Електрика та магнетизм
Розділ 3 Електричне поле статичної системи зарядів
Заряд може зникнути весь до нуля — і все ж система не замовкне: вона просто заговорить мовою наступного порядку.
Переосмислення ідей сучасної фізики
3.1 Дипольний момент системи зарядів
Будь-яка матерія складається із заряджених частинок — електронів і атомних ядер, — тому кожне тіло певною мірою і створює електричне поле, і реагує на зовнішнє. Щоб описати цю взаємодію, часто недостатньо знати лише сумарний заряд системи \(q = \sum _i q_i\); важливу роль відіграє й те, як заряди розташовані один відносно одного. На додаток, можливий і крайній випадок: сумарний заряд може дорівнювати нулю (\(q=0\)), і все ж система зарядів не буде «невидимою» для зовнішнього спостерігача — вона однаково створює поле в просторі й реагує на зовнішнє поле, просто ця взаємодія визначається вже не сумарним зарядом, а саме взаємним розташуванням зарядів. Найпростішою кількісною мірою такого взаємного розташування зарядів слугує дипольний момент — векторна сума добутків зарядів на їхні радіус-вектори:
\(\seteqnumber{0}{3.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:el_momentum} \vect {p} = \sum _{i=1}^{n}q_i\vect {r}_i, \end{equation}
де \(\vect {r}_i\) — радіус-вектор \(i\)-го заряду.
Дипольний момент — перша (після сумарного заряду) характеристика в такому описі; якщо і сумарний заряд, і дипольний момент виявляються нульовими, слід звернутися до наступного члена розкладу — квадрупольного моменту (3.7).
Загалом дипольний момент залежить від вибору початку відліку. Однак якщо система в цілому електронейтральна \(\sum _{i=1}^{n} q_i = 0\), то дипольний момент \(\vect {p}\) системи визначений однозначно.
Найпростішою й водночас найважливішою системою з ненульовим дипольним моментом є диполь — система, що складається з двох точкових зарядів \(q\), однакових за величиною і протилежних за знаком (рис. 3.1).
Плече диполя — вектор (\(\symbfscr {l}\)), що йде від «\(-\)» заряду до «\(+\)», довжина якого дорівнює відстані між зарядами.
Дипольним моментом елементарного диполя називається вектор
\(\seteqnumber{0}{3.}{1}\)\begin{equation} \vect {p} = q\symbfscr {l}. \end{equation}
Жорсткий диполь — диполь із фіксованою відстанню між зарядами, що не змінюється під зовнішніми впливами.
Пружний диполь — диполь, де відстань між зарядами змінюється під зовнішніми впливами, і дипольний момент може змінюватися.
Якщо необхідно визначити поле диполя на далеких відстанях, то зручно користуватись концепцією елементарного, або точкового диполя. Елементарним, або точковим диполем називають граничну систему з \(\ell \to 0\), \(|q| \to \infty \) за кінцевої величини \(p\).
3.2 Поле точкового диполя
Знайдемо поле диполя на далеких відстанях \(r\), тобто за умови \(\ell \ll r\). У такому разі, ми можемо диполь вважати точковим. Для зручності розрахунків, розташуємо диполь на осі \(Oy\), симетрично відносно початку координат (рис. 3.2).
Поле точкового диполя можна знайти за допомогою принципу суперпозиції та з урахуванням нерівності \(\ell \ll r\):
\(\seteqnumber{0}{3.}{2}\)\begin{equation*} \Efield = \frac {(-q)\vect {r}_-}{r_-^3} + \frac {(+q)\vect {r}_+}{r_+^3}, \quad \begin{cases} \vect {r}_- = \vect {r} + \vect {r}'_- \\ \vect {r}_+ = \vect {r} - \vect {r}'_+ \end {cases}, \quad |\vect {r}'_-| = |\vect {r}'_+| = \frac {\ell }2. \end{equation*}
Виразимо \(\vect r_\pm \) через плече диполя \(\symbfscr {l}\) (воно напрямлене від \(-q\) до \(+q\)): \(\vect r_\pm =\vect r\mp \symbfscr {l}/2\). Оскільки \(\ell \ll r\), ці вектори лише трохи відрізняються від \(\vect r\), тому знаменники \(r_\pm ^3\) зручно розкласти за малим зсувом. Для довільного вектора \(\vect a\) з \(|\vect a|\ll r\)
\(\seteqnumber{0}{3.}{2}\)\begin{equation*} |\vect r-\vect a|^2 = r^2-2\,\vect r\cdot \vect a+a^2 \approx r^2\left (1-\frac {2\,\vect r\cdot \vect a}{r^2}\right ) \end{equation*}
(доданок \(a^2\) має другий порядок малості за \(a/r\) і відкидається). Скориставшись наближенням \((1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x\) при \(|x|\ll 1\), одержуємо
\(\seteqnumber{0}{3.}{2}\)\begin{equation} \label {eq:shift_first_order} \frac 1{|\vect r-\vect a|^{n}} \approx \frac 1{r^{n}}\left (1+n\,\frac {\vect r\cdot \vect a}{r^2}\right ). \end{equation}
Для поля диполя потрібне \(n=3\) (для потенціалу в розд. 3.3 буде \(n=1\)). Для \(r_+=|\vect r-\symbfscr {l}/2|\) беремо \(\vect a=\symbfscr {l}/2\), для \(r_-=|\vect r+\symbfscr {l}/2|\) — \(\vect a=-\symbfscr {l}/2\), і суперпозицію записуємо як \(\Efield =q\left (\vect r_+/r_+^3-\vect r_-/r_-^3\right )\):
\(\seteqnumber{0}{3.}{3}\)\begin{equation*} \Efield \approx \frac {q}{r^3}\left [\left (\vect r-\frac {\symbfscr {l}}2\right )\left (1+\frac {3\,\vect r\cdot \symbfscr {l}}{2r^2}\right ) - \left (\vect r+\frac {\symbfscr {l}}2\right )\left (1-\frac {3\,\vect r\cdot \symbfscr {l}}{2r^2}\right )\right ]. \end{equation*}
Розкриваючи дужки, зберігаємо лише члени першого порядку за \(\ell \): добутки виду \(\symbfscr {l}\,(\vect r\cdot \symbfscr {l})\) мають другий порядок і відкидаються. Доданки з \(\vect r\) — це поля двох зарядів, взятих окремо, — взаємно скорочуються, тож головний внесок дає саме перший порядок:
\(\seteqnumber{0}{3.}{3}\)\begin{equation*} \Efield = \frac {q}{r^3}\left [\frac {3\,(\vect r\cdot \symbfscr {l})\,\vect r}{r^2}-\symbfscr {l}\right ]. \end{equation*}
Множник \(3\) походить від показника степеня в \(r_\pm ^{-3}\). У границі точкового диполя (\(\ell \to 0\), \(\vect p=q\symbfscr {l}\) фіксований) відкинуті члени зникають, і наближена рівність стає точною. Підставляючи \(\vect p=q\symbfscr {l}\), одержуємо:
\(\seteqnumber{0}{3.}{3}\)\begin{equation} \label {eq:dipole_field} \tcbhighmath { \Efield = \frac {3(\vect {p}\cdot \vect {r})\vect {r}}{r^5} - \frac {\vect {p}}{r^3}. } \end{equation}
Таким чином, напруженість поля точкового диполя зменшується з відстанню за законом
\(\seteqnumber{0}{3.}{4}\)\begin{equation*} E \sim 1/{r^3}. \end{equation*}
3.3 Потенціал поля точкового диполя
Потенціал поля точкового диполя можна знайти за допомогою принципу суперпозиції та з урахуванням нерівності \(\ell \ll r\):
\(\seteqnumber{0}{3.}{4}\)\begin{equation*} \phi = \frac {(-q)}{r_-} + \frac {(+q)}{r_+}, \quad \begin{cases} \vect {r}_- = \vect {r} + \vect {r}'_- \\ \vect {r}_+ = \vect {r} - \vect {r}'_+ \end {cases}, \quad |\vect {r}'_-| = |\vect {r}'_+| = \frac {\ell }2. \end{equation*}
Скористаємося розкладом (3.3) при \(n=1\), узявши \(\vect a=\pm \symbfscr {l}/2\) для \(r_\pm =|\vect r\mp \symbfscr {l}/2|\):
\(\seteqnumber{0}{3.}{4}\)\begin{equation*} \phi = q\left (\frac 1{r_+}-\frac 1{r_-}\right ) \approx \frac qr\left [\left (1+\frac {\vect r\cdot \symbfscr {l}}{2r^2}\right )-\left (1-\frac {\vect r\cdot \symbfscr {l}}{2r^2}\right )\right ] = \frac {q\,\symbfscr {l}\cdot \vect r}{r^3}. \end{equation*}
Доданки \(1/r\) (кулонівські потенціали двох зарядів окремо) скорочуються через протилежні знаки зарядів, тому потенціал диполя спадає швидше за кулонівський. Врахувавши \(\vect p=q\symbfscr {l}\), маємо:
\(\seteqnumber{0}{3.}{4}\)\begin{equation} \label {eq:potential_dipole} \tcbhighmath { \phi = \frac {\vect {p}\cdot \vect {r}}{r^3}. } \end{equation}
Таким чином, потенціал поля точкового диполя зменшується з відстанню за законом
\(\seteqnumber{0}{3.}{5}\)\begin{equation*} \phi \sim 1/{r^2}. \end{equation*}
Знаючи вираз для потенціалу точкового диполя (3.5), можна отримати вираз для поля (3.4) використовуючи формулу зв’язку потенціалу і напруженості \(\Efield =-\vect \nabla \phi \).
Виведення. Запишемо \(\phi =(\vect p\cdot \vect r)\,r^{-3}\) і застосуємо правило диференціювання добутку:
\(\seteqnumber{0}{3.}{5}\)\begin{equation*} \vect \nabla \phi =r^{-3}\,\vect \nabla (\vect p\cdot \vect r)+(\vect p\cdot \vect r)\,\vect \nabla r^{-3}. \end{equation*}
Знайдемо обидва градієнти. Оскільки \(\vect p\cdot \vect r=p_x x+p_y y+p_z z\), де \(\vect p\) — сталий вектор, то частинні похідні за \(x\), \(y\), \(z\) дорівнюють \(p_x\), \(p_y\), \(p_z\), тобто \(\vect \nabla (\vect p\cdot \vect r)=\vect p\). Далі, \(r=\sqrt {x^2+y^2+z^2}\), тому \(\dfrac {\partial r}{\partial x}=\dfrac xr\), і аналогічно для \(y\) та \(z\); отже, \(\vect \nabla r=\dfrac {\vect r}{r}\). За правилом диференціювання складної функції
\(\seteqnumber{0}{3.}{5}\)\begin{equation*} \vect \nabla r^{-3}=-3r^{-4}\,\vect \nabla r=-\frac {3\vect r}{r^5}. \end{equation*}
Підставляючи, одержуємо
\(\seteqnumber{0}{3.}{5}\)\begin{equation*} \Efield =-\vect \nabla \phi =\frac {3(\vect p\cdot \vect r)\,\vect r}{r^5}-\frac {\vect p}{r^3}, \end{equation*}
що збігається з (3.4).
3.4 Потенціал системи зарядів на далеких відстанях
Ми знайшли поле й потенціал диполя — системи з двох зарядів. Узагальнимо цей результат на довільну систему зарядів \(\{q_i\}\), що займає певну скінченну область у просторі (рис. 3.3).
Потенціал поля в точці спостереження \(P\) дорівнює сумі потенціалів, створюваних усіма зарядами:
\(\seteqnumber{0}{3.}{5}\)\begin{equation*} \phi (\vect {r}) = \sum _i \frac {q_i}{|\vect {r} - \vect {r}_i|}. \end{equation*}
Початок системи координат вибираємо всередині системи зарядів і знайдемо потенціал на відстанях, що набагато більші за розмір області, в якій локалізуються заряди (\(r_i \ll r\)). У розд. 3.3 ми зберігали в розкладі \(1/|\vect r-\vect r_i|\) лише члени першого порядку малості за \(r_i/r\) (3.3) — для диполя цього досить. Але якщо \(q=0\) і \(\vect p=0\), ці члени нічого не дають, тому потрібне наступне наближення. Отримаємо його тим самим прийомом, не відкидаючи тепер квадратичних доданків:
\(\seteqnumber{0}{3.}{5}\)\begin{equation*} \frac 1{|\vect r-\vect r_i|} = \frac 1r\,(1+\epsilon )^{-1/2}, \qquad \epsilon = -\frac {2\,\vect r\cdot \vect r_i}{r^2}+\frac {r_i^2}{r^2}\ll 1. \end{equation*}
Розкладаємо за малим \(\epsilon \): \((1+\epsilon )^{-1/2}\approx 1-\frac {\epsilon }2+\frac {3\epsilon ^2}8\). Доданок \(-2\,\vect r\cdot \vect r_i/r^2\) у \(\epsilon \) має перший порядок за \(r_i/r\), а \(r_i^2/r^2\) — другий, тому в \(\epsilon ^2\) залишаємо лише \(4(\vect r\cdot \vect r_i)^2/r^4\):
\(\seteqnumber{0}{3.}{5}\)\begin{equation*} (1+\epsilon )^{-1/2}\approx 1+\frac {\vect r\cdot \vect r_i}{r^2}-\frac {r_i^2}{2r^2}+\frac {3(\vect r\cdot \vect r_i)^2}{2r^4}. \end{equation*}
Доданок \(-r_i^2/(2r^2)\) породжує \(-r^2r_i^2\) у чисельнику третього члена; саме він у підсумку робить тензор квадрупольного моменту безслідним (див. нижче). Помноживши на \(1/r\), маємо розклад до другого порядку за \(r_i/r\) включно:
\(\seteqnumber{0}{3.}{5}\)\begin{equation} \label {eq:multipole_second_order} \frac 1{|\vect r - \vect r_i|} \approx \frac 1r + \frac {\vect r\cdot \vect r_i}{r^3} + \frac {3(\vect r\cdot \vect r_i)^2 - r^2 r_i^2}{2r^5}. \end{equation}
Підставляючи (3.6) у \(\phi (\vect r) = \sum _i q_i/|\vect r - \vect r_i|\), одержуємо
\(\seteqnumber{0}{3.}{6}\)\begin{equation*} \phi (\vect {r}) \approx \frac 1r\sum _i q_i + \frac {\vect r}{r^3}\cdot \sum _i q_i\vect r_i + \frac 1{2r^5}\sum _i q_i\left [3(\vect r\cdot \vect r_i)^2 - r^2 r_i^2\right ]. \end{equation*}
Перші дві суми — це вже знайомі нам повний заряд і дипольний момент системи:
\(\seteqnumber{0}{3.}{6}\)\begin{equation*} q = \sum _i {q_i}, \quad \vect {p} = \sum _i q_i\vect {r}_i. \end{equation*}
Третю суму розпишемо покомпонентно, позначаючи декартові компоненти індексами \(\alpha ,\beta = x,y,z\) (за індексами, що повторюються, мається на увазі підсумовування):
\(\seteqnumber{0}{3.}{6}\)\begin{equation*} (\vect r\cdot \vect r_i)^2 = r_\alpha r_\beta \, r_{i\alpha } r_{i\beta }, \qquad r^2 r_i^2 = r_\alpha r_\beta \, \delta _{\alpha \beta }\, r_i^2, \end{equation*}
де \(\delta _{\alpha \beta }\) — символ Кронекера. Тоді
\(\seteqnumber{0}{3.}{6}\)\begin{equation*} \frac 1{2r^5}\sum _i q_i\left [3(\vect r\cdot \vect r_i)^2 - r^2 r_i^2\right ] = \frac 1{2r^5}\, r_\alpha r_\beta \sum _i q_i\left (3r_{i\alpha }r_{i\beta } - r_i^2\delta _{\alpha \beta }\right ). \end{equation*}
Величину, що стоїть під знаком суми, називають тензором квадрупольного моменту системи зарядів:
\(\seteqnumber{0}{3.}{6}\)\begin{equation} \label {eq:quadrupole_momentum} \tcbhighmath { D_{\alpha \beta } = \sum _i q_i\left (3r_{i\alpha }r_{i\beta } - r_i^2\delta _{\alpha \beta }\right ). } \end{equation}
Це симетричний тензор другого рангу (\(D_{\alpha \beta }=D_{\beta \alpha }\)), причому сума його діагональних елементів (слід) дорівнює нулю:
\(\seteqnumber{0}{3.}{7}\)\begin{equation*} \sum _\alpha D_{\alpha \alpha } = \sum _i q_i\left (3r_i^2 - 3r_i^2\right ) = 0, \end{equation*}
тому серед дев’яти компонент \(D_{\alpha \beta }\) лише п’ять незалежних; а якщо перейти у власну систему координат тензора (в якій він діагональний), залишаються лише дві незалежні компоненти.
Отже, повний розклад потенціалу системи зарядів на далеких відстанях набуває вигляду
\(\seteqnumber{0}{3.}{7}\)\begin{equation} \label {eq:multipoles} \phi (\vect r) = \underbrace {\frac {q}r}_{\text {монополь}} + \underbrace {\frac {\vect p\cdot \vect r}{r^3}}_{\text {диполь}} + \underbrace {\frac 1{2r^5}\sum _{\alpha \beta } D_{\alpha \beta }\, r_\alpha r_\beta }_{\text {квадруполь}} + \ldots \,, \end{equation}
Проаналізуємо цей розклад. Кожен наступний доданок спадає з відстанню швидше за попередній: \(\phi \sim 1/r\) для монополя, \(\phi \sim 1/r^2\) для диполя і \(\phi \sim 1/r^3\) для квадруполя (відповідно й напруженість поля \(\Efield =-\vect \nabla \phi \sim 1/r^4\) спадає швидше, ніж дипольна \(\sim 1/r^3\)). Тому внесок у поле на далеких відстанях фактично дає лише перший доданок розкладу, що не занулюється: при \(q\neq 0\) домінує монополь; при \(q=0,\ \vect p\neq 0\) — диполь; при \(q=0\) і \(\vect p=0\) — квадруполь.
Систему зарядів, у якої \(q=0\), \(\vect p = 0\), а \(D_{\alpha \beta }\neq 0\), називають квадруполем.
Молекули здебільшого електронейтральні, а деякі з них (наприклад, 
, 
) мають ненульовий дипольний момент. Інші, такі як лінійна симетрична молекула 
, дипольного моменту не мають (\(\vect p = 0\)) через симетрію розташування атомів кисню відносно атома вуглецю, проте мають ненульовий квадрупольний момент. Тому далекодійна електростатична взаємодія таких молекул між
собою і з іншими зарядами визначається саме квадруполь-квадрупольною або квадруполь-дипольною взаємодією і є значно слабшою, ніж диполь-дипольна.
Лінійний квадруполь. Розглянемо три заряди, розташовані на осі \(Oz\): заряди \(+q\) у точках \(z=\pm a\) та заряд \(-2q\) у початку координат \(z=0\) — грубу модель лінійної неполярної молекули на кшталт .
Сумарний заряд системи дорівнює нулю:
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{equation*} q_\Sigma = q + (-2q) + q = 0. \end{equation*}
Дипольний момент також дорівнює нулю через симетрію розташування зарядів відносно початку координат:
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{equation*} \vect p = q\,a\vect e_z + (-2q)\cdot 0 + q\,(-a)\vect e_z = 0. \end{equation*}
Отже, поле на далеких відстанях визначається квадрупольним моментом. Обчислимо компоненти тензора \(D_{\alpha \beta }\). Оскільки всі заряди лежать на осі \(z\), для кожного заряду \(r_{ix}=r_{iy}=0\), \(r_{iz}=z_i\), \(r_i^2=z_i^2\). Тому недіагональні компоненти й компоненти \(D_{xy}\) рівні нулю, а
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{equation*} D_{zz} = \sum _i q_i\left (3z_i^2 - z_i^2\right ) = 2\sum _i q_i z_i^2 = 2\left [q\,a^2 + (-2q)\cdot 0 + q\,a^2\right ] = 4qa^2, \end{equation*}
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{multline*} D_{xx} = \sum _i q_i\left (3\cdot 0 - z_i^2\right ) = -\sum _i q_i z_i^2 = -\left (qa^2 + qa^2\right ) = -2qa^2, \\ D_{yy}=D_{xx}=-2qa^2 \end{multline*} (перевірка сліду: \(D_{xx}+D_{yy}+D_{zz} = -2qa^2-2qa^2+4qa^2=0\) — узгоджується із загальною властивістю). Оскільки тензор уже діагональний, для точки спостереження на осі \(z\) (де \(\vect r = z\vect e_z\)) залишається лише доданок з \(D_{zz}\):
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{equation*} \phi _{\text {кв}}(z) = \frac {D_{zz}}{2z^3} = \frac {2qa^2}{z^3}. \end{equation*}
3.5 Диполь в електричному полі
Досі ми цікавились полем, яке диполь створює. Тепер розглянемо обернену задачу: як диполь поводиться, потрапивши у зовнішнє електричне поле — яка сила й момент сил на нього діють і яку енергію він при цьому має.
Момент сил, що діє на диполь в однорідному полі
Розглянемо диполь в однорідному електричному полі (рис. 3.4). Результуюча сила, що діє на цей диполь дорівнює нулю: \(\vect {F} = (+q)\Efield + (-q)\Efield = 0\).
Однак цей диполь може орієнтуватися у такому полі, оскільки на нього може діяти обертовий момент сил. Розрахуємо його, використовуючи означення, відоме з курсу механіки:
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{equation*} \vect {M}_O = \vect {r}_+ \times \vect {F}_+ + \vect {r}_- \times \vect {F}_- = \vect {r}_+ \times (+q)\Efield + \vect {r}_- \times (-q)\Efield = q(\vect {r}_+ - \vect {r}_-)\times \Efield . \end{equation*}
Оскільки \(q(\vect {r}_+ - \vect {r}_-) = \vect {p}\), то остаточно маємо:
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{equation*} \tcbhighmath { \vect {M} = \left [\vect {p}\times \Efield \right ]. } \end{equation*}
Бачимо, що момент сил (пари сил) не залежить від вибору точки \(O\). Цей момент орієнтує диполь в однорідному полі.
Сила, що діє на диполь у неоднорідному полі
Розрахуємо силу, що діє на диполь у неоднорідному полі (рис. 3.5).
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{equation*} \vect {F} = (+q)\Efield _+ + (-q)\Efield _- = q(\Efield _+ - \Efield _-) = q\Delta \Efield . \end{equation*}
Для точкового диполя різницю \(\Delta \Efield \) можна записати використовуючи формулу (2.17) у вигляді:
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{equation*} \Delta \Efield = \Efield (\vect {r} + \symbfscr {l}) - \Efield (\vect {r})= \ell _x \frac {\partial \Efield }{\partial x} + \ell _y \frac {\partial \Efield }{\partial y} + \ell _z \frac {\partial \Efield }{\partial z}. \end{equation*}
\(\seteqnumber{0}{3.}{8}\)\begin{equation} \label {eq:EforceOnDipole} \tcbhighmath { \vect {F} = p_x \frac {\partial \Efield }{\partial x} + p_y \frac {\partial \Efield }{\partial y} + p_z \frac {\partial \Efield }{\partial z} = (\vect {p}\cdot \vect {\nabla })\Efield . } \end{equation}
Якщо диполь перебуває в неоднорідному полі — виникає результуюча сила, що діє на диполь як ціле, що втягуватиме диполь в область сильного поля.
Енергія жорсткого диполя в електричному полі
Енергія точкового заряду \(q\) у зовнішньому полі дорівнює \(U = q\phi \), де \(\phi \) — потенціал поля в точці знаходження заряду \(q\). Диполь — це система з двох зарядів, тому його енергія в зовнішньому полі \(U= q\phi _+ + (-q)\phi _- = q (\phi _+ - \phi _-)\). Для різниці можна використати формулу (2.16):
\(\seteqnumber{0}{3.}{9}\)\begin{equation*} U= q\phi _+ + (-q)\phi _- = q (\phi _+ - \phi _-) = q \symbfscr {l}\cdot \vect {\nabla }\phi . \end{equation*}
Оскільки \(-\vect {\nabla }\phi = \Efield \), а \(\vect {p} = q\symbfscr {l}\):
\(\seteqnumber{0}{3.}{9}\)\begin{equation*} \tcbhighmath { U = -\vect {p}\cdot \Efield . } \end{equation*}
Мінімальну енергію диполь має в положенні \(\vect {p} \uparrow \uparrow \Efield \) (положення стійкої рівноваги). У разі відхилення з цього положення виникає момент зовнішніх сил, що повертає диполь до положення рівноваги.
Енергія пружного диполя в електричному полі
Під дією електричного поля плече диполя збільшується на таку величину \(\ell \), що сила з боку поля врівноважується силою пружності \(k\ell = qE \). Звідси знаходимо, що дипольний момент \(p = q\ell \) залежить від прикладеного поля за законом:
\(\seteqnumber{0}{3.}{9}\)\begin{equation*} p = \frac {q^2E}{k} = \alpha E \end{equation*}
Коефіцієнт \(\alpha \) називається поляризовністю молекули.
На відміну від жорсткого диполя, тут недостатньо врахувати лише енергію пружної деформації — потрібна ще й енергія взаємодії заряду з полем. Повна енергія системи як функція зміщення \(x\) складається з цих двох внесків:
\(\seteqnumber{0}{3.}{9}\)\begin{equation*} U(x) = \frac {kx^2}2 - qxE. \end{equation*}
Мінімізуючи за \(x\) (\(dU/dx = kx - qE = 0\)), знаходимо те саме рівноважне зміщення \(x=\ell =qE/k\), що й з умови рівноваги сил. Підставляючи його назад, одержуємо повну енергію в рівновазі:
\(\seteqnumber{0}{3.}{9}\)\begin{equation*} U = \frac {k\ell ^2}2 - qE\ell = \frac {qE\ell }2 - qE\ell = -\frac {qE\ell }2 = -\frac {pE}2. \end{equation*}
Тут вектор дипольного моменту, індукований зовнішнім полем, паралельний електричному полю \(\vect {p}\uparrow \uparrow \Efield \). Тому останню формулу можна переписати у векторній формі:
\(\seteqnumber{0}{3.}{9}\)\begin{equation} \tcbhighmath { U = -\frac 12\ \vect {p}\cdot \Efield . } \end{equation}
Знак «мінус» тут той самий, що й для жорсткого диполя (вирівнювання вздовж поля знижує енергію), але вдвічі менший за модулем: половину «виграшу» від взаємодії з полем «з’їдає» енергія пружної деформації, необхідної для створення самого диполя.
3.6 Енергія довільної системи зарядів у зовнішньому полі
Розглянемо систему зарядів \(\{q_i\}\), локалізовану в деякій обмеженій області простору, яку внесено у зовнішнє електричне поле з потенціалом \(\phi (\vect r)\) і напруженістю \(\Efield (\vect r) = -\vect \nabla \phi (\vect r)\). Слово «зовнішнє» тут ключове: це поле створене іншими зарядами, розташованими поза системою \(\{q_i\}\) — система \(\{q_i\}\) лише перебуває в цьому вже заданому полі, не будучи його джерелом. Знайдемо енергію взаємодії системи \(\{q_i\}\) із цим зовнішнім полем.
Результат \(U=-\vect p\cdot \Efield \), отриманий вище для жорсткого диполя (двох зарядів) в однорідному полі, виявиться першим наближенням загальнішого розкладу, застосовного до довільної системи \(\{q_i\}\) у довільному (не обов’язково однорідному) зовнішньому полі. Енергія системи дорівнює сумі енергій окремих зарядів у цьому полі:
\(\seteqnumber{0}{3.}{10}\)\begin{equation*} U = \sum _i q_i\, \phi (\vect r_i). \end{equation*}
Виберемо початок координат \(O\) десь усередині системи й розкладемо \(\phi (\vect r_i)\) у ряд Тейлора за \(\vect r_i\), аналогічно до того, як це робилося для потенціалу самої системи (пор. (3.6)):
\(\seteqnumber{0}{3.}{10}\)\begin{equation*} \phi (\vect r_i) \approx \phi (0) + \vect r_i\cdot \vect \nabla \phi (0) + \frac 12\, r_{i\alpha }r_{i\beta }\, \frac {\partial ^2\phi }{\partial x_\alpha \partial x_\beta }(0). \end{equation*}
Підсумовуючи із вагами \(q_i\) й використовуючи \(\vect \nabla \phi = -\Efield \):
\(\seteqnumber{0}{3.}{10}\)\begin{equation*} U \approx \phi (0)\underbrace {\sum _i q_i}_{q} - \Efield (0)\cdot \underbrace {\sum _i q_i\vect r_i}_{\vect p} + \frac 12\sum _{\alpha \beta }\left [\sum _i q_i\, r_{i\alpha }r_{i\beta }\right ]\frac {\partial ^2\phi }{\partial x_\alpha \partial x_\beta }(0). \end{equation*}
Останній доданок хочеться виразити через уже введений тензор \(D_{\alpha \beta }\), а не через \(\sum _i q_i r_{i\alpha }r_{i\beta }\) напряму. Оскільки в точці \(O\) немає зарядів самої зовнішньої системи (поле там задовольняє рівняння Лапласа), маємо \(\nabla ^2\phi (0) = \sum _\alpha \dfrac {\partial ^2\phi }{\partial x_\alpha ^2}(0) = 0, \) тобто тензор других похідних \(\partial ^2\phi /\partial x_\alpha \partial x_\beta \) безслідовий — так само як і \(D_{\alpha \beta }\). Це дозволяє показати (додавши й віднявши слідову частину), що
\(\seteqnumber{0}{3.}{10}\)\begin{equation*} \frac 12\sum _{\alpha \beta }\left [\sum _i q_i\, r_{i\alpha }r_{i\beta }\right ]\frac {\partial ^2\phi }{\partial x_\alpha \partial x_\beta }(0) = \frac 16\sum _{\alpha \beta } D_{\alpha \beta }\, \frac {\partial ^2\phi }{\partial x_\alpha \partial x_\beta }(0) = -\frac 16\sum _{\alpha \beta } D_{\alpha \beta }\, \frac {\partial E_\alpha }{\partial x_\beta }(0), \end{equation*}
адже доданок, пропорційний \(\delta _{\alpha \beta }\), зникає через безслідовість \(\partial ^2\phi /\partial x_\alpha \partial x_\beta \). Остаточно енергія довільної системи зарядів у зовнішньому полі — це ряд за мультипольними моментами системи:
\(\seteqnumber{0}{3.}{10}\)\begin{equation} U = \underbrace {q\,\phi (0)}_{\text {монополь}} \;-\; \underbrace {\vect p\cdot \Efield (0)}_{\text {диполь}} \;-\; \underbrace {\frac 16\sum _{\alpha \beta } D_{\alpha \beta }\, \frac {\partial E_\alpha }{\partial x_\beta }(0)}_{\text {квадруполь}} \;+\;\ldots \end{equation}
Умова \(\nabla ^2\phi (0)=0\) — це не тотожність, а суттєве припущення: вона виконується лише тому, що \(\phi \) тут — потенціал зовнішнього поля, створеного зарядами поза системою \(\{q_i\}\). Якби \(\phi \) включало власне поле системи (наприклад, при обчисленні енергії взаємодії зарядів системи одне з одним), у точці \(O\) були б заряди, і за рівнянням Пуассона \(\nabla ^2\phi (0) = -4\pi \rho (0) \neq 0\). Тоді слідовий доданок не скорочувався б і формула нижче набула б додаткового внеску.
Кожен доданок відповідає за взаємодію відповідного мультипольного моменту системи з полем (або його похідними) у точці \(O\): заряд взаємодіє з потенціалом, диполь — із самим полем, квадруполь — з градієнтом поля (неоднорідністю), і так далі. Для жорсткого диполя \(q=0\), а всі моменти вищі за дипольний дорівнюють нулю (два точкові заряди не мають квадрупольного моменту відносно середини відрізка, що їх з’єднує), тому в розкладі залишається лише \(U=-\vect p\cdot \Efield \) — результат, отриманий вище елементарним способом.
Підсумки
Щоб описати взаємодію системи зарядів з полем, недостатньо знати лише її сумарний заряд: при \(q=0\) усе визначає взаємне розташування зарядів. Першою (після заряду) його характеристикою є дипольний момент \(\vect p=\sum _i q_i\vect r_i\) (3.1), який для електронейтральної системи не залежить від вибору початку відліку. Найпростіша система з ненульовим \(\vect p\) — диполь, тобто пара рівних за величиною й протилежних за знаком зарядів, \(\vect p=q\symbfscr {l}\). У границі точкового диполя його поле \(\Efield =\dfrac {3(\vect p\cdot \vect r)\vect r}{r^5}-\dfrac {\vect p}{r^3}\) (3.4) спадає як \(1/r^3\), а потенціал \(\phi =\dfrac {\vect p\cdot \vect r}{r^3}\) (3.5) — як \(1/r^2\), тобто швидше, ніж кулонівські.
Узагальнення цього результату — розклад потенціалу довільної системи зарядів на великих відстанях за мультипольними моментами (3.8): монополь \(q/r\), диполь і квадруполь, який задається симетричним безслідовим тензором \(D_{\alpha \beta }\) (3.7) з п’ятьма незалежними компонентами.
Кожен наступний доданок спадає швидше за попередній, тому на далеких відстанях поле визначає перший з ненульових моментів. Так, у молекули немає дипольного моменту, і її електростатична взаємодія визначається квадрупольним моментом.
Ті самі моменти визначають і поведінку системи в зовнішньому полі. В однорідному полі на диполь діє нульова сила, але ненульовий момент \(\vect M=\vect p\times \Efield \), що орієнтує його вздовж поля. У неоднорідному полі виникає ще й сила \(\vect F=(\vect p\cdot \vect \nabla )\Efield \) (3.9), що втягує диполь в область сильнішого поля. Енергія жорсткого диполя дорівнює \(U=-\vect p\cdot \Efield \), а пружного, у якого \(\vect p=\alpha \Efield \) (\(\alpha \) — поляризовність), — \(U=-\frac 12\vect p\cdot \Efield \): половину виграшу поглинає енергія деформації. Для довільної системи енергія у зовнішньому полі також є рядом за мультипольними моментами: заряд взаємодіє з потенціалом, диполь — з полем, квадруполь — з градієнтом поля.
Задачі
-
3.1. Полярні компоненти. Точковий диполь \(\vect p\) напрямлений уздовж осі \(Oz\); \(\theta \) — кут між \(\vect r\) і \(\vect p\). Виходячи з \(\phi = p\cos \theta /r^2\), знайдіть компоненти \(E_r\) і \(E_\theta \) поля диполя. Який вигляд має поле на осі диполя (\(\theta =0\)) і на його серединному перпендикулярі (\(\theta =\pi /2\))? Відповідь: \(E_r=\dfrac {2p\cos \theta }{r^3}\), \(E_\theta =\dfrac {p\sin \theta }{r^3}\); на осі \(E=2p/r^3\) уздовж \(\vect p\), на серединному перпендикулярі \(E=p/r^3\) проти \(\vect p\).
-
3.2. Особливий кут. Під яким кутом \(\theta \) до дипольного моменту \(\vect p\) вектор напруженості поля диполя перпендикулярний до \(\vect p\)? Відповідь: \(\cos ^2\theta =\dfrac 13\), тобто \(\theta \approx 54{,}7^\circ \) (і \(125{,}3^\circ \)). Підказка: \(\vect p\cdot \Efield =\dfrac {p^2}{r^3}\,(3\cos ^2\theta -1)\).
-
3.3. Плоский квадруполь. У площині \(Oxy\) у вершинах квадрата зі стороною \(a\) розташовано заряди: \(+q\) у точці \((0,0)\), \(-q\) у \((a,0)\), \(+q\) у \((a,a)\), \(-q\) у \((0,a)\). Знайдіть сумарний заряд, дипольний момент і компоненти тензора \(D_{\alpha \beta }\). Відповідь: \(q_\Sigma =0\), \(\vect p=0\); єдині ненульові компоненти \(D_{xy}=D_{yx}=3qa^2\) (слід нульовий).
-
3.4. Точність наближення. Для лінійного квадруполя з прикладу (\(+q,\,-2q,\,+q\) на осі \(Oz\) у точках \(z=a,\,0,\,-a\)): (а) знайдіть \(E_z(z)\) на осі в квадрупольному наближенні; (б) обчисліть точне значення потенціалу в точці \(z=5a\) і порівняйте його з \(\phi _{\text {кв}}=2qa^2/z^3\). Яка відносна похибка? Відповідь: (а) \(E_z=6qa^2/z^4\). (б) Точно \(\phi =\dfrac {2qa^2}{z(z^2-a^2)}=\dfrac {q}{60a}\), наближення дає \(\dfrac {2q}{125a}\); їхнє відношення \((z^2-a^2)/z^2=24/25\), тож похибка \(\approx 4\%\) (наближення занижує).
-
3.7. Диполь і точковий заряд. Точковий заряд \(Q\) створює поле \(\Efield =Q\vect r/r^3\). На відстані \(r\) від нього розташований жорсткий диполь \(\vect p\), напрямлений уздовж радіуса від заряду. Знайдіть силу, що діє на диполь, і перевірте відповідь за допомогою третього закону Ньютона й поля диполя. Відповідь: \(F_r=p\,\dfrac {d}{dr}\dfrac {Q}{r^2}=-\dfrac {2pQ}{r^3}\), тобто притягання із силою \(2pQ/r^3\). Перевірка: поле диполя на осі в місці заряду дорівнює \(2p/r^3\), тож сила на заряд \(2pQ/r^3\) і вона протилежна.
-
3.8. Взаємодія двох диполів. Два однакових жорстких диполі \(p\) з паралельними моментами розташовані на відстані \(r\) один від одного. Знайдіть енергію їхньої взаємодії, якщо (а) \(\vect r\parallel \vect p\) (на одній прямій); (б) \(\vect r\perp \vect p\) (поруч). Яке розташування вигідніше? Відповідь: (а) \(U=-2p^2/r^3\); (б) \(U=+p^2/r^3\). Вигідніше розташування на одній прямій.
-
3.9. Поляризовність. Молекулу змодельовано зарядом \(e\) і масою \(m\) на пружині з власною круговою частотою \(\omega _0=10^{16}\ \text {c}^{-1}\). Виразіть поляризовність \(\alpha \) через \(e\), \(m\), \(\omega _0\) та оцініть її в \(\text {см}^3\). Відповідь: \(\alpha =\dfrac {e^2}{m\omega _0^2}\approx \dfrac {(4{,}8\cdot 10^{-10})^2}{9{,}1\cdot 10^{-28}\cdot 10^{32}}\approx 2{,}5\cdot 10^{-24}\ \text {см}^3\) (порядок розміру атома в кубі).
Контрольні питання
-
1. Чому для опису системи зарядів недостатньо знати лише сумарний заряд? Запишіть означення дипольного моменту системи зарядів. За якої умови він не залежить від вибору початку відліку?
-
2. Що таке електричний диполь і плече диполя? Куди напрямлений вектор \(\vect {p} = q\symbfscr {l}\) відносно зарядів диполя?
-
3. Чим відрізняються жорсткий і пружний диполі? Що таке елементарний (точковий) диполь і в якій границі його вводять?
-
4. Запишіть формулу для напруженості поля точкового диполя. Як вона залежить від відстані і чому поле диполя спадає швидше, ніж поле точкового заряду?
-
5. Запишіть потенціал поля точкового диполя. За яким законом він зменшується з відстанню? Чому в його виведенні вважають \(\ell \ll r\) (рис. 3.2)?
-
6. З яких доданків складається розклад потенціалу довільної системи зарядів на великих відстанях? Який із них є домінуючим при \(q \neq 0\), а коли суттєвим стає внесок диполя чи квадруполя?
-
7. За яких умов на систему зарядів поле на далеких відстанях визначається саме квадрупольним моментом? Запишіть означення тензора квадрупольного моменту \(D_{\alpha \beta }\) і виведіть його з розкладу \(1/|\vect r-\vect r_i|\) до другого порядку.
-
8. Доведіть, що тензор квадрупольного моменту симетричний і безслідовий. Скільки незалежних компонент він має і скільки — у власній системі координат?
-
9. Запишіть формулу для потенціалу квадрупольного доданка \(\phi _{\text {кв}}(\vect r)\) через \(D_{\alpha \beta }\). Як він і відповідна напруженість поля спадають з відстанню порівняно з дипольним і монопольним доданками?
-
10. Чому молекула
не має дипольного моменту, але має ненульовий квадрупольний момент? Обчисліть \(D_{zz}\) для моделі лінійного квадруполя — зарядів \(+q,-2q,+q\) на осі, симетрично розташованих на відстані \(a\) від центру.
-
11. Чому результуюча сила, що діє на диполь в однорідному електричному полі, дорівнює нулю, а обертовий момент — ні? Запишіть формулу для \(\vect {M}\) і поясніть, чому він не залежить від вибору точки \(O\).
-
12. Як буде орієнтуватися диполь в однорідному полі? Чому положення \(\vect {p}\uparrow \uparrow \Efield \) є стійким, а \(\vect {p}\uparrow \downarrow \Efield \) — нестійким?
-
13. Що відбувається з диполем у неоднорідному електричному полі? Запишіть формулу для сили \(\vect {F}\) і поясніть, чому диполь втягується в область сильного поля.
-
14. Виведіть та поясніть формулу для енергії жорсткого диполя в зовнішньому полі \(U = -\vect {p}\cdot \Efield \). Як залежить енергія від кута між \(\vect {p}\) і \(\Efield \) і в яких положеннях вона мінімальна та максимальна?
-
15. Що таке поляризовність молекули \(\alpha \)? Як вона пов’язана з жорсткістю «пружини» \(k\) і зарядом \(q\) у моделі пружного диполя?
-
16. Чому енергія пружного диполя дорівнює \(U = -\tfrac 12\,\vect {p}\cdot \Efield \), тоді як для жорсткого диполя \(U = -\vect {p}\cdot \Efield \)? Звідки береться множник \(\tfrac 12\)?