Електрика та магнетизм

Розділ 12 Явище електромагнітної індукції

12.1 Явище електромагнітної індукції

У 1831 р. М. Фарадей відкрив явище електромагнітної індукції: воно полягає в тому, що в замкненому провідному контурі при зміні магнітного потоку, охопленого цим контуром, виникає електричний струм, який називають індукційним.

У низці дослідів Фарадей встановив, що індукційний струм виникає щоразу, коли змінюється магнітний потік крізь контур — незалежно від причини цієї зміни: чи то рухається магніт відносно нерухомого контуру, чи рухається сам контур відносно нерухомого магніту, чи змінюється сила струму в сусідньому контурі (рис. 12.1).

Розглянемо докладніше ці три групи дослідів.

Дослід 1. Рух магніту відносно нерухомої котушки.

Котушку, з’єднану з гальванометром, закріплюють нерухомо. До неї наближають або віддаляють постійний магніт. Поки магніт нерухомий, стрілка гальванометра стоїть на нулі. Щойно магніт починає рухатися, стрілка відхиляється — у котушці виникає індукційний струм. Під час наближення магніту струм має один напрям, під час віддалення — протилежний. Коли рух припиняється, струм зникає.

Дослід 2. Рух котушки відносно нерухомого магніту.

Магніт залишають нерухомим, а рухають котушку, з’єднану з гальванометром. Спостерігається той самий ефект: під час руху виникає індукційний струм, напрям якого залежить від напряму руху котушки. Отже, важливою є не абсолютна швидкість магніту чи котушки, а їхня відносна швидкість: саме від неї залежить швидкість зміни магнітного потоку крізь контур.

Дослід 3. Зміна струму в сусідній котушці.

Дві котушки розміщують поряд: одну (1) приєднують до гальванометра, другу (2) — через ключ до джерела струму. Коли ключ замикають або розмикають, у першій котушці виникає короткочасний індукційний струм. Струм спостерігається лише в моменти зміни струму в другій котушці; коли струм сталий, гальванометр нічого не показує. Це явище називають взаємоіндукцією.

Узагальнюючи результати всіх цих дослідів, Фарадей дійшов висновку (у сучасному формулюванні): індукційний струм у замкненому контурі виникає тоді й лише тоді, коли змінюється магнітний потік, охоплений цим контуром. Сама ж причина зміни магнітного потоку — рух магніту, рух контуру чи зміна струму в сусідньому контурі — на існування та напрям індукційного струму принципово не впливає.

12.2 Закон електромагнітної індукції

На основі дослідів Фарадея було сформульовано закон електромагнітної індукції: електрорушійна сила (ЕРС), що виникає в контурі, пропорційна швидкості зміни магнітного потоку, який пронизує площу, охоплену цим контуром:

\begin{equation} \label {eq:FaradayLawInt} \tcbhighmath { \emf _\text {інд} = -\frac 1c\frac {d\Phi }{dt} = -\frac 1c\frac {d}{dt}\iint \limits _S \Bfield \cdot d\vect S. } \end{equation}

Знак «мінус» у цьому законі — не формальність, а прояв правила Ленца, з яким ми детальніше познайомимось нижче.

Магнітний потік \(\Phi \), а отже, і ЕРС індукції, можуть змінюватися трьома способами:

• • через зміну площі контуру, що пронизується незмінним магнітним полем;

• • через зміну орієнтації контуру відносно поля (наприклад, при обертанні рамки);

• • через зміну самого магнітного поля, що пронизує нерухомий контур.

У перших двох випадках контур рухається, у третьому — нерухомий; ці випадки мають різну фізичну природу, і ми розглянемо їх окремо.

12.3 Робота, що виконується при переміщенні провідника зі струмом у магнітному полі

Візьмемо рамку, по якій може вільно ковзати перемичка, що замикає верхній і нижній проводи (рис. 12.2). Помістимо цю систему в магнітне поле. Будемо вважати спочатку, що поле перпендикулярне до площини рамки.

Якщо по рамці через перемичку тече струм \(I\) (як показано на рис. 12.2), то на перемичку діє сила Ампера:

\begin{equation} F_\text {А} = \frac {I}{c} \ell B, \label {eq:AmpereForceRod} \end{equation}

де \(\ell \) — довжина перемички. При зазначених на рис. 12.2 напрямках струму \(I\) і зовнішнього магнітного поля \(\Bfield \) сила \(\vect {F}_\text {А}\) напрямлена вправо і при зміщенні перемички на \(dx\) виконує роботу

\begin{equation} dA = F_\text {А} dx = \frac {I}{c} B \ell dx = \frac {I}{c} d\Phi . \label {eq:work_dx} \end{equation}

Площа контуру зі струмом змінюється на \(dS = \ell \,dx\), а магнітний потік — на \(d\Phi = B\,dS\). При зміщенні перемички на кінцеву відстань (за незмінних \(I\) і \(\Bfield \))

\begin{equation*} A_{12} = \frac {I}{c} (\Phi _2 - \Phi _1). \end{equation*}

Нехай поле напрямлене під довільним кутом до площини контуру (рамки). Покладемо \(\Bfield = \Bfield _{\perp } + \Bfield _{\parallel }\), де \(\Bfield _{\perp }\) — складова, напрямлена за нормаллю до площі, а \(\Bfield _{\parallel }\) — що лежить у площині контуру. Складова \(\Bfield _{\parallel }\) створює силу, перпендикулярну до площини і, отже, перпендикулярну до зміщення перемички, і тому таку, що не виконує роботи. З урахуванням цього магнітний потік, що призводить до виконання роботи, визначається тільки компонентою поля \(\Bfield _{\perp }\):

\begin{equation*} \Phi = B_{\perp } S = \Bfield \cdot \vect {S}. \end{equation*}

У випадку довільно деформованого витка і поля, що змінюється від точки до точки, весь замкнений контур потрібно подумки розбити на нескінченно малі замкнені елементи струму. Оскільки струми на спільних ділянках сусідніх витків рівні за величиною і протилежні за напрямком, то струми по всій площі вихідного контуру компенсують один одного, і залишається тільки струм \(I\) у вихідному контурі.

Вважаючи поле в межах одного елемента однорідним, отримуємо

\begin{equation*} dA = \frac {I}{c} d\Phi , \end{equation*}

де магнітний потік тепер визначається формулою

\begin{equation} \Phi = \int \limits _{S} \Bfield \cdot d\vect {S}, \label {eq:magnetic_flux} \end{equation}

в якій інтегрування ведеться по площі, що обмежується контуром зі струмом.

Зауважимо, що в цьому процесі виконується робота, тоді як саме магнітне поле роботу не може виконувати (сила Лоренца завжди перпендикулярна швидкості руху зарядів). Для розв’язання цієї суперечності врахуємо, що заряди в перемичці рухаються не тільки вздовж провідника (\(\vect {u}_{\parallel }\)), а й разом із перемичкою (\(\vect {u}_{\perp }\)): \(\vect {u} = \vect {u}_{\perp } + \vect {u}_{\parallel }\). Складова \(\vect {u}_{\parallel }\) породжує силу Лоренца, напрямлену вздовж руху перемички, — це і є сила Ампера \(\vect {F}_\text {А}\), що виконує додатну роботу над перемичкою. Складова \(\vect {u}_{\perp }\) породжує силу \(\vect {F}_\text {Л} = q \vect {u}_{\perp } \times \Bfield / c\), що діє проти напрямку струму \(I\) і виконує рівну за модулем від’ємну роботу, так що сумарна робота сили Лоренца дорівнює нулю. Тому для підтримання незмінного струму в коло мають бути включені сторонні ЕРС: саме завдяки зовнішнім джерелам енергії виконується робота з переміщення перемички.

12.4 Електромагнітна індукція в рухомих провідниках

ЕРС індукції

У попередньому параграфі ми розглянули роботу сили Ампера й з’ясували, що рух перемички зі струмом підтримується сторонніми джерелами. Знайдемо тепер саму ЕРС індукції безпосередньо, обчисливши силу, що діє на носії заряду: це та сама сила Лоренца \(\vect F_\text {Л}=q\vect u_\perp \times \Bfield /c\), на яку ми вже звертали увагу вище.

Розглянемо провідну рамку, замкнену рухомою перемичкою (див. рис. 12.3). Нехай рамка поміщена в магнітне поле з індукцією \(\Bfield \), напрямленою перпендикулярно до площини. Якщо перемичка рухається зі швидкістю \(\vect {v}\) (у попередніх позначеннях \(\vect v=\vect u_{\perp }\)), то на заряди в перемичці діє сила Лоренца:

\begin{equation*} \vect {F}_\text {Л} = \frac {q}{c} \vect {v} \times \Bfield . \end{equation*}

Як видно з рис. 12.3, ця сила приводить заряди в рух, викликаючи індукційний струм у від’ємному напрямку обходу контуру. Вона еквівалентна силі, що створюється стороннім електричним полем

\begin{equation*} \Efield ^* = \frac {\vect {F}^*}{q} = \frac {1}{c} \vect {v} \times \Bfield \end{equation*}

і викликає в перемичці довжиною \(\ell \) ЕРС індукції, рівну

\begin{equation*} \emf _{\text {інд}} = \oint \Efield ^* \cdot d\symbfscr {l} = - E_{\text {стор}} \ell = - \frac {1}{c} B \ell v. \end{equation*}

Знак «\(-\)» тут пов’язаний з тим, що \(\mathcal {E}_{\text {інд}}\) створює струм у від’ємному напрямку (додатний напрямок задається вектором \(\Bfield \)).

Оскільки \(\ell v = dS/dt\), де \(S\) — площа контуру, то

\begin{equation} \label {eq:faraday_law_for_moving} \emf _{\text {інд}} = - \frac {1}{c} \frac {d\Phi }{dt}, \end{equation}

де \(\Phi = BS\) — магнітний потік через контур.

Якщо є складова магнітного поля \(\Bfield _{\parallel }\), паралельна площині контуру, то вона не призводить до появи індукційного струму вздовж контуру, оскільки відповідна складова сили Лоренца \(\vect {F}^{(1)} = \frac {1}{c} \vect {v} \times \Bfield _{\parallel }\) перпендикулярна до площини контуру, тобто напрямлена перпендикулярно до провідника. Це означає, що у виразі для потоку \(\Phi \) потрібно врахувати тільки складову \(\Bfield _{\perp }\), тобто покласти \(\Phi = B_{\perp } S = \Bfield \cdot \vect {S}\).

Для контуру довільної форми, що рухається й деформується в стаціонарному, але неоднорідному полі, ЕРС руху знаходимо, підсумовуючи по контуру сторонню силу \([\vect v\times \Bfield ]/c\), де \(\vect v\) — швидкість елемента \(d\symbfscr {l}\):

\begin{equation*} \emf _\text {інд} = \frac 1c\oint [\vect v\times \Bfield ]\cdot d\symbfscr {l}. \end{equation*}

За час \(dt\) елемент \(d\symbfscr {l}\) замітає площу \(d\vect S = [\vect v\,dt\times d\symbfscr {l}]\), тому зміна потоку дорівнює \(d\Phi = \oint \Bfield \cdot [\vect v\times d\symbfscr {l}]\,dt = -dt\oint [\vect v\times \Bfield ]\cdot d\symbfscr {l}\), і знову \(\emf _\text {інд} = -\dfrac 1c\dfrac {d\Phi }{dt}\), де магнітний потік визначається інтегралом (12.4) по площі, що обмежується контуром.

Принцип роботи генераторів змінного струму

Явище електромагнітної індукції в рухомих провідниках лежить в основі роботи генераторів електричного струму — пристроїв, без яких неможливо уявити сучасну електроенергетику: у них механічна енергія обертання перетворюється на електричну.

Найпростіший генератор складається з рамки, кінці якої закріплені на кільцях, що обертаються разом з нею; до кілець щільно прилягають нерухомі щітки-контакти (рис. 12.4). Якщо рамку площею \(S\) обертати в однорідному полі \(\Bfield \) з кутовою швидкістю \(\omega \), то потік крізь неї

\begin{equation*} \Phi (t) = BS\cos (\omega t), \qquad \frac {d\Phi }{dt} = -BS\omega \sin (\omega t), \end{equation*}

тому в рамці виникає ЕРС індукції

\begin{equation} \label {eq:GeneratorEMF} \emf _\text {інд} = \frac {BS\omega }{c}\sin (\omega t), \end{equation}

а якщо на щітки підключити навантаження опором \(R\), у колі потече змінний індукційний струм

\begin{equation} \label {eq:GeneratorCurrent} I(t) = \frac {\emf _\text {інд}}{R} = \frac {BS\omega }{cR}\sin (\omega t), \end{equation}

що змінюється за законом синуса з кутовою частотою \(\omega \), яка дорівнює кутовій швидкості обертання рамки. Якщо рамка має \(N\) витків, ЕРС збільшується в \(N\) разів. Саме такий принцип лежить в основі роботи практично всіх електростанцій, що генерують змінний струм.

12.5 Електромагнітна індукція в нерухомих провідниках

Виникнення ЕРС внаслідок зміни магнітного поля

Розглянемо тепер принципово інший випадок: контур нерухомий і незмінний за формою, а змінюється саме магнітне поле, що його пронизує (рис. 12.5):

\begin{equation} \label {eq:FaradayFieldChange} \emf _\text {інд} = -\frac 1c\frac {d\Phi }{dt} = -\frac 1c\iint \limits _S\parttime {\Bfield }\cdot d\vect S. \end{equation}

Тут виникає принципове запитання: яка причина виникнення ЕРС? Носії заряду в нерухомому провіднику мають нульову швидкість, а магнітне поле не діє на нерухомі заряди взагалі! То внаслідок чого ж вони прискорюються? Відповідь на це запитання — вихрове електричне поле — ми дамо трохи згодом; спершу розглянемо кілька важливих якісних наслідків закону індукції.

Правило Ленца

Правило Ленца визначає напрям індукційного струму: індукційний струм завжди має такий напрям, щоб своїм власним магнітним полем протидіяти зміні магнітного потоку, яка його породжує, тобто щоб послабити причину, яка збуджує цей струм (рис. 12.6).

Вимірювання індукційного заряду. Балістичний гальванометр

Закон електромагнітної індукції дає змогу не лише якісно описати виникнення струму, а й кількісно вимірювати зміну магнітного потоку. Розглянемо котушку опором \(R\), у якій виникає індукційний струм \(I(t) = \emf _\text {інд}/R\). Повний заряд \(Q\), що протікає через поперечний переріз провідника за весь час існування індукційного струму, дорівнює:

\begin{equation} \label {eq:InducedCharge} Q = \int I(t) \, dt = \frac {1}{R} \int \emf _\text {інд} \, dt = -\frac {1}{cR} \int \frac {d\Phi }{dt} \, dt = -\frac {\Delta \Phi }{cR}. \end{equation}

Отже, повний індукований заряд прямо пропорційний зміні магнітного потоку \(\Delta \Phi \) і не залежить від того, як швидко ця зміна відбувалася. Для вимірювання таких короткочасних імпульсів струму (тривалістю мілісекунди) використовують спеціальний прилад — балістичний гальванометр (рис. 12.7).

Як видно з рисунка, чутливий елемент приладу — це легка рамка (котушка), підвішена на пружній нитці в зазорі сильного постійного магніту. На підвісі закріплено маленьке дзеркало, на яке спрямовано промінь лазера. Відбиваючись, промінь падає на віддалену вимірювальну шкалу. Така система називається оптичним важелем: вона дозволяє зафіксувати навіть мізерний кут повороту рамки, оскільки зміщення світлового зайчика на шкалі \(x\) пов’язане з кутом повороту \(\theta \) співвідношенням \(x = 2L\theta \), де \(L\) — відстань від дзеркала до шкали.

На відміну від звичайного гальванометра, який показує миттєву силу струму, балістичний гальванометр призначений для вимірювання інтеграла струму за часом, тобто повного заряду. Його конструкція має великий момент інерції \(J\) та мале затухання, завдяки чому період власних коливань \(T_0\) становить 10–20 с. Час протікання імпульсу струму \(t_\text {імп}\) у дослідах з індукції є набагато меншим за \(T_0\).

Під час короткого імпульсу на рамку гальванометра діє обертальний момент \(M = BSNI\), внаслідок чого вона набуває початкової кутової швидкості \(\omega _0 = \frac {BSN}{J} \int I \, dt = \frac {BSN}{J} Q\). Після закінчення імпульсу рамка продовжує рухатися за інерцією, і максимальний кут відхилення \(\theta _\text {max}\) (перший «відкид» світлового зайчика на шкалі) визначається із закону збереження енергії:

\begin{equation*} \theta _\text {max} = \frac {BSN}{\sqrt {Jk}} Q = C Q, \end{equation*}

де \(C\) — балістична стала гальванометра. Таким чином, максимальне відхилення світлового зайчика прямо пропорційне повному заряду \(Q\).

Струми Фуко

Струмами Фуко (вихровими струмами) називають індукційні струми, що виникають не в тонких лінійних провідниках, а в товщі суцільних масивних провідників при зміні магнітного потоку крізь них (рис. 12.8). Вони підпорядковані тому самому правилу Ленца: їхнє магнітне поле напрямлене так, щоб протидіяти зміні потоку, яка їх породжує.

Вихрове електричне поле

Повернімося до питання, яке ми залишили відкритим: що саме прискорює нерухомі заряди при зміні \(\Bfield \)? Оскільки \(\Phi = \iint _S \Bfield \cdot d\vect S\), а ЕРС, за означенням (7.16) (гл. 7), дорівнює \(\emf = \oint _L \Efield \cdot d\symbfscr {l}\), із закону індукції безпосередньо випливає:

\begin{equation} \label {eq:CurlEInt} \tcbhighmath { \oint \limits _L \Efield \cdot d\symbfscr {l} = -\frac 1c\iint \limits _S \frac {\partial \Bfield }{\partial t}\cdot d\vect S. } \end{equation}

Це — теорема про циркуляцію електричного поля: циркуляція напруженості електричного поля по довільному контуру дорівнює, взятому з протилежним знаком і поділеному на \(c\), потоку вектора \(\partial \Bfield /\partial t\) крізь довільну поверхню, натягнуту на цей контур. За теоремою Стокса, цю теорему можна записати й у диференціальній формі:

\begin{equation} \label {eq:CurlEDiff} \tcbhighmath { \rot \Efield = -\frac 1c\frac {\partial \Bfield }{\partial t}. } \end{equation}

Зауважимо, що теорему (12.10) записано для нерухомого контуру. Якщо контур рухається, до \(\Efield \) у формулі для ЕРС слід додати силу Лоренца, що припадає на одиницю заряду: \(\emf _\text {інд} = \oint \bigl (\Efield + [\vect v\times \Bfield ]/c\bigr )\cdot d\symbfscr {l} = -\dfrac 1c\dfrac {d\Phi }{dt}\). Це — загальний закон індукції (12.1), який охоплює обидва механізми: сила Лоренца відповідає за ЕРС руху (попередній параграф), а вихрове електричне поле — за ЕРС у нерухомому контурі.

За Максвеллом, явище електромагнітної індукції полягає саме в тому, що будь-яке змінне магнітне поле збуджує в просторі електричне поле; провідники для цього взагалі не потрібні — вони лише дають змогу побачити це поле через індукційний струм, який воно викликає в них (рис. 12.9).

12.6 Явище самоіндукції

Індуктивність контуру

Зміна струму в довільному контурі змінює й створюване ним магнітне поле, а отже — і власний магнітний потік крізь цей самий контур; за законом індукції це, своєю чергою, породжує в контурі ЕРС. Це явище називають самоіндукцією (рис. 12.10).

Якщо поблизу контуру немає феромагнетиків, поле \(\Bfield \), а отже, й повний магнітний потік \(\Phi \) крізь контур пропорційні силі струму \(I\) в ньому:

\begin{equation} \label {eq:SelfInductionFlux} \tcbhighmath { \Phi = \frac 1c LI, } \end{equation}

де коефіцієнт пропорційності \(L\) називають індуктивністю контуру — суто геометричною характеристикою (залежною від форми, розмірів контуру й від магнітних властивостей середовища навколо нього), яка не залежить від сили струму. При зміні струму в контурі, за законом Фарадея, виникає ЕРС самоіндукції:

\begin{equation} \label {eq:SelfInductionEMF} \tcbhighmath { \emf _\text {сі} = -\frac {L}{c^2}\frac {dI}{dt}. } \end{equation}

Перехідні процеси в колі з індуктивністю

Встановлення струму в \(LR\)-колі. Розглянемо коло з послідовно з’єднаних джерела ЕРС \(\emf \), котушки індуктивності \(L\), резистора \(R\) і ключа \(S\) (рис. 12.11). Після замикання ключа закон Ома для кола, \(\emf + \emf _\text {сі} = IR\), з урахуванням формули (12.13), набуває вигляду

\begin{equation} \label {eq:LRTurnOnEq} \frac {L}{c^2}\frac {dI}{dt} + IR = \emf . \end{equation}

Це рівняння — повний аналог рівняння зарядки конденсатора (гл. 7), і його розв’язок (з початковою умовою \(I(0)=0\)) — струм, що асимптотично наближається до стаціонарного значення \(\emf /R\):

\begin{equation} \label {eq:LRTurnOnSolution} I(t) = \frac {\emf }{R}\left (1-e^{-t/\tau }\right ), \qquad \tau = \frac {L}{c^2R} \end{equation}

— сталу часу \(\tau \) називають часом релаксації \(LR\)-кола.

Екстраструми при розмиканні. Нехай тепер котушка з індуктивністю \(L\) і власним (внутрішнім) опором обмотки \(r\) спочатку під’єднана до джерела ЕРС \(\emf \) через ключ \(S\) і резистор \(R\), під’єднаний паралельно котушці (рис. 12.12); у сталому режимі через котушку тече струм \(I_0 = \emf /r\).

Після розмикання ключа \(S\) (відключення джерела) магнітне поле котушки, а отже, і потік крізь неї, починають спадати. Це, за законом Ленца, збуджує ЕРС самоіндукції \(\emf _\text {сі}\) і підтримуваний нею екстраструм розмикання — індукційний струм, що тепер тече вже через резистор \(R\) (замкнене коло \(L\)–\(r\)–\(R\) без джерела). Закон Ома для цього контуру: \(I(R+r) = -\dfrac {L}{c^2}\dfrac {dI}{dt}\), звідки

\begin{equation} \label {eq:LRTurnOffSolution} I(t) = I_0\, e^{-t/\tau '}, \qquad \tau ' = \frac {L}{c^2(R+r)}. \end{equation}

12.7 Індукція в надпровідниках. Ефект Мейснера

В розділі 8 ми вже розглядали явище надпровідності. Для електромагнітної індукції існування надпровідного стану цікаві: стала часу кола \(\tau =L/(c^2R)\) при \(R\to 0\) стає нескінченною, а індукційні струми — незгасаючими.

Замороження потоку

Розглянемо замкнене кільце з індуктивністю \(L\) й опором \(R\) у зовнішньому полі (рис. 12.13).

Сумарний потік крізь кільце складається із зовнішнього \(\Phi _\text {зовн}\) і власного \(LI/c\), а повна ЕРС індукції дорівнює \(IR\):

\begin{equation} \label {eq:SCFluxLaw} -\frac 1c\frac {d}{dt}\left (\Phi _\text {зовн}+\frac {LI}{c}\right )=IR. \end{equation}

Якщо \(R=0\) (надпровідне кільце), то

\begin{equation} \label {eq:SCFluxFrozen} \Phi _\text {зовн}+\frac {LI}{c}=\const \end{equation}

— повний магнітний потік крізь кільце зберігається (замороження потоку). Будь-яку зміну зовнішнього потоку кільце компенсує струмом \(\Delta I=-c\,\Delta \Phi _\text {зовн}/L\) (це правило Ленца в найчистішому вигляді), а якщо зовнішнє поле зникає, у кільці лишається незгасаючий струм \(I=c\Phi /L\), що підтримує колишній потік.

У дослідах зі свинцевими кільцями спаду такого струму не вдавалося виявити протягом року, звідки випливає оцінка часу спаду понад \(10^{5}\) років; для порівняння, стала часу звичайного \(LR\)-кола — частки секунди.

Ідеальний провідник чи надпровідник?

У масивному зразку з нескінченною провідністю закон Ома \(\vect j=\lambda \Efield \) дає \(\Efield =0\) (інакше струм був би нескінченним), а тоді з \(\rot \Efield =-\frac 1c\,\partial \Bfield /\partial t\) (12.11) маємо \(\partial \Bfield /\partial t=0\): індукція всередині ідеального провідника не може змінюватися, і зразок зберігає те поле, що було в ньому в момент переходу.

Проте в 1933 р. В. Мейснер і Р. Оксенфельд виявили, що для справжніх надпровідників це не так: якщо зразок, що перебуває в слабкому полі, охолодити нижче \(T_c\), поле з нього виштовхується, і в товщі зразка \(\Bfield =0\) незалежно від того, чи поле було прикладене до переходу, чи після нього (ефект Мейснера). Це не можна пояснити самою лише індукцією при \(R\to 0\), яка, навпаки, заморожувала б поле. Отже, надпровідність — не просто \(R=0\), а особливий стан речовини з \(\Bfield =0\) всередині.

Надпровідник як ідеальний діамагнетик

У надпровіднику \(\Bfield =\Hfield +4\pi \vect M=0\), тому намагніченість \(\vect M=-\Hfield /4\pi \), тобто \(\chi =-1/4\pi \) і \(\mu =0\) (гл. 10). Це найсильніший можливий діамагнетизм: у звичайних діамагнетиків \(|\chi |\sim 10^{-6}\)–\(10^{-5}\). Поле виштовхують поверхневі екрануючі струми, які течуть у тонкому шарі, а не строго по поверхні.

Товщину цього шару можна оцінити з рівнянь Ф. і Г. Лондонів (1935 р.). Для носіїв заряду \(q\) і маси \(m\) з концентрацією \(n_s\) без зіткнень \(m\,d\vect v/dt=q\Efield \), тобто \(\partial \vect j/\partial t=(n_sq^2/m)\Efield \). Узявши ротор і скориставшись (12.11), знаходимо

\begin{equation*} \frac {\partial }{\partial t}\left [\rot \vect j+\frac {n_sq^2}{mc}\Bfield \right ]=0. \end{equation*}

Для ідеального провідника вираз у дужках — стала величина (зберігається початкове поле). Лондони постулювали, що в надпровіднику він дорівнює нулю:

\begin{equation} \label {eq:LondonSecond} \rot \vect j=-\frac {n_sq^2}{mc}\Bfield . \end{equation}

Разом з \(\rot \Bfield =4\pi \vect j/c\) (гл. 9) і \(\divg \Bfield =0\) це дає \(\nabla ^2\Bfield =\Bfield /\delta _L^2\), де

\begin{equation} \label {eq:LondonDepth} \tcbhighmath { \delta _L=\sqrt {\frac {mc^2}{4\pi n_sq^2}}. } \end{equation}

Поблизу плоскої поверхні розв’язок має вигляд \(B=B_0e^{-x/\delta _L}\): поле проникає лише на лондонівську глибину \(\delta _L\). При \(n_s\sim 10^{22}\) см\(^{-3}\), \(q=e\), \(m=m_e\) маємо \(\delta _L\sim 5\cdot 10^{-6}\) см, тобто десятки нанометрів, що добре узгоджується з дослідами. (Для куперівських пар \(q=2e\), \(m\to 2m_e\), \(n_s\to n/2\), а комбінація \(n_sq^2/m\) та сама.)

Розглянемо тепер надпровідну кулю радіуса \(a\), вміщену в зовнішнє однорідне магнітне поле \(\Bfield _0\) (рис. 12.14). Припустимо, що \(a\gg \delta _L\), тобто лондонівський шар проникнення дуже тонкий порівняно з розмірами кулі. Тоді в усьому об’ємі надпровідника, за винятком тонкого приповерхневого шару, можна вважати \(\Bfield =0\).

Між поведінкою провідника в електростатичному полі та надпровідника в магнітному полі існує глибока аналогія. В обох випадках матеріал екранує зовнішнє поле: провідник перерозподіляє вільні заряди так, щоб усередині нього зникло електричне поле,

\begin{equation} \Efield _{\mathrm {in}}=0, \end{equation}

а надпровідник створює екрануючі струми, які виштовхують магнітне поле з його об’єму,

\begin{equation} \Bfield _{\mathrm {in}}\simeq 0, \qquad a\gg \delta _L. \end{equation}

В обох випадках екранування забезпечується перерозподілом заряджених носіїв: у звичайному провіднику виникає поверхнева густина заряду, а в надпровіднику — поверхневий струм у тонкому шарі проникнення. Ці індуковані джерела створюють поле, яке компенсує зовнішнє поле всередині матеріалу. Проте механізми екранування фізично різні: електростатичне екранування є наслідком перерозподілу вільних зарядів до стану рівноваги, тоді як магнітне екранування надпровідника є проявом ефекту Мейснера. Тому надпровідник не слід просто ототожнювати з ідеальним провідником.

Спільним є й математичний апарат. Обидві задачі — про точковий заряд біля провідної поверхні та про магнітний диполь біля надпровідної поверхні — розв’язують методом зображень. Підставою для цього є те, що в обох задачах поле поза матеріалом задовольняє рівняння Лапласа, а на поверхні матеріалу задана гранична умова, яку можна відтворити, замінивши матеріал фіктивним джерелом за поверхнею. Для провідника така умова — \(\Efield _\tau =0\), і її забезпечує фіктивний заряд протилежного знака; для надпровідника — \(B_n=0\), і її забезпечує фіктивний диполь протилежного напрямку.

Левітація

Виштовхування поля означає, що на надпровідник діє сила. Скористаймося методом зображень: магніт над плоскою надпровідною пластиною поводиться так, ніби на такій самій глибині під поверхнею лежить його «дзеркальне відображення» — диполь, спрямований протилежно. Два співвісні антипаралельні диполі на відстані \(2h\) відштовхуються з енергією \(2p_m^2/(2h)^3\); оскільки відображення уявне, енергія взаємодії вдвічі менша:

\begin{equation} \label {eq:LevitationForce} U=\frac {p_m^2}{8h^3},\qquad F=-\frac {dU}{dh}=\frac {3p_m^2}{8h^4}, \end{equation}

де \(h\) — висота диполя над поверхнею. Прирівнявши \(F=mg\), знаходимо висоту левітації \(h=(3p_m^2/8mg)^{1/4}\) (задача 12.14).

Квантування потоку

У надпровідному кільці потік не лише зберігається, а й квантується:

\begin{equation} \Phi =n\Phi _0, \qquad \Phi _0=\frac {\pi \hbar c}{|e|} \approx 2{,}07\cdot 10^{-7}~\mathrm {Гс}\cdot \mathrm {см}^2. \end{equation}

Квант потоку відповідає заряду носіїв \(2e\) (куперівські пари). Його експериментально виміряли в 1961 р. (Р. Дівер і У. Фейрбенк; Б. Долл і М. Небауер), а на квантуванні потоку ґрунтуються надчутливі магнітометри SQUID.

Критичні параметри

Надпровідний стан має межі: він існує лише за певних температур, магнітних полів і струмів. Для надпровідників першого роду при \(T\to 0\) критичне поле \(H_c\) становить сотні гаусів: для свинцю \(H_c\approx 800~\mathrm {Гс}\), для алюмінію \(H_c\approx 100~\mathrm {Гс}\).

Надпровідність може бути зруйнована і струмом, якщо його власне магнітне поле біля поверхні досягає критичного значення. Для дроту радіуса \(r\) правило Сілсбі дає

\begin{equation} I_c=\frac {crH_c}{2}. \end{equation}

Надпровідники другого роду поводяться інакше: між нижнім і верхнім критичними полями \(H_{c1}\) та \(H_{c2}\) магнітне поле проникає в надпровідник у вигляді квантованих вихорів. Закріплення вихорів на дефектах кристалічної структури перешкоджає їхньому руху і тому відіграє важливу роль у стійкості левітації.

Сплави та здатні витримувати поля понад \(20~\mathrm {Тл}\), тому з них виготовляють обмотки сильних магнітів для магнітно-резонансних томографів і прискорювачів. Високотемпературні керамічні надпровідники, зокрема YBCO з \(T_c\approx 93~\mathrm {К}\), дозволяють реалізовувати надпровідний стан при охолодженні рідким азотом.

Підсумки

Явище електромагнітної індукції — виникнення ЕРС у контурі при зміні охоплюваного ним магнітного потоку — остаточно поєднує електрику та магнетизм у єдину теорію. Кількісно воно описується законом \(\emf _\text {інд}=-\dfrac 1c\dfrac {d\Phi }{dt}\), а знак «мінус» (правило Ленца) є наслідком закону збереження енергії: індукційний струм завжди протидіє зміні потоку, що його породжує.

Потік може змінюватися внаслідок руху контуру (зміна площі чи орієнтації) або внаслідок зміни поля. У першому випадку ЕРС створює сила Лоренца, що діє на носії заряду в провіднику, що рухається (ЕРС руху); на цьому ґрунтується робота генераторів. У другому випадку носії заряду нерухомі, і їх прискорює вихрове електричне поле \(\rot \Efield =-\dfrac 1c\dfrac {\partial \Bfield }{\partial t}\): воно не є потенціальним, але діє на заряд так само як і електростатичне (бетатрон, індукційне нагрівання, струми Фуко). Поділ на ці два механізми залежить від системи відліку, а загальний закон індукції охоплює обидва: \(\emf _\text {інд}=\oint (\Efield +[\vect v\times \Bfield ]/c)\cdot d\symbfscr {l}=-\dfrac 1c\dfrac {d\Phi }{dt}\). Сила Лоренца (гл. 9) демонструє фундаментальний зв’язок магнітного поля з рухом зарядів, а вихрове поле — з тим, що змінне магнітне поле саме породжує електричне.

Змінний струм у контурі створює змінний власний потік, і тому в ньому виникає ЕРС самоіндукції \(\emf _\text {сі}=-\dfrac {L}{c^2}\dfrac {dI}{dt}\). Індуктивність \(L\) залежить від форми контуру й середовища, а не від сили струму; вона відіграє роль «інерції» кола. Унаслідок цього струм у \(LR\)-колі встановлюється за експонентою з часом релаксації \(\tau =L/(c^2R)\), а при розмиканні кола з великою індуктивністю виникають екстраструми та ЕРС, що можуть багаторазово перевищувати ЕРС джерела.

У надпровідників (\(R=0\)) сумарний потік крізь замкнене кільце зберігається, \(\Phi _\text {зовн}+LI/c=\const \), а індукційні струми не згасають. Ефект Мейснера показує, що надпровідник — не просто ідеальний провідник: у товщі зразка \(\Bfield =0\) за будь-якої передісторії, тобто це ідеальний діамагнетик (\(\chi =-1/4\pi \), \(\mu =0\)); поле проникає лише на лондонівську глибину \(\delta _L\). Виштовхування поля породжує силу, що робить можливою левітацію магніту над надпровідником.

Задачі