phi _-), \end{equation*}

де \(C\) — взаємна ємність електродів (у середовищі з проникністю \(\epsilon \)), а \(q = C(\phi _+ - \phi _-)\). Але та сама поверхня охоплює й струм, що стікає з електрода: за диференціальним законом Ома, \(\vect j = \lambda \Efield \) поблизу поверхні електрода, тому повний струм, що стікає з нього,

\begin{equation*} I = \oiint \limits _S \vect j\cdot d\vect S = \lambda \oiint \limits _S \Efield \cdot d\vect S = \frac {4\pi \lambda }{\epsilon }\, C(\phi _+ - \phi _-). \end{equation*}

Звідси опір середовища між електродами:

\begin{equation} \label {eq:GroundResistanceGeneral} \tcbhighmath { R = \frac {\phi _+ - \phi _-}{I} = \frac {\epsilon }{4\pi \lambda C}. } \end{equation}

Скориставшись цією аналогією, відразу випишемо два важливі окремі випадки.

Дві далекі кулі-електроди. Якщо електроди — провідні кулі з власними ємностями \(C_1 = \epsilon r_1\) і \(C_2 = \epsilon r_2\), віддалені одна від одної на велику відстань, то, за формулою для взаємної ємності далеких провідників (гл. 6), \(1/C = 1/C_1 + 1/C_2 = (1/\epsilon )(1/r_1+1/r_2)\), тому

\begin{equation} \label {eq:GroundResistanceTwoElectrodes} R = \frac 1{4\pi \lambda }\left (\frac 1{r_1}+\frac 1{r_2}\right ), \end{equation}

— тобто опір заземлення практично не залежить від відстані між кулями (вона взагалі не входить у формулу), а визначається лише розмірами самих електродів.

Плоскі електроди. Якщо електроди — обкладки плоского конденсатора площею \(S\) на відстані \(d\) одна від одної, то \(C = \epsilon S/(4\pi d)\), та

\begin{equation} \label {eq:GroundResistancePlates} R = \frac {d}{\lambda S}, \end{equation}

що просто збігається з відомою формулою (7.9) для опору однорідного провідника довжиною \(d\), перерізом \(S\) і питомим опором \(1/\lambda \) — як, зрештою, і мало бути.

7.7 Перехідні процеси в колі з конденсатором

Усе, що обговорювалося дотепер, стосувалося стаціонарних струмів, які не змінюються з часом, а отже задовольняють спрощену умову \(\divg \vect j=0\) (7.7). Тепер розглянемо найважливіший для кіл випадок нестаціонарного процесу: коли заряд накопичується або вивільняється в деякому об’ємі (наприклад, на обкладинці конденсатора), тобто \(\partial \rho /\partial t\neq 0\), і працює повне рівняння неперервності (7.6). Перехідними процесами називають процеси переходу від одного стаціонарного (чи взагалі відсутнього) режиму до іншого; найважливіший приклад у колах — заряджання та розряджання конденсатора.

Розрядка конденсатора

Розглянемо коло з конденсатора \(C\), попередньо зарядженого до заряду \(q_0\), резистора \(R\) і ключа \(S\), з’єднаних послідовно (рис. 7.14). Після замикання ключа, за законом Ома для кола, \(RI = U\), де \(U = q/C\) — напруга на конденсаторі, а \(I = -dq/dt\) (струм тече в напрямку зменшення заряду конденсатора). Отримуємо диференціальне рівняння

\begin{equation} \label {eq:RCDischarge} \frac {dq}{dt} + \frac {q}{RC} = 0, \end{equation}

розв’язком якого (з початковою умовою \(q(0)=q_0\)) є експоненційне спадання заряду:

\begin{equation} \label {eq:RCDischargeSolution} \tcbhighmath { q = q_0\, e^{-t/RC} = q_0\, e^{-t/\tau }, } \end{equation}

де величину \(\tau = RC\) називають часом релаксації — часом, за який заряд (а разом з ним струм і напруга) зменшується в \(e\approx 2.72\) раза.

Зарядка конденсатора

Аналогічно розглянемо зарядку конденсатора від джерела з ЕРС \(\emf \) через резистор \(R\) (рис. 7.15). Закон Ома для кола тепер \(RI + U = \emf \), причому \(I = +dq/dt\) (струм тече в напрямку зростання заряду), звідки

\begin{equation} \label {eq:RCCharge} \frac {dq}{dt} + \frac {q}{RC} = \frac {\emf }{R}. \end{equation}

З початковою умовою \(q(0) = 0\) розв’язок цього рівняння — заряд, що монотонно й асимптотично наближається до граничного значення:

\begin{equation} \label {eq:RCChargeSolution} \tcbhighmath { q = q_{\max }\left (1 - e^{-t/\tau }\right ), \qquad q_{\max } = \emf C, } \end{equation}

причому \(q_{\max } = \emf C\) — це якраз рівноважний заряд конденсатора при \(t\to \infty \) (коли струм у колі припиняється, а вся ЕРС падає на конденсаторі), а стала часу \(\tau = RC\) — та сама, що й при розрядці.

Порівняймо енергетичний баланс зарядки. Повна робота джерела ЕРС дорівнює \(A = \emf q_{\max } = \emf ^2 C\); енергія, що врешті-решт запасається в конденсаторі, — \(W_C = q_{\max }^2/2C = \emf ^2 C/2\). Отже, рівно половина роботи джерела перетворюється в тепло на резисторі, а друга половина — в енергію поля конденсатора, причому це співвідношення не залежить від значення \(R\): збільшуючи \(R\), ми лише сповільнюємо процес (зростає \(\tau \)), але не змінюємо частку втраченої енергії. Це неочевидний і дещо парадоксальний результат: здавалося б, при малому опорі струм швидший і більший, отже й втрати мали б бути іншими — але вони компенсуються коротшим часом протікання, і в результаті втрачається завжди рівно половина.

7.8 Максвеллівський час релаксації заряду

Вивчаючи перехідні процеси у зосереджених колах, ми бачили, що заряджений конденсатор ємністю \(C\) розряджається через зовнішній резистор \(R\) за характерний час \(\tau = RC\). Виникає природне запитання: а що станеться, якщо розрядка відбуватиметься не через зовнішній елемент, а безпосередньо через слабко провідне середовище між обкладками? Або якщо в товщу суцільного провідного середовища якимось чином внести надлишковий об’ємний заряд?

Відповідь дає фундаментальний локальний аналіз. Нехай в однорідному середовищі з діелектричною проникністю \(\epsilon \) та питомою провідністю \(\lambda \) існує деяка початкова об’ємна густина заряду \(\rho (\vect r, t)\). Під дією власного електричного поля цього заряду в середовищі виникає струм провідності, який прагне винести заряд на периферію. Об’єднаємо диференціальне рівняння неперервності (7.6), диференціальний закон Ома \(\vect j = \lambda \Efield \) та теорему Гаусса \(\divg \Efield = 4\pi \rho /\epsilon \):

\begin{equation*} \frac {\partial \rho }{\partial t} = -\divg \vect j = -\lambda \divg \Efield = -\frac {4\pi \lambda }{\epsilon }\rho . \end{equation*}

Це просте диференціальне рівняння першого порядку, розв’язком якого є універсальний закон експоненційного згасання об’ємного заряду:

\begin{equation} \label {eq:MaxwellRelaxation} \rho (t) = \rho (0)\,e^{-t/\tau _M}, \qquad \tau _M = \frac {\epsilon }{4\pi \lambda }. \end{equation}

Характерну сталу \(\tau _M\) називають максвеллівським часом релаксації заряду.

Отриманий результат розкриває дві важливі фізичні закономірності:

• 1. Перерозподіл заряду замість його знищення. Звичайно, закон збереження заряду виконується строго: об’ємний заряд не анігілює, а виноситься струмом на зовнішні межі середовища або межі поділу з діелектриком. Саме тому в будь-якому однорідному провіднику в стаціонарному режимі об’ємна густина заряду строго дорівнює нулю (\(\rho = 0\), див. (7.11)), а весь надлишковий заряд завжди зосереджений на поверхні.

• 2. Синтез мікроскопічного та макроскопічного підходів. Згадаймо виведену в розділі 7.6 формулу (7.27). для опору середовища \(R = \epsilon / (4\pi \lambda C)\) Якщо обчислити час розрядки такого «конденсатора з витоком» через формулу \(RC\)-кола, дістанемо:

  \(\seteqnumber{0}{7.}{34}\)

  \begin{equation*} \tau = R C = \left (\frac {\epsilon }{4\pi \lambda C}\right ) \cdot C = \frac {\epsilon }{4\pi \lambda } = \tau _M. \end{equation*}

  Геометричні чинники (розміри, форма електродів, ємність \(C\)) повністю скоротилися! Це доводить, що максвеллівський час релаксації є чистою характеристикою речовини, яка пов’язує її електростатичні (\(\epsilon \)) та кінетичні (\(\lambda \)) властивості незалежно від конфігурації поля.

Чисельні значення \(\tau _M\) для різних матеріалів охоплюють величезний діапазон (табл. 7.1).

• • У металах через гігантську провідність (\(\lambda \sim 10^7 \text { См/м}\)) час релаксації є мізерним: \(\tau _M \sim 10^{-19}\text { с}\). Будь-який об’ємний заряд зникає практично миттєво, що й робить електростатичне наближення для провідників ідеально точним на практиці.

• • У напівпровідниках \(\tau _M\) лежить у діапазоні від пікосекунд до мікросекунд, що визначає швидкість спрацьовування напівпровідникових приладів.

• • У діелектриках (скло, янтар, фторопласт) провідність \(\lambda \) прямує до нуля, тому \(\tau _M\) може сягати годин, днів і більше. Заряд, внесений у товщу діелектрика, залишається там «законсервованим» на тривалий час (явище електретного стану).

Задачі