Електрика та магнетизм

Розділ 16 Електромагнітні хвилі

16.1 Хвильове рівняння

Хвильовий процес

Попри величезну різноманітність фізичних процесів, що спричиняють хвилі (коливання струни чи ланцюжка зв’язаних тягарців, хвилі на поверхні води, звукові хвилі, електромагнітні хвилі), їхнє утворення підпорядковане спільному принципу: збурення, що виникло в деякий момент часу в одному місці, з часом поширюється в просторі з певною швидкістю. Хвиля — це процес поширення збурень у просторі.

Хвилю описують деякою величиною \(u = f(x,y,z,t)\), що є функцією як просторових координат, так і часу. Наприклад, для хвилі на поверхні води \(u\) — це висота підняття поверхні над рівноважним рівнем; для механічної хвилі в ланцюжку зв’язаних пружинками тягарців (рис. 16.1) \(u\) — зміщення тягарця від положення рівноваги; для електромагнітної хвилі \(u\) — змінна складова електричного чи магнітного поля, що накладається на їхнє (можливо, нульове) статичне значення.

Хвильове рівняння

Розглянемо збурення, що поширюється вздовж осі \(x\) без зміни форми зі швидкістю \(v\) (рис. 16.2). Якщо в момент \(t=0\) профіль збурення описувався функцією \(u=f(x)\), то через час \(t\) те саме за формою збурення просто зміститься на відстань \(vt\), тобто опишеться функцією \(u = f(x-vt)\) (для хвилі, що біжить у додатному напрямку осі \(x\)) або \(u=g(x+vt)\) (для хвилі, що біжить у від’ємному напрямку). Загалом (суперпозиція обох):

\begin{equation} \label {eq:DAlembertSolution} u = f(x-vt) + g(x+vt). \end{equation}

Конкретний вигляд функцій \(f\) і \(g\) визначається початковими умовами (початковою формою збурення й початковим розподілом швидкостей) і може бути яким завгодно. Знайдемо диференціальне рівняння, якому підпорядковується будь-яка функція вигляду (16.1), незалежно від її конкретного вигляду. Позначимо \(\xi = x-vt\); тоді, за правилом диференціювання складеної функції,

\begin{equation*} \frac {\partial u}{\partial x} = f'(\xi ), \qquad \frac {\partial ^2 u}{\partial x^2} = f''(\xi ); \qquad \frac {\partial u}{\partial t} = -vf'(\xi ), \qquad \frac {\partial ^2u}{\partial t^2} = v^2f''(\xi ) \end{equation*}

(і аналогічно для доданка \(g(x+vt)\), з тим самим кінцевим результатом через парність других похідних за знаком швидкості). Порівнюючи другі похідні, знаходимо хвильове рівняння:

\begin{equation} \label {eq:WaveEquation1D} \tcbhighmath { \frac {\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac 1{v^2}\frac {\partial ^2u}{\partial t^2}. } \end{equation}

У тривимірному випадку, коли збурення поширюється в довільних напрямках, хвильове рівняння узагальнюють, замінюючи другу похідну за \(x\) на лапласіан \(\nabla ^2 = \dfrac {\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac {\partial ^2}{\partial y^2}+\dfrac {\partial ^2}{\partial z^2}\):

\begin{equation} \label {eq:WaveEquation3D} \tcbhighmath { \nabla ^2 u = \frac 1{v^2}\frac {\partial ^2u}{\partial t^2}. } \end{equation}

Плоска монохроматична хвиля

Плоскою хвилею називають хвилю, що має однакове значення \(u\) в усіх точках площини, перпендикулярної до напряму її поширення (хвильової площини, рис. 16.3). Хвилю називають монохроматичною, якщо \(u\) змінюється з часом за гармонічним законом з певною частотою. Для плоскої монохроматичної хвилі:

\begin{equation} \label {eq:PlaneWaveDef} \tcbhighmath { u = u_m\cos (\omega t - \vect k\cdot \vect r). } \end{equation}

Для зручності плоску монохроматичну хвилю часто подають у комплексній формі:

\begin{equation} \label {eq:PlaneWaveComplex} u = u_m\, e^{i(\omega t - \vect k\cdot \vect r)}, \end{equation}

розуміючи, що фізичний зміст має лише дійсна частина цього виразу (сама ж комплексна форма — лише зручний обчислювальний прийом: формула Ейлера \(e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \) дає змогу компактно поєднати синус і косинус, а диференціювання й інтегрування зводяться до простого множення на \(i\omega \) чи \(-i\vect k\)).

Характеристики монохроматичної хвилі

Довжиною хвилі \(\lambda \) називають найменшу відстань між двома точками простору, що коливаються цілком синхронно (в одній фазі), виміряну вздовж напряму поширення:

\begin{equation} \label {eq:Wavelength} \lambda = \frac {2\pi }{k}, \end{equation}

де \(\vect k\) — хвильовий вектор, напрямлений уздовж поширення хвилі перпендикулярно до хвильової площини, а \(k=|\vect k|\) — хвильове число. Величину \(\omega \) у формулі (16.4) називають коловою частотою хвилі, а \(T=2\pi /\omega \) — періодом. Нарешті, фазовою швидкістю хвилі називають швидкість, з якою в просторі переміщується точка з фіксованою фазою \(\omega t - \vect k\cdot \vect r = \const \):

\begin{equation} \label {eq:PhaseVelocity} \tcbhighmath { v = \frac \omega k, \qquad \vect v = \frac \omega k\,\frac {\vect k}k. } \end{equation}

16.2 Електромагнітні хвилі

Виведення хвильових рівнянь з рівнянь Максвелла

Розглянемо електромагнітне поле в однорідній ділянці простору, де немає вільних зарядів і струмів провідності (\(\rho =0\), \(\vect j=0\)). Рівняння Максвелла (гл. 14) у цьому випадку спрощуються:

\begin{equation} \label {eq:MaxwellNoSources} \divg \Bfield =0, \qquad \rot \Efield = -\frac 1c\parttime {\Bfield }, \qquad \divg \Dfield =0, \qquad \rot \Hfield = \frac 1c\parttime {\Dfield }, \end{equation}

доповнені матеріальними рівняннями \(\Dfield =\epsilon \Efield \), \(\Bfield =\mu \Hfield \) (нехай середовище однорідне й ізотропне, без дисперсії: \(\epsilon ,\mu =\const \)).

Застосуємо операцію \(\rot \) до другого рівняння:

\begin{equation*} \rot \rot \Efield = -\frac 1c\parttime {}\left (\rot \Bfield \right ) = -\frac \mu {c}\parttime {}\left (\rot \Hfield \right ) = -\frac {\epsilon \mu }{c^2}\pparttime {\Efield } \end{equation*}

(в останній рівності скористались четвертим рівнянням). З іншого боку, за тотожністю векторного аналізу й \(\divg \Efield =0\) (яке випливає з \(\divg \Dfield =0\)): \(\rot \rot \Efield = \grad (\divg \Efield )-\nabla ^2\Efield = -\nabla ^2\Efield \). Прирівнюючи, отримуємо хвильове рівняння для електричного поля:

\begin{equation} \label {eq:WaveEqE} \tcbhighmath { \nabla ^2\Efield = \frac 1{v^2}\pparttime {\Efield }. } \end{equation}

Цілком аналогічно, застосувавши \(\rot \) до четвертого рівняння й підставивши друге, отримуємо те саме рівняння для магнітного поля:

\begin{equation} \label {eq:WaveEqH} \tcbhighmath { \nabla ^2\Hfield = \frac 1{v^2}\pparttime {\Hfield }, \qquad v = \frac {c}{\sqrt {\epsilon \mu }}. } \end{equation}

Швидкість поширення і показник заломлення

Отже, поля \(\Efield \) і \(\Hfield \) підпорядковуються хвильовому рівнянню, тобто описують процес поширення збурень електромагнітного поля — електромагнітну хвилю, — зі швидкістю

\begin{equation} \label {eq:WaveSpeed} v = \frac {c}{\sqrt {\epsilon \mu }}. \end{equation}

У вакуумі (\(\epsilon =\mu =1\)) швидкість поширення дорівнює електродинамічній сталій \(c\approx 3\cdot 10^{10}\) см/с — швидкості світла. У середовищі з \(\epsilon ,\mu \geqslant 1\) швидкість поширення менша, \(v=c/n<c\), де

\begin{equation} \label {eq:RefractiveIndex} \tcbhighmath { n = \sqrt {\epsilon \mu }, } \end{equation}

— абсолютний показник заломлення середовища.

Плоскі електромагнітні хвилі

Розглянемо гармонічні електромагнітні хвилі в комплексній формі:

\begin{equation} \label {eq:PlaneEMWave} \vect E = \vect E_m\, e^{i(\omega t-\vect k\cdot \vect r)}, \qquad \vect H = \vect H_m\, e^{i(\omega t-\vect k\cdot \vect r)}. \end{equation}

Підставляючи ці вирази в рівняння Максвелла, диференціальні операції заміняються алгебраїчними за правилом

\begin{equation} \label {eq:OperatorSubstitution} \grad \to -i\vect k, \qquad \parttime {} \to i\omega \end{equation}

(легко переконатися прямим диференціюванням (16.13)). Рівняння Максвелла (16.8) набувають вигляду

\begin{equation} \label {eq:MaxwellPlaneWave} \vect k\cdot \Efield =0, \qquad \vect k\cdot \Bfield =0, \qquad \vect k\times \Efield = \frac \omega {c}\Bfield , \qquad -\vect k\times \Hfield = \frac \omega c\epsilon \Efield . \end{equation}

Поперечність електромагнітних хвиль

Перші два рівняння в співвідношеннях (16.15) показують, що

\begin{equation} \label {eq:Transversality} \tcbhighmath { \Efield \perp \vect k, \qquad \Hfield \perp \vect k: } \end{equation}

вектори \(\Efield \) і \(\Hfield \) перпендикулярні до напряму поширення хвилі. Цю властивість називають поперечністю електромагнітних хвиль. Два інші рівняння дають співвідношення для амплітуд (і показують, що \(\Efield \perp \Hfield \), тобто \(\Efield \), \(\Hfield \), \(\vect k\) утворюють правовинтову трійку взаємно перпендикулярних векторів):

\begin{equation} \label {eq:AmplitudeRelation} \tcbhighmath { nE_m = B_m, \qquad \sqrt \epsilon \, E_m = \sqrt \mu \, H_m. } \end{equation}

16.3 Енергія та вектор Пойнтінга для хвилі

Густина енергії електромагнітного поля (гл. 14) для амплітудних значень:

\begin{equation} \label {eq:EnergyDensityAmplitude} w_m = \frac {\epsilon E_m^2}{8\pi }+\frac {\mu H_m^2}{8\pi }. \end{equation}

Скориставшись співвідношенням амплітуд (16.17), \(\sqrt {\epsilon /\mu }\,E_m = H_m\), електрична й магнітна частини густини енергії виявляються рівними одна одній, і

\begin{equation*} w_m = \frac {\epsilon E_m^2}{4\pi } = \frac {\mu H_m^2}{4\pi }. \end{equation*}

Схематично плоску монохроматичну електромагнітну хвилю, у якій вектори \(\Efield \) і \(\Hfield \) взаємно перпендикулярні та поширюються вздовж \(\vect k\), зображено на рис. 16.4.

Знайдемо вектор Пойнтінга \(\vect \Pi = \dfrac {c}{4\pi }\left [\Efield \times \Hfield \right ]\) для хвилі. Скориставшись зв’язком \(\Efield = -\dfrac {c}{\epsilon \omega }\left [\vect k\times \Hfield \right ]\) (з останнього рівняння (16.15)) і тотожністю подвійного векторного добутку:

\begin{equation} \label {eq:PoyntingWaveDerivation} \vect \Pi = \frac {c^2}{4\pi \epsilon \omega }\left [\left [\Hfield \times \vect k\right ]\times \Hfield \right ] = \frac {c^2}{4\pi \epsilon \omega }\,H^2\vect k = \frac {c}{\omega }\cdot \frac 1{\epsilon \mu }\left (\frac {\mu H^2}{4\pi }\right )c\vect k. \end{equation}

Помічаючи, що для біжучої хвилі співвідношення (16.17) справедливі й для миттєвих значень полів, а тому \(\mu H^2/(4\pi ) = w\) (густина енергії), і що \(c^2\vect k/(\epsilon \mu \omega ) = (c/\sqrt {\epsilon \mu })(\vect k/k) = \vect v\) (за означенням (16.7) і (16.11)), отримуємо простий результат:

\begin{equation} \label {eq:PoyntingWaveResult} \tcbhighmath { \vect \Pi = w\vect v. } \end{equation}

Оптичні поля змінюються надто швидко (\(\sim 10^{15}\) Гц), тому приймачі реєструють не миттєвий, а усереднений за період потік енергії. Його модуль називають інтенсивністю випромінювання; оскільки середнє від \(\cos ^2\) дорівнює \(1/2\), то \(\langle w\rangle = w_m/2\) і

\begin{equation} \label {eq:Intensity} I = \left \langle |\vect \Pi |\right \rangle = \langle w\rangle v = \frac {c}{8\pi }\sqrt {\frac {\epsilon }{\mu }}\,E_m^2 \propto E_m^2. \end{equation}

Тиск електромагнітної хвилі

Електромагнітні хвилі, відбиваючись від тіл чи поглинаючись ними, чинять на них тиск. Цей тиск виникає внаслідок дії магнітного поля хвилі на електричні струми, збуджені в тілі електричним полем тієї самої хвилі (рис. 16.5).

Електричне поле хвилі збуджує в тілі струм густиною \(\vect j=\sigma \Efield \) (тут \(\sigma \) — питома провідність; у гл. 14 її позначено \(\lambda \), але цю літеру ми залишаємо для довжини хвилі), на який з боку магнітного поля хвилі \(B=nE=(c/v)E\) діє сила Ампера \(d\vect F = \tfrac 1c[\vect j\times \Bfield ]\,dV\), спрямована вздовж поширення хвилі. Якщо вся енергія, що падає на поверхню тіла (\(\Pi \, dS = wv\, dS\)), перетворюється на теплоту (\(\vect j\cdot \Efield \, dV\)), тобто \(wv\,dS = jE\,dV\), то сила, що діє на поверхню:

\begin{equation} \label {eq:RadiationForce} dF = \frac 1c jB\,dV = \frac 1c j\frac {c}{v}E\,dV = \frac 1v jE\,dV = \frac 1v wv\,dS = w\,dS, \end{equation}

звідки тиск при повному поглинанні

\begin{equation} \label {eq:RadiationPressureFull} p = w. \end{equation}

У випадку часткового відбивання (коефіцієнт відбивання за енергією \(0\leqslant \mathcal R\leqslant 1\)) тіло отримує додатковий імпульс від відбитої хвилі, і тиск

\begin{equation} \label {eq:RadiationPressurePartial} p = w(1+\mathcal R). \end{equation}

Тиск світла в природі та техніці

Тиск сонячного світла, попри свою мізерну величину (на орбіті Землі — близько \(5\cdot 10^{-6}\) Па при повному поглинанні), відіграє помітну роль і в природних явищах, і в сучасних космічних технологіях.

В астрофізиці тиск випромінювання, поряд із тиском газу, протидіє гравітаційному стисканню й забезпечує стійкість зір. У масивних гарячих зорях він стає настільки суттєвим, що визначає їхню структуру та еволюцію. Саме тиском сонячного світла пояснюється пиловий хвіст комети: дрібні пилинки «здуваються» в напрямку від Сонця, тому хвіст завжди орієнтований приблизно протилежно до Сонця, незалежно від напряму руху самої комети (задача 16.4). Прямий іонний хвіст формує не тиск світла, а сонячний вітер.

Ідея сонячного вітрила полягає в тому, щоб використати тиск світла для розгону космічного апарата без витрати палива.

У лабораторному масштабі той самий тиск світла вже давно працює як інструмент: сфокусований лазерний промінь утримує мікроскопічну частинку (діелектричну кульку, клітину, бактерію) — виникає своєрідна «пастка зі світла», оптичний пінцет (рис. 16.7). Промінь при цьому має гаусівський профіль — інтенсивність максимальна на осі й плавно спадає до країв.

Для частинки, розмір якої значно менший за довжину хвилі, з боку світла діють дві сили: градієнтна \(\vect F_{\text {grad}} \propto \grad I(\vect r)\), що втягує частинку в максимум інтенсивності, і сила розсіювання \(\vect F_{\text {scat}} \propto I(\vect r)\,\vect k\), що штовхає її вздовж променя. Тут \(I(\vect r)\) — інтенсивність світла (формула (16.21)), \(\vect k\) — хвильовий вектор. Сила розсіювання — це, по суті, тиск світла (формула (16.23)), що діє на окрему частинку; градієнтна ж сила виникає через нерівномірність цього тиску. Положення рівноваги — там, де ці дві сили компенсуються є стійким: при зміщенні виникає вертальна сила, і частинка коливається біля рівноваги у потенціальній ямі.

Уперше метод продемонстрував А. Ашкін (1986; Нобелівська премія з фізики 2018).

Типові параметри: \(\lambda \sim 780\)–\(1064\) нм, \(P\sim 10\)–\(100\) мВт, \(F_{\text {grad}}\sim 0{,}1\)–\(100\) пН. Ним вимірюють сили молекулярних моторів, розтягують ДНК, сортують клітини — тобто тиск світла тут із природного чинника стає робочим інструментом.

16.4 Імпульс і момент імпульсу електромагнітного поля

Густина імпульсу поля

Оскільки поле має енергію, а електромагнітна хвиля чинить тиск на речовину (передаючи їй імпульс), логічно припустити, що й саме поле, в одиниці об’єму, має певний імпульс. Для електромагнітної хвилі у вакуумі \(\Pi = wc\), тому \(\Pi /c^2 = w/c\). З релятивістського співвідношення енергії й імпульсу, \(E^2 = m^2c^4+p^2c^2\), для частинки з нульовою масою спокою (наприклад, фотона) \(E=pc\), тобто \(p=E/c\). Порівнюючи структуру цих двох формул, для густини імпульсу поля природно отримуємо

\begin{equation} \label {eq:MomentumDensityDef} \tcbhighmath { \vect g = \frac {\vect \Pi }{c^2}. } \end{equation}

Переконаємось у цьому прямим розрахунком, повторюючи міркування про тиск хвилі. Густина сили Ампера \(\vect f = \tfrac 1c[\vect j\times \Bfield ]\), що діє на струм, збуджений хвилею в тілі, за час \(dt\) змінює імпульс одиниці об’єму тіла на величину

\begin{equation*} d\vect g = \vect f\, dt = \frac 1c\left [\vect j\times \Bfield \right ]dt = \frac \sigma c\left [\Efield \times \Bfield \right ]dt = \frac {4\pi \sigma }{c^2}\vect \Pi \, dt = \frac {4\pi \sigma }c\, w\vect n\, dt, \end{equation*}

тоді як за той самий час у тій самій одиниці об’єму поглинається (передається від поля речовині) енергія

\begin{equation*} dw = \vect j\cdot \Efield \, dt = \sigma E^2\, dt = 4\pi \sigma \frac {E^2}{4\pi }\, dt = 4\pi \sigma w\, dt. \end{equation*}

Звідси \(d\vect g = \dfrac {dw}{c}\vect n\), тобто за весь час дії хвилі

\begin{equation} \label {eq:MomentumDerivation} \vect g = \frac {w}c\vect n = \frac {\vect \Pi }{c^2} \end{equation}

— прямий розрахунок підтверджує результат (16.25), отриманий раніше з релятивістської аналогії.

Приклад: момент імпульсу поля циліндричного конденсатора (парадокс Фейнмана)

Заряджений циліндричний конденсатор (зовнішня обкладка радіуса \(R\), внутрішньою знехтуємо) вміщений у зовнішнє однорідне магнітне поле \(\Bfield \), напрямлене вздовж його осі; конденсатор може вільно обертатись навколо цієї осі. Внутрішня обкладка несе заряд \(+q\), зовнішня — \(-q\); маса конденсатора — \(m\) (рис. 16.8). Знайдемо момент імпульсу поля конденсатора та кутову швидкість, з якою конденсатор почне обертатися після вимкнення поля \(\Bfield \).

Густина моменту імпульсу поля відносно осі:

\begin{equation} \label {eq:AngularMomentumDensity} \vect {\mathcal L} = \vect r\times \frac {\vect \Pi }{c^2} = \frac 1{4\pi c}\vect {r}\times \left [\Efield \times \Bfield \right ] = -\frac 1{4\pi c}\Bfield \left (\vect r\cdot \Efield \right ) \end{equation}

(тут скористались тотожністю подвійного векторного добутку й тим, що \(\Bfield \perp \vect r\)). Поле між обкладками конденсатора, за теоремою Гаусса, \(E = 2q/(rh)\), де \(h\) — висота циліндра. Інтегруючи модуль (16.27) за об’ємом між обкладками:

\begin{equation} \label {eq:CapacitorAngularMomentum} \tcbhighmath { L = \iiint \limits _V \mathcal L\, dV = \frac 1{4\pi c}B\,\frac {2q}h\,\pi R^2 h = \frac {qBR^2}{2c}, \qquad \vect L = -\frac {qR^2}{2c}\Bfield . } \end{equation}

При вимкненні магнітного поля момент імпульсу, який раніше «зберігався» в самому електромагнітному полі, нікуди не зникає — за законом збереження моменту імпульсу він переходить у механічне обертання самого конденсатора, \(L = mR^2\omega \) (наближено вважаючи всю масу розподіленою на радіусі \(R\)), звідки

\begin{equation} \label {eq:CapacitorOmega} \tcbhighmath { \vect \omega = -\frac {q}{2mc}\Bfield . } \end{equation}

16.5 Відбивання хвиль від поверхні двох діелектриків

Ми розглядали електромагнітну хвилю, що поширюється в необмеженому однорідному середовищі. Однак хвиля рідко поширюється в однорідному середовищі необмежено довго — рано чи пізно вона зустрічає межу розділу двох середовищ із різними показниками заломлення, і саме там відбуваються найцікавіші явища: частина хвилі відбивається назад, а частина проходить у друге середовище. Покажемо, що закони відбивання й заломлення, а також кількісні співвідношення для амплітуд відбитої й заломленої хвиль (формули Френеля) — традиційно предмет геометричної та хвильової оптики — прямо випливають із граничних умов для електромагнітного поля на межі розділу (гл. 14), без жодних додаткових постулатів, крім самих рівнянь Максвелла.

Поляризація хвиль

Поляризація — характеристика поперечних хвиль, що описує поведінку вектора величини, яка коливається (для електромагнітної хвилі — вектора \(\Efield \)), у площині, перпендикулярній до напряму поширення. При розгляді відбивання й заломлення хвилі на межі розділу двох середовищ зручно окремо розглядати два незалежні випадки поляризації відносно площини падіння (площини, що містить хвильовий вектор падаючої хвилі й нормаль до межі розділу):

• • \(s\)-поляризація (від нім. senkrecht — перпендикулярний): вектор \(\Efield \) перпендикулярний до площини падіння (а отже, паралельний до межі розділу середовищ);

• • \(p\)-поляризація (від parallel — паралельний): вектор \(\Efield \) лежить у площині падіння.

Довільну поляризацію хвилі завжди можна розкласти на суперпозицію цих двох незалежних випадків.

Відбивання й заломлення \(s\)-поляризованої хвилі: закони відбивання й заломлення

Розглянемо межу розділу (\(x=0\)) двох діелектриків з показниками заломлення \(n_1\) (при \(x<0\)) і \(n_2\) (при \(x>0\)), на яку під кутом \(i\) падає плоска \(s\)-поляризована хвиля (рис. 16.9). Породжуються відбита хвиля (кут \(i'\)) і заломлена хвиля (кут \(r\)):

\begin{equation*} E = E_m e^{i(\omega t - k_xx-k_yy)}, \qquad E' = E'_m e^{i(\omega ' t-k'_xx-k'_yy)}, \qquad E'' = E''_m e^{i(\omega ''t-k''_xx-k''_yy)}. \end{equation*}

Гранична умова для тангенціальної складової \(\Efield \) (\(E_{\tau _1}=E_{\tau _2}\), гл. 14) при \(x=0\) мусить виконуватись у кожен момент часу \(t\) і в кожній точці \(y\) межі розділу одночасно:

\begin{equation*} E_m\, e^{i(\omega t-k_yy)} + E'_m\, e^{i(\omega ' t-k'_yy)} = E''_m\, e^{i(\omega '' t-k''_yy)}. \end{equation*}

Диференціюючи цю тотожність за \(t\), а потім за \(y\) (або, що те саме, порівнюючи показники експонент, які мусять збігатися при будь-яких \(t,y\)), отримуємо

\begin{equation} \label {eq:BoundaryConditionE} \omega = \omega ' = \omega '', \qquad k_y = k'_y = k''_y, \end{equation}

після чого гранична умова спрощується до \(E_m + E'_m = E''_m\). Рівність частот означає, що колір (частота) світла не змінюється при відбиванні чи заломленні. З рівності \(k_y = k'_y\) (з огляду на те, що падаюча й відбита хвилі перебувають в одному середовищі, \(k=k'=n_1\omega /c\), а \(k_y = k\sin i\), \(k'_y=k'\sin i'\)):

\begin{equation} \label {eq:SnellReflection} \tcbhighmath { i = i' } \end{equation}

— закон відбивання, добре відомий з геометричної оптики. З рівності \(k'_y=k''_y\) (тепер \(k'=n_1\omega /c\), \(k''=n_2\omega /c\)):

\begin{equation} \label {eq:SnellRefraction} \tcbhighmath { n_1\sin i = n_2\sin r, \qquad \frac {\sin i}{\sin r} = \frac {n_2}{n_1} = n_{21} } \end{equation}

— закон заломлення (закон Снелла), де \(n_{21}\) — відносний показник заломлення другого середовища відносно першого. Оскільки більшість діелектриків не проявляють магнітних властивостей (\(\mu _1=\mu _2\approx 1\)),

\begin{equation} \label {eq:RelativeIndex} n_{21} = \sqrt {\frac {\epsilon _2}{\epsilon _1}} = \frac {v_1}{v_2}. \end{equation}

Формули Френеля для \(s\)-поляризації

Крім уже отриманої граничної умови для \(\Efield \) (яка звелась до \(E_m+E'_m=E''_m\)), потрібна ще одна — гранична умова для \(\Hfield \). Для \(s\)-поляризованої хвилі \(\Efield =E\vect e_z\) напрямлений уздовж осі \(z\) (перпендикулярно до площини падіння \(xy\)); амплітуда й напрям магнітного поля плоскої хвилі в середовищі з показником заломлення \(n\) зв’язані з електричним співвідношенням \(\Bfield =n(\hat {\vect k}\times \Efield )\), де \(\hat {\vect k}=\vect k/k\) — одиничний вектор напрямку поширення хвилі (сам хвильовий вектор \(\vect k=k\hat {\vect k}\) має модуль \(k=n\omega /c\)), звідки, зокрема, \(B_m=nE_m\). Оскільки одиничні вектори напрямку поширення падаючої, відбитої й заломленої хвиль дорівнюють \(\hat {\vect k}=(\cos i,\sin i,0)\), \(\hat {\vect k}'=(-\cos i,\sin i,0)\), \(\hat {\vect k}''=(\cos r,\sin r,0)\) (вісь \(x\) — нормаль до межі, \(y\) — уздовж межі в площині падіння), безпосереднє обчислення \(\hat {\vect k}\times \vect e_z\) дає для тангенціальної (уздовж \(y\)) складової \(\Bfield =\Hfield \) (з огляду на \(\mu _1=\mu _2\approx 1\)):

\begin{equation*} H_y = -n_1E_m\cos i, \qquad H'_y = n_1E'_m\cos i, \qquad H''_y = -n_2E''_m\cos r. \end{equation*}

Гранична умова неперервності \(H_{\tau _1}=H_{\tau _2}\), тобто \(H_y+H'_y=H''_y\), набуває вигляду

\begin{equation} \label {eq:FresnelSBoundaryH} n_1\cos i\,(E_m-E'_m) = n_2\cos r\,E''_m. \end{equation}

Виражаючи \(n_1=n_2\sin r/\sin i\) за законом Снелла (16.32) і підставляючи \(E''_m=E_m+E'_m\), отримуємо

\begin{equation*} \sin r\cos i\,(E_m-E'_m) = \sin i\cos r\,(E_m+E'_m) \quad \Longrightarrow \quad E_m\sin (r-i) = E'_m\sin (i+r), \end{equation*}

де використано формулу синуса різниці кутів. Підставляючи знайдене \(E'_m\) назад у \(E''_m=E_m+E'_m\) й скориставшись \(\sin (i+r)-\sin (i-r)=2\cos i\sin r\), остаточно дістаємо формули Френеля для \(s\)-поляризації:

\begin{equation} \label {eq:FresnelSReflection} \tcbhighmath { E'_\perp = -\frac {\sin (i-r)}{\sin (i+r)}\, E_\perp , } \end{equation}

\begin{equation} \label {eq:FresnelSTransmission} \tcbhighmath { E''_\perp = \frac {2\sin r\cos i}{\sin (i+r)}\, E_\perp . } \end{equation}

Формули Френеля для \(p\)-поляризації

Для \(p\)-поляризованої хвилі (рис. 16.10), навпаки, у площині падіння \(xy\) лежить вектор \(\Efield \), а \(\Bfield =B\vect e_z\) напрямлений уздовж осі \(z\). Обираючи напрям \(\Efield \) так, щоб трійка \(\Efield ,\Bfield ,\hat {\vect k}\) лишалась правою (тобто за тим самим правилом \(\Bfield =n(\hat {\vect k}\times \Efield )\), як і для \(s\)-поляризації), одиничний вектор \(\Efield \) дорівнює \(\hat {\vect e}_E=\vect z\times \hat {\vect k}\), що для падаючої, відбитої й заломленої хвиль дає тангенціальні (уздовж \(y\)) складові

\begin{multline*} E_y = E_m\cos i,\quad E'_y=-E'_m\cos i,\quad E''_y=E''_m\cos r; \\ B_z=n_1E_m,\quad B'_z=n_1E'_m,\quad B''_z=n_2E''_m \end{multline*} (складова \(B_z\) тут цілком тангенціальна, оскільки \(\Bfield \parallel \vect e_z\)). Неперервність тангенціальних складових \(\Efield \) і \(\Hfield =\Bfield \) дає систему двох рівнянь

\begin{equation} \label {eq:FresnelPBoundary} \cos i\,(E_m-E'_m) = \cos r\,E''_m, \qquad n_1(E_m+E'_m)=n_2E''_m. \end{equation}

Виключаючи з другого рівняння \(n_1=n_2\sin r/\sin i\) (закон Снелла) і підставляючи в нього \(E''_m\) з першого рівняння, маємо

\begin{multline*} \sin r\cos r\,(E_m+E'_m) = \sin i\cos i\,(E_m-E'_m) \quad \Longrightarrow \\E_m\big [\sin 2i-\sin 2r\big ] = E'_m\big [\sin 2i+\sin 2r\big ] \end{multline*} (тут використано \(\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \)). Застосувавши до різниці й суми синусів подвійних кутів формули \(\sin 2i-\sin 2r=2\cos (i+r)\sin (i-r)\) та \(\sin 2i+\sin 2r=2\sin (i+r)\cos (i-r)\), знаходимо \(E'_m/E_m=\tg (i-r)/\tg (i+r)\); підстановка цього результату в \(E''_m=\dfrac {n_1}{n_2}(E_m+E'_m)=\dfrac {\sin r}{\sin i}(E_m+E'_m)\) дає \(E''_m\). Разом це — формули Френеля для \(p\)-поляризації:

\begin{equation} \label {eq:FresnelPReflection} \tcbhighmath { E'_\parallel = \frac {\tg (i-r)}{\tg (i+r)}\, E_\parallel , } \end{equation}

\begin{equation} \label {eq:FresnelPTransmission} \tcbhighmath { E''_\parallel = \frac {2\sin r\cos i}{\sin (i+r)\cos (i-r)}\, E_\parallel . } \end{equation}

Відбивання за інтенсивністю

Частку енергії, що відбивається, задає коефіцієнт відбивання \(\mathcal R=(E'_m/E_m)^2\). Із формул Френеля

\begin{equation*} \mathcal R_\perp =\frac {\sin ^2(i-r)}{\sin ^2(i+r)},\qquad \mathcal R_\parallel =\frac {\tg ^2(i-r)}{\tg ^2(i+r)}, \end{equation*}

а решта енергії, \(1-\mathcal R\), переноситься заломленою хвилею (закон збереження енергії; рівності \(E'^2_m+E''^2_m=E_m^2\) немає, бо заломлена хвиля має іншу швидкість і поширюється під іншим кутом). При нормальному падінні (\(i\to 0\), \(r\approx i\,n_1/n_2\)) обидві формули дають

\begin{equation} \label {eq:NormalReflectance} \tcbhighmath { \mathcal R=\left (\frac {n_2-n_1}{n_2+n_1}\right )^{\!2}. } \end{equation}

Для межі повітря-скло (\(n=1{,}5\)) \(\mathcal R=4\,\%\), для межі повітря-вода (\(n=1{,}33\)) — \(2\,\%\). Саме тому кожна нерозділена поверхня в оптичних приладах забирає кілька відсотків світла, а просвітлювальні покриття (плівки товщиною \(\lambda /4\) з показником \(\sqrt {n_1n_2}\)) зменшують ці втрати завдяки інтерференції відбитих хвиль.

Повне внутрішнє відбивання

Якщо світло переходить з оптично густішого середовища в оптично менш густе, \(n_2<n_1\), то, за законом заломлення (16.32), \(\sin i/\sin r = n_2/n_1<1\), тобто \(i<r\): кут заломлення завжди більший за кут падіння (рис. 16.11).

Зі зростанням кута падіння \(i\) заломлений промінь усе більше наближається до межі розділу. При деякому значенні \(i=i_b\) кут заломлення досягає \(r=90^\circ \) — на рисунку цьому відповідає промінь, що йде вздовж самої межі розділу. Кут \(i_b\) називають граничним кутом:

\begin{equation} \label {eq:CriticalAngle} \tcbhighmath { \sin i_b = \frac {n_2}{n_1} = n_{21}, \qquad \text {або}\qquad n\sin i_b=1,\ \ n=\frac {n_1}{n_2}>1. } \end{equation}

При кутах падіння \(i>i_b\) виникає повне внутрішнє відбивання: уся енергія падаючої хвилі відбивається назад у перше середовище, а проходження заломленої хвилі в геометрично-оптичному сенсі стає неможливим.

Що відбувається за граничним кутом: згасаюча хвиля

«Неможливість» існування заломленої хвилі при \(i>i_b\) — це висновок саме геометричної оптики. З’ясуємо, що відбувається із заломленою хвилею формально, виходячи з рівнянь Максвелла. Заломлена хвиля \(\Efield '' = \Efield ''_m\, e^{i(\omega t-k''_xx-k''_yy)}\) (частота \(\omega ''=\omega \) — за (16.30)) повинна задовольняти дисперсійне співвідношення для другого середовища, \(k''^2={k''_x}^2+{k''_y}^2\), де \(k''=n_2\omega /c\). З граничної умови \(k_y=k''_y\) (16.30) (а \(k_y=k\sin i\), де \(k=n_1\omega /c\) — хвильове число падаючої хвилі в першому середовищі) маємо

\begin{equation*} {k''_x}^2 = k''^2-k_y^2 = \left (\frac {n_2\omega }c\right )^{\!2}-\left (\frac {n_1\omega }c\right )^{\!2}\sin ^2i = \frac {\omega ^2}{c^2}\left (n_2^2-n_1^2\sin ^2i\right ). \end{equation*}

Оскільки при \(i>i_b\) виконується \(n_1\sin i>n_2\) (тобто й \(n_1^2\sin ^2i>n_2^2\)), вираз у дужках — від’ємний, тому \({k''_x}^2<0\), тобто \(k''_x\) — уявне число: \(k''_x = -iK\) (знак обираємо так, щоб поле спадало вглиб середовища), де, повертаючись до позначення \(n=n_1/n_2\) з формули (16.41),

\begin{equation*} K = \frac \omega c\sqrt {n_1^2\sin ^2i-n_2^2} = \frac {n_2\omega }c\sqrt {n^2\sin ^2i-1} > 0. \end{equation*}

Розв’язок рівнянь Максвелла в другому середовищі при цьому набуває вигляду

\begin{equation} \label {eq:EvanescentWave} \tcbhighmath { \Efield '' = \Efield ''_m\, e^{-Kx}\, e^{i(\omega t-k''_yy)}. } \end{equation}

Отже, поле в другому середовищі існує навіть при куті падіння, більшому за граничний: воно «чіпляється» за межу розділу й проникає в друге середовище на глибину порядку довжини хвилі світла \(\lambda _0\), а амплітуда цього поля експоненційно спадає вглиб середовища (уздовж \(x\)). Таке поле називають згасаючою хвилею (рис. 16.12).

При \(i\to i_b\) маємо \(K\to 0\), тобто глибина проникнення \(1/K\to \infty \) — саме тому граничний промінь на рис. 16.11 (\(i=i_b\), \(r=90^\circ \)) виглядає як звичайний біжучий промінь уздовж межі розділу. Це узгоджується з уже отриманими формулами Френеля для проходження, (16.36) і (16.39): підставляючи \(r\to 90^\circ \), маємо \(E''_\perp \to 2E_\perp \) і \(E''_\parallel \to 2n\,E_\parallel \) — обидві границі скінченні й ненульові, тобто поле на межі при \(i=i_b\) цілком реальне.

Переконаємось прямим розрахунком, що нормальна до межі складова потоку Пойнтінга загасаючої хвилі дорівнює нулю в середньому. Для \(s\)-поляризації (\(\Efield ''=E''_z\vect e_z\)) магнітне поле знаходимо із (16.15), \(\vect k\times \Efield =\dfrac \omega c\Bfield \), справедливого й для комплексного \(\vect k''=(-iK,k''_y,0)\):

\begin{equation*} \Bfield '' = \frac {c}{\omega }\,\vect k''\times \Efield '' = \frac {c}{\omega }\,E''_z\,(k''_y,\,iK,\,0) \quad \Longrightarrow \quad B''_x = \frac {c}{\omega }k''_y E''_z, \qquad B''_y = i\frac {c}{\omega }K E''_z. \end{equation*}

Усереднений за період вектор Пойнтінга для комплексних амплітуд дорівнює \(\langle \vect \Pi \rangle =\dfrac {c}{8\pi }\,\mathrm {Re}\,(\Efield ''\times \Hfield ''^{*})\), звідки \(\langle \Pi _x\rangle =-\dfrac {c}{8\pi }\mathrm {Re}(E''_z{H''_y}^{\!*})\), \(\langle \Pi _y\rangle =\dfrac {c}{8\pi }\mathrm {Re}(E''_z{H''_x}^{\!*})\). Оскільки коефіцієнт при \(E''_z\) у \(H''_y\) — уявний, а в \(H''_x\) — дійсний:

\begin{equation} \label {eq:NormalFluxZero} \tcbhighmath { \langle \Pi _x\rangle = 0, } \qquad \langle \Pi _y\rangle = \frac {c^2k''_y}{8\pi \omega }\,|E''_m|^2\,e^{-2Kx} \neq 0. \end{equation}

Звідси видно, що потік \(\langle \Pi _y\rangle \ne 0\) показує поширення енергії хвилі вздовж межі, а не вглиб другого середовища.

Підсумки

Рівняння Максвелла в однорідному діелектрику без вільних зарядів і струмів приводять до хвильових рівнянь для \(\Efield \) і \(\Hfield \) зі швидкістю \(v=c/n\), \(n=\sqrt {\epsilon \mu }\): збурення електромагнітного поля поширюється у вигляді електромагнітної хвилі, швидкість якої у вакуумі дорівнює швидкості світла. Плоска монохроматична хвиля поперечна: \(\Efield \), \(\Hfield \) і \(\vect k\) утворюють праву трійку взаємно перпендикулярних векторів, а амплітуди пов’язані співвідношенням \(nE_m=B_m\), \(\sqrt \epsilon E_m=\sqrt \mu H_m\). Звідси Максвелл дійшов гіпотези, що світло — електромагнітна хвиля, а оптика — розділ електродинаміки.

Хвиля переносить енергію (\(\vect \Pi =w\vect v\)), імпульс (\(\vect g=\vect \Pi /c^2\)) і, як показує приклад із циліндричним конденсатором, момент імпульсу; звідси тиск світла \(p=w(1+\mathcal R)\), який визначає форму пилових хвостів комет і лежить в основі сонячних вітрил.

Закони відбивання й заломлення та формули Френеля — не окремі постулати геометричної оптики, а наслідок граничних умов для електромагнітного поля на межі розділу. З них випливають кут Брюстера, повне внутрішнє відбивання та згасаюча хвиля в другому середовищі: вона не переносить енергії вглиб середовища, але за наявності третього середовища зумовлює порушене повне внутрішнє відбивання.

Задачі