Електрика та магнетизм

Розділ 15 Відносність електричного і магнітного полів

Явище електромагнітної індукції — та ланка, що остаточно поєднує електрику й магнетизм у єдину теорію. Ми бачили 12, що ЕРС індукції виникає у двох, здавалося б, різних ситуаціях: коли провідник рухається в незмінному магнітному полі (причина — сила Лоренца) і коли нерухомий провідник перебуває у змінному магнітному полі (причина — вихрове електричне поле). Чи справді це два різні явища, чи два погляди на одне й те саме явище, побачені з різних систем відліку?

Щоб це з’ясувати, розгляньмо замкнений дрітний контур і магніт, які рухаються один відносно одного рівномірно й прямолінійно, та двох спостерігачів — Алісу й Боба (рис. 15.1). Аліса пов’язана з контуром: для неї контур нерухомий, а повз нього рухається магніт. Боб пов’язаний з магнітом: для нього магніт нерухомий, а рухається контур. Обидва реєструють той самий струм, але пояснюють його по-різному. Аліса бачить навколо рухомого магніту електричне поле, яке й рухає заряди в контурі. Боб електричного поля не бачить — поле нерухомого магніту для нього суто магнітне, — і струм він пояснює силою Лоренца, що діє на заряди рухомого контуру.

Тут ми спираємося на принцип відносності: усі інерціальні системи відліку рівноправні, а фізичний результат — показ амперметра в контурі — залежить лише від відносного руху контуру й магніту, а не від того, хто з них «насправді» рухається. Слово «інерціальні» суттєве: наведений аргумент працює лише для рівномірного руху. Для довільної індукції (деформація контуру, змінний струм у котушці) два механізми переходом до іншої системи відліку не зводяться; їх об’єднує вже правило потоку.

Саме з цієї ситуації починає Ейнштейн свою статтю 1905 року, з якої взято епіграф. Далі в ній сказано:

Отже, асиметрія — у теорії, а не в явищі. Явище симетричне щодо обміну «рухається магніт» \(\leftrightarrow \) «рухається провідник», а теорія ці два випадки розрізняє: в одному є електричне поле з енергією, в іншому — лише ЕРС, якій жодна енергія не відповідає. Тому запитання ставиться не так, чи електричне поле «насправді» існує. Воно таке: як пов’язані між собою електричне й магнітне поля, які бачать різні спостерігачі, і що в цьому зв’язку від вибору системи відліку не залежить?

15.1 Нерелятивістські закони перетворення полів

Перетворення електричного поля

Нехай заряджена частинка в системі відліку \(S\) рухається зі швидкістю \(\vect v\) в полях \(\Efield \) і \(\Bfield \). Тоді на неї діє сила

\begin{equation*} \vect F = q\left (\Efield + \frac 1c\,\vect v\times \Bfield \right ). \end{equation*}

Перейдімо в систему відліку \(S'\), яка рухається зі швидкістю \(\vect v\), — у цій системі частинка спочиває. У системі \(S'\) на частинку діє лише сила з боку електричного поля (магнітне поле на нерухому частинку не діє):

\begin{equation*} \vect F' = q\Efield '. \end{equation*}

У нерелятивістському наближенні сила є інваріантом, тобто \(\vect F = \vect F'\). Звідси випливає перший закон перетворення:

\begin{equation} \label {eq:EprimeFromE} \tcbhighmath { \Efield ' = \Efield + \frac 1c\,\vect v\times \Bfield . } \end{equation}

Перехід від системи відліку \(S'\) до системи \(S\) отримується зміною знака швидкості:

\begin{equation} \label {eq:EFromEprime} \tcbhighmath { \Efield = \Efield ' - \frac 1c\,\vect v\times \Bfield '. } \end{equation}

Перетворення магнітного поля

Із закону Біо-Савара-Лапласа випливає, що магнітне поле заряду, який рухається зі швидкістю \(\vect v\), дорівнює

\begin{equation*} \Bfield = \frac 1c\,\vect v\times \Efield ', \qquad \Efield ' = \frac {q\vect r}{r^3}. \end{equation*}

Розглянемо систему нерухомих (у системі відліку \(S'\)) заряджених частинок. Вони створюють електростатичне поле

\begin{equation*} \Efield ' = \sum _k \frac {q_k}{r_k^3}\vect r_k = \sum _k \Efield '_k. \end{equation*}

Перейдімо в систему відліку \(S\), відносно якої система \(S'\) рухається зі швидкістю \(\vect v\). У \(S\) заряди рухаються зі швидкістю \(\vect v\), тому кожен із них створює магнітне поле \(\Bfield _k = \frac 1c\,\vect v\times \Efield '_k\), а всі разом вони створюють поле \(\Bfield _k = \frac 1c\,\vect v\times \Efield '_k\), а всі разом вони створюють поле

\begin{equation*} \Bfield = \frac 1c\,\vect v\times \Efield '. \end{equation*}

Таким чином, у системі відліку, в якій заряди рухаються, виникає магнітне поле. Якщо у вихідній системі присутнє магнітне поле \(\Bfield '\) (створюване, наприклад, власним магнітним моментом частинки), то сумарне магнітне поле дається формулою

\begin{equation} \label {eq:BFromBprime} \tcbhighmath { \Bfield = \Bfield ' + \frac 1c\,\vect v\times \Efield '. } \end{equation}

Обернений перехід від системи \(S\) до системи \(S'\) отримується зміною знака швидкості:

\begin{equation} \label {eq:BprimeFromB} \tcbhighmath { \Bfield ' = \Bfield - \frac 1c\,\vect v\times \Efield . } \end{equation}

15.2 Релятивістські закони перетворення полів

Інваріантність заряду

При виведенні закону збереження заряду,

\begin{equation*} \frac {\partial \rho }{\partial t} + \divg \vect j = 0, \end{equation*}

передбачалося, що величина заряду не залежить від його швидкості. Це твердження є фактично результатом досліду. Припустимо, що це не так, тобто що заряд залежить від швидкості, \(q = q(v)\). Візьмімо електронейтральне тіло, в якому додатні й від’ємні заряди точно скомпенсовані. Нагріватимемо це тіло. Тоді легкі частинки почнуть рухатися швидше, ніж важкі (наприклад, у газі \(v_T = \sqrt {3kT/m} \sim m^{-1/2}\)). У результаті заряд одного знака почне переважати — тіло набуде нескомпенсованого заряду.

Однак такого ефекту не спостерігалося в жодному експерименті. Це означає незалежність заряду від швидкості.

Релятивістські формули перетворення полів

Нерелятивістські формули ми вивели, вважаючи силу однаковою в обох системах відліку. Тепер зробимо те саме точно: замінимо рівність \(\vect F = \vect F'\) правильним перетворенням сили. Введемо позначення \(\vect \beta = \vect v/c\), \(\gamma = 1/\sqrt {1-(v/c)^2}\) і, як і раніше, вважатимемо, що система \(S'\) рухається відносно \(S\) зі швидкістю \(\vect v\) (вісь \(x\) напрямлена вздовж \(\vect v\)). Індексом «\(\parallel \)» позначимо компоненти полів, паралельні вектору швидкості, а індексом «\(\perp \)» — перпендикулярні до нього. Виведення спирається на три положення: означення полів через силу Лоренца, яке однакове в усіх інерціальних системах; інваріантність заряду; принцип відносності, за яким обернене перетворення отримується заміною \(\vect v \to -\vect v\).

Перетворення сили. Розглянемо частинку, яка наразі перебуває в спокої в системі \(S'\). Енергія й імпульс перетворюються як компоненти 4-вектора \((\epsilon /c,\ \vect p)\):

\begin{equation*} dp_\parallel = \gamma \left (dp'_\parallel + \frac {v}{c^2}\,d\epsilon '\right ), \qquad dp_\perp = dp'_\perp , \qquad dt = \gamma \left (dt' + \frac {v}{c^2}\,dx'\right ). \end{equation*}

Для частинки, що спочиває в \(S'\), зміщення \(dx' = 0\), а \(d\epsilon ' = \vect F'\cdot d\vect r' = 0\). Тому \(dt = \gamma \,dt'\), \(dp_\parallel = \gamma \,dp'_\parallel \), \(dp_\perp = dp'_\perp \), і, ділячи, отримуємо

\begin{equation*} F_\parallel = F'_\parallel , \qquad \vect F_\perp = \frac {\vect F'_\perp }{\gamma }. \end{equation*}

Електричне поле. У системі \(S\) частинка рухається зі швидкістю \(\vect v\), тому \(\vect F = q(\Efield + \vect \beta \times \Bfield )\); у системі \(S'\) вона спочиває, тому \(\vect F' = q\Efield '\) (заряд інваріантний). Вектор \(\vect \beta \times \Bfield \) перпендикулярний до \(\vect v\), тож із \(F_\parallel = F'_\parallel \) випливає \(E_\parallel = E'_\parallel \), а з \(\vect F_\perp = \vect F'_\perp /\gamma \) — \(\Efield _\perp + \vect \beta \times \Bfield = \Efield '_\perp /\gamma \). Отже,

\begin{equation} \label {eq:RelE} \Efield '_\parallel = \Efield _\parallel , \qquad \Efield '_\perp = \gamma \left (\Efield _\perp + \vect \beta \times \Bfield \right ). \end{equation}

Як і в розділі 1, точку простору можна вибрати довільно: у ній завжди можна розмістити пробну частинку.

Магнітне поле, перпендикулярні компоненти. Формула (15.5) справедлива для будь-яких полів. За принципом відносності обернене перетворення відрізняється лише знаком швидкості:

\begin{equation*} \Efield _\perp = \gamma \left (\Efield '_\perp - \vect \beta \times \Bfield '\right ). \end{equation*}

Підставимо в нього \(\Efield '_\perp \) з (15.5):

\begin{equation*} \Efield _\perp = \gamma ^2\left (\Efield _\perp + \vect \beta \times \Bfield \right ) - \gamma \,\vect \beta \times \Bfield ' \quad \Rightarrow \quad \vect \beta \times \Bfield ' = \gamma \beta ^2\,\Efield _\perp + \gamma \,\vect \beta \times \Bfield , \end{equation*}

де використано \(\gamma ^2 - 1 = \gamma ^2\beta ^2\). Помножимо обидві частини векторно на \(\vect \beta \) зліва. Для будь-якого вектора \(\vect X\) маємо \(\vect \beta \times (\vect \beta \times \vect X) = -\beta ^2\vect X_\perp \), тому \(-\beta ^2\Bfield '_\perp = \gamma \beta ^2\,\vect \beta \times \Efield - \gamma \beta ^2\,\Bfield _\perp \), тобто

\begin{equation} \label {eq:RelBperp} \Bfield '_\perp = \gamma \left (\Bfield _\perp - \vect \beta \times \Efield \right ). \end{equation}

Магнітне поле, паралельна компонента. Нехай довгий соленоїд, вісь якого напрямлена вздовж \(\vect v\), спочиває в \(S'\). Поле всередині нього \(B'_\parallel = \frac {4\pi }{c}\,i'\), де \(i' = \sigma 'u'\) — лінійна густина струму (струм на одиницю довжини соленоїда), \(\sigma '\) — поверхнева густина заряду носіїв, \(u'\) — їхня азимутальна швидкість. У системі \(S\) соленоїд рухається вздовж своєї осі. Поперечні розміри не змінюються, поздовжні скорочуються, тому через інваріантність заряду \(\sigma = \gamma \sigma '\). Азимутальна швидкість носіїв, перпендикулярна до \(\vect v\), через уповільнення часу зменшується: \(u = u'/\gamma \). Отже, \(i = \sigma u = i'\). Соленоїд залишається електронейтральним (струм перпендикулярний до \(\vect v\)), тому в \(S\) є лише магнітне поле, і \(B_\parallel = B'_\parallel \).

Отже, ми отримуємо закони перетворення при переході від \(S\) до \(S'\):

\begin{equation} \label {eq:RelTransformDirect} \tcbhighmath { \begin{aligned} \Efield '_\parallel &= \Efield _\parallel , \qquad \Efield '_\perp = \gamma \left (\Efield _\perp + \vect \beta \times \Bfield \right ), \\[4pt] \Bfield '_\parallel &= \Bfield _\parallel , \qquad \Bfield '_\perp = \gamma \left (\Bfield _\perp - \vect \beta \times \Efield \right ). \end {aligned} } \end{equation}

Обернені перетворення, від \(S'\) до \(S\), отримуються заміною \(\vect v \to -\vect v\):

\begin{equation} \label {eq:RelTransformParallel} \tcbhighmath { \begin{aligned} \Efield _\parallel &= \Efield '_\parallel , \qquad \Efield _\perp = \gamma \left (\Efield '_\perp - \vect \beta \times \Bfield '\right ), \\[4pt] \Bfield _\parallel &= \Bfield '_\parallel , \qquad \Bfield _\perp = \gamma \left (\Bfield '_\perp + \vect \beta \times \Efield '\right ). \end {aligned} } \end{equation}

Інваріанти електромагнітного поля

З формул перетворення (15.7) випливає, що є два інваріанти електромагнітного поля:

\begin{equation} \label {eq:FieldInvariants} \tcbhighmath { I_1 \equiv E^2 - B^2 = \text {inv}, \qquad I_2 \equiv \Efield \cdot \Bfield = \text {inv}. } \end{equation}

Доведення. Розкладемо поля на паралельні й перпендикулярні до \(\vect v\) складові. Для векторів, перпендикулярних до \(\vect \beta \), скористаємося тотожністю \((\vect \beta \times \vect a)\cdot (\vect \beta \times \vect b) = \beta ^2\,\vect a_\perp \cdot \vect b_\perp \), а також тим, що вектори \(\vect \beta \times \Efield \) і \(\vect \beta \times \Bfield \) перпендикулярні до \(\vect \beta \), а \(\vect \beta \times \Efield \perp \Efield \), \(\vect \beta \times \Bfield \perp \Bfield \).

Інваріант \(I_2\). Паралельні компоненти не змінюються, тому

\begin{equation*} \Efield '\cdot \Bfield ' = E_\parallel B_\parallel + \gamma ^2\left (\Efield _\perp + \vect \beta \times \Bfield \right )\cdot \left (\Bfield _\perp - \vect \beta \times \Efield \right ). \end{equation*}

Розкриємо добуток. Доданки \(\Efield _\perp \cdot (\vect \beta \times \Efield )\) і \((\vect \beta \times \Bfield )\cdot \Bfield _\perp \) дорівнюють нулю, а \((\vect \beta \times \Bfield )\cdot (\vect \beta \times \Efield ) = \beta ^2\,\Efield _\perp \cdot \Bfield _\perp \). Тому

\begin{equation*} \Efield '\cdot \Bfield ' = E_\parallel B_\parallel + \gamma ^2\left (1-\beta ^2\right )\Efield _\perp \cdot \Bfield _\perp = E_\parallel B_\parallel + \Efield _\perp \cdot \Bfield _\perp = \Efield \cdot \Bfield , \end{equation*}

оскільки \(\gamma ^2(1-\beta ^2) = 1\).

Інваріант \(I_1\). Аналогічно,

\begin{equation*} E'^2 - B'^2 = E_\parallel ^2 - B_\parallel ^2 + \gamma ^2\left [\left (\Efield _\perp + \vect \beta \times \Bfield \right )^2 - \left (\Bfield _\perp - \vect \beta \times \Efield \right )^2\right ]. \end{equation*}

Різниця квадратів у дужках дорівнює

\begin{equation*} \left (1-\beta ^2\right )\left (E_\perp ^2 - B_\perp ^2\right ) + 2\left [\Efield \cdot (\vect \beta \times \Bfield ) + \Bfield \cdot (\vect \beta \times \Efield )\right ]. \end{equation*}

Вираз у квадратних дужках дорівнює \(\vect \beta \cdot (\Bfield \times \Efield ) + \vect \beta \cdot (\Efield \times \Bfield ) = 0\), тому \(E'^2 - B'^2 = E_\parallel ^2 - B_\parallel ^2 + E_\perp ^2 - B_\perp ^2 = E^2 - B^2\).

Наслідки

Якщо в якій-небудь системі відліку \(I_2 \neq 0\), то не існує системи відліку, в якій одне з полів оберталося б у нуль (тоді \(\Efield \cdot \Bfield \) дорівнювало б нулю). Іншими словами, неможливо вибором системи відліку виключити хоча б одне з полів.

Нехай у системі \(S\) інваріант \(I_2 = 0\), тобто \(\Efield \perp \Bfield \). Якщо при цьому \(I_1 > 0\), тобто \(|\Efield | > |\Bfield |\), то існує система відліку \(S'\), в якій присутнє тільки електричне поле. Вона рухається відносно \(S\) з такою швидкістю, що

\begin{equation*} \Bfield ' = \Bfield - \frac 1c\,\vect v\times \Efield = 0 \quad \Rightarrow \quad \vect v = c\,\frac {\Efield \times \Bfield }{E^2}. \end{equation*}

Ця швидкість перпендикулярна і до \(\Efield \), і до \(\Bfield \), тому обидва поля в \(S\) поперечні, множник \(\gamma \) на умову \(\Bfield ' = 0\) не впливає, і формула точна; при цьому \(v = cB/E < c\). Величину поля в \(S'\) дає інваріант \(I_1\): \(E' = \sqrt {E^2 - B^2}\).

Якщо ж \(I_1 < 0\), то підхожим вибором системи відліку можна виключити електричне поле, так що залишається тільки магнітне поле. Швидкість відповідної системи відліку така, що

\begin{equation*} \Efield ' = \Efield + \frac 1c\,\vect v\times \Bfield = 0 \quad \Rightarrow \quad \vect v = c\,\frac {\Efield \times \Bfield }{B^2}, \end{equation*}

причому \(v = cE/B < c\), а \(B' = \sqrt {B^2 - E^2}\).

Нарешті, якщо \(I_1 = 0\) і \(I_2 = 0\) (наприклад, поле плоскої хвилі), то в будь-якій системі відліку \(E = B\), і жодним вибором системи відліку не можна виключити ні електричне, ні магнітне поле.

Перетворення потенціалів

Електромагнітне поле характеризується скалярним \(\phi \) і векторним \(\vect A\) потенціалами, причому

\begin{equation*} \Efield = -\grad \phi - \frac 1c\frac {\partial \vect A}{\partial t}, \qquad \Bfield = \rot \vect A. \end{equation*}

Ця пара потенціалів повністю визначає електромагнітне поле і, виявляється, утворює 4-вектор

\begin{equation*} A = (\phi , A_x, A_y, A_z), \end{equation*}

компоненти якого перетворюються при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої відповідно до перетворень Лоренца:

\begin{equation} \label {eq:PotentialTransform} \tcbhighmath { \begin{aligned} \phi &= \frac {\phi ' + (v/c)A'_x}{\sqrt {1-(v/c)^2}}, \qquad A_x = \frac {A'_x + (v/c)\phi '}{\sqrt {1-(v/c)^2}}, \qquad A_y = A'_y, \qquad A_z = A'_z; \\[8pt] \phi ' &= \frac {\phi - (v/c)A_x}{\sqrt {1-(v/c)^2}}, \qquad A'_x = \frac {A_x - (v/c)\phi }{\sqrt {1-(v/c)^2}}, \qquad A'_y = A_y, \qquad A'_z = A_z. \end {aligned} } \end{equation}

Передбачається, що вісь \(x\) напрямлена вздовж вектора швидкості \(\vect v\).

15.3 Тензор електромагнітного поля

Закони перетворення (15.7) мають дивний вигляд: шість компонент \(\Efield \) і \(\Bfield \) переходять одна в одну за різними правилами для поздовжніх і поперечних складових. Це означає, що вони є компонентами одного об’єкта, як три просторові й одна часова компоненти 4-вектора. Цей об’єкт — тензор електромагнітного поля.

Позначення. Координати \(x^\mu = (ct,\,x,\,y,\,z)\), метрика з сигнатурою \((+,-,-,-)\), тобто для 4-вектора \(a^\mu = (a^0, \vect a)\) маємо \(a_\mu = (a^0, -\vect a)\); грецькі індекси пробігають значення \(0,1,2,3\), латинські — \(1,2,3\), за повторюваними індексами йде сума. Похідна \(\partial _\mu = \left (\frac {1}{c}\frac {\partial }{\partial t},\ \nabla \right )\). 4-потенціал: \(A^\mu = (\phi , \vect A)\), \(A_\mu = (\phi , -\vect A)\).

Означення. Тензор поля будується з потенціалів як

\begin{equation} \label {eq:FieldTensorDef} F_{\mu \nu } = \partial _\mu A_\nu - \partial _\nu A_\mu . \end{equation}

Він не змінюється при калібрувальному перетворенні \(A_\mu \to A_\mu + \partial _\mu \chi \). Виразимо його компоненти через \(\Efield \) і \(\Bfield \):

\begin{equation*} F_{0i} = \partial _0 A_i - \partial _i A_0 = -\frac 1c\frac {\partial A^i}{\partial t} - \frac {\partial \phi }{\partial x^i} = E_i, \ F_{12} = \partial _1 A_2 - \partial _2 A_1 = -\left (\frac {\partial A_y}{\partial x} - \frac {\partial A_x}{\partial y}\right ) = -B_z, \end{equation*}

і аналогічно \(F_{13} = B_y\), \(F_{23} = -B_x\). У вигляді таблиці:

\begin{equation} \label {eq:FieldTensorMatrix} \tcbhighmath { F_{\mu \nu } = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end {pmatrix}, \qquad F^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \end {pmatrix}. } \end{equation}

Тензор антисиметричний, \(F_{\nu \mu } = -F_{\mu \nu }\), тому має рівно шість незалежних компонент — стільки, скільки в \(\Efield \) і \(\Bfield \) разом. Перехід до \(F^{\mu \nu }\) означає зміну знака компонент з одним просторовим індексом (\(F^{0i} = -F_{0i}\)).

Перетворення полів. Компоненти тензора перетворюються за правилом, однаковим для кожного індексу:

\begin{equation*} F'^{\mu \nu } = \Lambda ^\mu {}_\alpha \,\Lambda ^\nu {}_\beta \,F^{\alpha \beta }, \qquad \Lambda = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\ -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {pmatrix}, \end{equation*}

де \(\Lambda \) — перетворення Лоренца при переході до системи \(S'\), що рухається вздовж осі \(x\) зі швидкістю \(v\). Розпишемо дві компоненти:

\begin{equation*} F'^{02} = \gamma F^{02} - \gamma \beta F^{12} \ \Rightarrow \ -E'_y = -\gamma E_y + \gamma \beta B_z \ \Rightarrow \ E'_y = \gamma \left (E_y - \beta B_z\right ), \end{equation*}

\begin{equation*} F'^{12} = -\gamma \beta F^{02} + \gamma F^{12} \ \Rightarrow \ -B'_z = \gamma \beta E_y - \gamma B_z \ \Rightarrow \ B'_z = \gamma \left (B_z - \beta E_y\right ). \end{equation*}

Це складові формул (15.7): \((\vect \beta \times \Bfield )_y = -\beta B_z\), \((\vect \beta \times \Efield )_z = \beta E_y\). Решта чотири компоненти дають \(E'_x = E_x\), \(B'_x = B_x\), \(E'_z = \gamma (E_z + \beta B_y)\), \(B'_y = \gamma (B_y + \beta E_z)\), тобто всі шість співвідношень (15.7) одразу.

Інваріанти з тензора

Так само як скалярний добуток \(a_\mu b^\mu \) двох 4-векторів однаковий в усіх інерціальних системах, скалярами є й повні згортання тензора зі самим собою. Побудуємо їх.

Інваріант \(I_1\). Розглянемо згортання \(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\). Компоненти з індексом \(0\) дають \(F_{0i}F^{0i} + F_{i0}F^{i0} = -2E^2\), а чисто просторові — \(F_{ij}F^{ij} = 2B^2\) (кожна компонента \(B\) входить двічі). Тому

\begin{equation} \label {eq:I1Tensor} \tcbhighmath { F_{\mu \nu }F^{\mu \nu } = 2\left (B^2 - E^2\right ) \quad \Longleftrightarrow \quad I_1 = E^2 - B^2 = -\frac 12\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }. } \end{equation}

Це скаляр, бо \(F'_{\mu \nu }F'^{\mu \nu } = F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\): при перетворенні кожен нижній індекс компенсується верхнім, тому що \(\Lambda ^{-1}\Lambda = 1\).

Інваріант \(I_2\). Другий скаляр потребує дуального тензора

\begin{equation*} \tilde F^{\mu \nu } = \frac 12\,\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }, \end{equation*}

де \(\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\) — цілком антисиметричний символ Леві-Чівіти, \(\epsilon ^{0123} = +1\). Обчислення дають, що \(\tilde F^{\mu \nu }\) отримується з \(F^{\mu \nu }\) заміною \(\Efield \to \Bfield \), \(\Bfield \to -\Efield \). Зокрема \(\tilde F^{01} = F_{23} = -B_x\). Повне згортання

\begin{equation*} \epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma } = 8\left (F_{01}F_{23} - F_{02}F_{13} + F_{03}F_{12}\right ) = -8\left (E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z\right ), \end{equation*}

тому

\begin{equation} \label {eq:I2Tensor} \tcbhighmath { I_2 = \Efield \cdot \Bfield = -\frac 14\,\tilde F^{\mu \nu }F_{\mu \nu } = -\frac 18\,\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }. } \end{equation}

Символ \(\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\) не змінює вигляду при власних перетвореннях Лоренца (\(\det \Lambda = 1\)), тому й цей скаляр не залежить від системи відліку. Він змінює знак при дзеркальному відбитті (псевдоскаляр): \(\Efield \) — вектор, \(\Bfield \) — аксіальний вектор, і їхній скалярний добуток парність не зберігає. Величина \(E^2 - B^2\) від парності не залежить.

Незалежно від дуального тензора: \(\det F_{\mu \nu } = (\Efield \cdot \Bfield )^2\). Оскільки \(F' = \Lambda F\Lambda ^{T}\) і \(\det \Lambda = 1\), визначник не змінюється, і \(|I_2|\) інваріантний.

Чому їх рівно два? Складемо комплексний вектор \(\vect {\mathcal F} = \Efield + i\Bfield \). Тоді

\begin{equation*} \vect {\mathcal F}^{\,2} = E^2 - B^2 + 2i\,\Efield \cdot \Bfield = I_1 + 2i\,I_2, \end{equation*}

а формули (15.7) набувають вигляду \(\vect {\mathcal F}'_\parallel = \vect {\mathcal F}_\parallel \), \(\vect {\mathcal F}'_\perp = \gamma \left (\vect {\mathcal F}_\perp - i\,\vect \beta \times \vect {\mathcal F}\right )\). Це «обертання» комплексного вектора навколо \(\vect v\) на уявний кут: \(\gamma = \cosh \eta \), \(\gamma \beta = \sinh \eta \). Прямою підстановкою \(\vect {\mathcal F}'^{\,2} = \mathcal F_\parallel ^2 + \gamma ^2(1-\beta ^2)\,\vect {\mathcal F}_\perp ^{\,2} = \vect {\mathcal F}^{\,2}\) (перехресний член \(\vect {\mathcal F}_\perp \cdot (\vect \beta \times \vect {\mathcal F}_\perp )\) дорівнює нулю). Тобто \(I_1\) і \(I_2\) — дійсна й уявна частини єдиного комплексного інваріанта, а обертання комплексного вектора не змінює лише його квадрат.

Підсумки

Усі результати цього розділу спираються на одну спільну ідею: електричне й магнітне поля — це дві грані єдиного електромагнітного поля, а їхній поділ залежить від вибору системи відліку. Нерелятивістські закони перетворення (15.1)–(15.4) справедливі при \(v \ll c\) і показують, як «суто електричне» поле набуває магнітної складової при переході до рухомої системи відліку. Релятивістські закони (15.8) уточнюють ці співвідношення з урахуванням лоренцевого фактора \(\sqrt {1-(v/c)^2}\). Інваріанти (15.9) \(I_1 = E^2 - B^2\) та \(I_2 = \Efield \cdot \Bfield \) залишаються незмінними в будь-якій інерціальній системі відліку й визначають, чи можна вибором системи відліку повністю виключити одне з полів. Нарешті, потенціали \(\phi \) і \(\vect A\) утворюють 4-вектор (15.10), компоненти якого перетворюються за законами Лоренца, — це найглибше вираження єдності електромагнітного поля.

Задачі

У всіх задачах система \(S'\) рухається відносно \(S\) зі швидкістю \(\vect v\), якщо не сказано інше.