Електрика та магнетизм

Розділ 5 Основи електростатики діелектриків

У попередніх розділах ми вивчали електричне поле у вакуумі та поведінку в ньому провідників. Тепер розглянемо третій, найпоширеніший клас середовищ — діелектрики: з’ясуємо, яка мікроскопічна природа поляризації речовини, як описати її макроскопічно і як це змінює закони електростатики порівняно з вакуумом.

5.1 Основні поняття

Досі ми розглядали електричне поле у вакуумі та у провідниках. У провідниках, як ми з’ясували, вільні заряди — електрони — під дією як завгодно слабкого поля переміщуються на макроскопічні відстані, аж доки поле всередині провідника не звернеться в нуль. Проте більшість речовин, що оточують нас, — скло, вода, повітря, пластмаси, — поводяться зовсім інакше: внесені в електричне поле, вони не гасять його всередині себе, а лише послаблюють. Такі речовини називають діелектриками.

Відмінність діелектрика від провідника пов’язана з тим, які заряди є в його структурі. Домовимось умовно розділяти всі заряди речовини на два типи.

• 1. Вільні заряди — це заряди, які можуть переміщатися на великі відстані в речовині (набагато більші за міжатомні відстані). Саме вільні заряди відповідають за струм і за повну компенсацію зовнішнього поля всередині провідника. У діелектриках вільних зарядів, як правило, дуже мало, або немає зовсім.

• 2. Зв’язані (поляризаційні) заряди — це заряди, які під дією зовнішніх полів або сил лише незначно зміщуються відносно свого положення рівноваги (електрон у атомі, іон у вузлі кристалічної ґратки) і повертаються назад, у положення рівноваги, одразу після зняття зовнішнього впливу.

Мікроскопічне та макроскопічне поле

Щоб коректно описати поведінку речовини в полі, потрібно спершу з’ясувати, про яке саме поле йдеться. Якщо подивитись на речовину на атомному масштабі, електричне поле виявляється надзвичайно нерівномірним: всередині атома чи молекули воно на багато порядків сильніше, ніж у проміжку між молекулами, і різко змінюється від точки до точки та в часі — адже електрони рухаються, атоми коливаються. Таке істинне, швидкозмінне поле називають мікрополем \(\Efield _\text {micro}\).

Усі макроскопічні прилади — вольтметри, зонди, наші вимірювання — фізично не здатні відстежити настільки швидкі та дрібномасштабні варіації поля. Те, що вони фіксують, — це поле, усереднене по деякому фізично нескінченно малому об’єму \(\Delta V\): досить малому порівняно з розмірами тіла, щоб вважатися «точкою» в макроскопічному сенсі, але водночас достатньо великому, щоб містити величезну кількість атомів і молекул. Таке середнє (макроскопічне) поле визначається як

\begin{equation*} \tcbhighmath { \left \langle \Efield \right \rangle = \frac 1{\Delta V} \iiint \limits _{\Delta V} \Efield _\text {micro}\, dV. } \end{equation*}

Це поле змінюється в просторі істотно повільніше, ніж мікрополе, і саме його ми надалі й називатимемо просто \(\Efield \), коли говоритимемо про поле всередині речовини.

5.2 Структура діелектриків

Дипольні моменти молекул

За відсутності зовнішнього поля позитивний заряд ядер атомів, що утворюють молекулу, і негативний заряд електронної оболонки в сумі дають нуль, тобто молекула електронейтральна. Проте розподіл цих зарядів у просторі не завжди симетричний. Якщо «центр ваги» позитивного заряду молекули не збігається з «центром ваги» негативного, молекула має власний, сталий дипольний момент \(\vect p_0\). Причиною такої асиметрії є різна електронегативність атомів, що входять до складу молекули: атом з більшою електронегативністю сильніше «притягує» до себе спільну електронну хмару, і на ньому виникає надлишок негативного заряду, тоді як на іншому атомі — надлишок позитивного.

Молекули з ненульовим власним дипольним моментом називають полярними. Класичний приклад — молекула води : через кутову форму молекули (кут між зв’язками становить приблизно \(105^\circ \)) дипольні моменти окремих зв’язків не компенсують одне одного, і молекула в цілому має досить великий дипольний момент (рис. 5.1).

Для вимірювання дипольних моментів молекул зручно користуватись позасистемною одиницею — дебаєм (позначається Д або D), названою на честь фізика П. Дебая:

\begin{equation*} 1\ \text {Дебай} = 10^{-18}\ \text {Фр}\cdot \text {см}. \end{equation*}

Більшість полярних молекул має дипольний момент порядку \(1\) Д. Одиниця широко застосовується у фізичній хімії, атомній і молекулярній фізиці. Дипольні моменти деяких відомих полярних молекул наведено в таблиці 5.1.

Показовим є приклад вуглекислого газу : попри те, що кожен зв’язок є полярним, молекула лінійна і симетрична, тому дипольні моменти окремих зв’язків повністю компенсують одне одного, і сумарний дипольний момент молекули дорівнює нулю.

Неполярні молекули та наведений дипольний момент

Неполярні молекули — це молекули, в яких електричні заряди розподілені симетрично, і власний дипольний момент відсутній (\(p_0 = 0\)). У таких молекулах атоми зазвичай мають однакову або близьку електронегативність, тому спільна електронна хмара розподілена рівномірно між атомами, або ж молекула має достатньо високу симетрію (як у випадку ). Прикладами неполярних молекул є кисень , азот , метан , а також окремі атоми інертних газів.

Важливо розуміти, що відсутність власного дипольного моменту не означає, що неполярна молекула взагалі не може мати дипольного моменту. У зовнішньому електричному полі позитивно заряджене ядро і негативно заряджена електронна хмара зміщуються в протилежні боки: ядро — за полем, електрони — проти поля (рис. 5.2). В результаті «центри ваги» позитивного та негативного зарядів розходяться, і в молекулі виникає наведений (індукований) дипольний момент, пропорційний прикладеному полю:

\begin{equation} \label {eq:InducedDipole} \vect p = \alpha \Efield , \end{equation}

де коефіцієнт \(\alpha \) називають поляризовністю молекули.

Цей механізм появи дипольного моменту називають електронною (деформаційною) поляризацією: оскільки маса електронної хмари набагато менша за масу ядра, саме зміщення електронної хмари відносно ядра і дає основний внесок у наведений момент. На відміну від орієнтаційного механізму, який ми розглянемо в п. 5.7, електронна поляризовність практично не залежить від температури.

5.3 Поляризація діелектриків

Розглянемо, як відбувається поляризація в двох основних класах діелектриків.

• • Полярні діелектрики складаються з полярних молекул, кожна з яких уже має власний дипольний момент \(\vect p_0 \neq 0\). За відсутності зовнішнього поля теплове (хаотичне) обертання молекул орієнтує їхні дипольні моменти цілком випадково в усіх напрямках, тому в будь-якому фізично малому об’ємі дипольні моменти в середньому взаємно компенсуються, і сумарний дипольний момент речовини дорівнює нулю. Коли ж прикладене зовнішнє поле, воно створює момент сил, що прагне розвернути кожен диполь уздовж поля (див. формулу \(\vect M = [\vect p\times \Efield ]\), отриману в попередньому розділі). Тепловий рух заважає ідеальному впорядкуванню, проте певна переважна орієнтація вздовж поля все ж встановлюється — виникає так звана орієнтаційна поляризація (рис. 5.3).

  

  (а) Без поля

  

  (б) У полі

  Рис. 5.3. Поляризація полярних молекул: (а) — без поля; (б) — у зовнішньому електричному полі, диполі орієнтуються вздовж поля.

• • Неполярні діелектрики складаються з неполярних молекул, у яких за відсутності поля центри позитивного й негативного зарядів збігаються. Зовнішнє поле зміщує електронні хмари відносно ядер (5.1), і в кожній молекулі виникає наведений дипольний момент, зорієнтований уздовж поля, — електронна поляризація (рис. 5.4).

  

  (а) Без поля

  

  (б) У полі

  Рис. 5.4. Поляризація неполярних молекул: (а) — без поля; (б) — у зовнішньому електричному полі молекули деформуються, утворюючи індукований дипольний момент.

У випадку йонних кристалів (наприклад, ) існує ще один механізм — йонна поляризація: позитивні та негативні йони кристалічної ґратки під дією поля зміщуються один відносно одного як цілі підґратки, що також створює об’ємний дипольний момент. Детальніше про всі три механізми (електронний, йонний, орієнтаційний) і про те, як кожен із них залежить від частоти поля й температури, йтиметься в розділі II (п. 5.7).

В обох випадках — полярних і неполярних діелектриків — результат один: на межах виділеного в речовині об’єму з’являються надлишкові (некомпенсовані) зв’язані заряди, тоді як в основному об’ємі речовини позитивні та негативні заряди сусідніх диполів взаємно компенсують одне одного. Саме ці надлишкові поверхневі заряди і створюють власне поле речовини \(\Efield '\), яке, за принципом суперпозиції, додається до зовнішнього поля \(\Efield _\text {ex}\):

\begin{equation*} \Efield = \Efield _\text {ex} + \Efield '. \end{equation*}

Оскільки диполі орієнтуються так, що їхні позитивні полюси «дивляться» за полем, а негативні — проти поля, власне поле \(\Efield '\) спрямоване назустріч зовнішньому, і сумарне поле в діелектрику завжди послаблюється порівняно з зовнішнім.

На рисунку 5.5 схематично показано поляризований діелектрик у зовнішньому електричному полі: на протилежних поверхнях виділеного об’єму виникають некомпенсовані зв’язані заряди \(-Q\) та \(+Q\), власне поле яких спрямоване назустріч зовнішньому.

Рис. 5.5. Поляризований діелектрик у зовнішньому електричному полі: на поверхнях виникають зв’язані заряди \(-Q\) та \(+Q\). Стрілки означають: — зовнішнє поле \(\Efield _\text {ex}\); — поле зв’язаних зарядів \(\Efield '\); — вектор поляризації \(\vect {P}\) (також співпадає з результуючим полем \(\Efield \)).

Електрострикція

Уміщення діелектрика в електричне поле призводить не лише до поляризації, а й до зміни розмірів тіла — явища, яке називають електрострикцією. Електрострикція спостерігається в усіх без винятку діелектриках, проте в переважній більшості матеріалів виражена слабко: деформація пропорційна квадрату поля, \(\Delta \ell \sim E^2\), тому не залежить від напрямку поля (зміна знака поля не змінює знака деформації) і стає помітною лише в дуже сильних полях. У техніці електрострикцію майже завжди «перекриває» значно сильніший п’єзоефект (п. 5.8), тому як самостійне явище вона застосовується рідко.

5.4 Вектор поляризації

Для кількісного опису стану поляризованого діелектрика вводять макроскопічну характеристику — вектор поляризації (або поляризованість), який дорівнює дипольному моменту одиниці об’єму речовини:

\begin{equation} \label {eq:Pdef} \tcbhighmath { \vect P = \frac 1V \sum _i \vect p_i, } \end{equation}

де підсумовування проводиться за всіма молекулярними диполями \(\vect p_i\), що потрапляють у фізично малий об’єм \(V\).

Для великого класу діелектриків, що не надто відрізняються за своїми властивостями від вакууму (гази, більшість рідин та аморфних твердих тіл за не надто сильних полів), експериментально встановлено, що поляризованість лінійно залежить від напруженості поля в самому діелектрику:

\begin{equation} \label {eq:PlinearE} \tcbhighmath { \vect P = \chi \Efield , } \end{equation}

де безрозмірна величина \(\chi > 0\) називається поляризовністю речовини (у частині літератури цю ж величину називають діелектричною сприйнятливістю — термін цілком рівноправний, проте надалі ми користуватимемось терміном «поляризовність», підкреслюючи його спорідненість з поляризовністю окремої молекули \(\alpha \), формула (5.1): перша — мікроскопічна, друга — макроскопічна характеристики того самого явища, а нетривіальний зв’язок між ними — предмет розділу II). Поляризовність \(\chi \) не залежить від \(\Efield \) і характеризує властивості самого діелектрика (тип молекул, їхню концентрацію, температуру тощо). Такі діелектрики називають лінійними.

Однорідна та неоднорідна поляризація

Поляризацію називають однорідною, якщо вектор \(\vect P\) є сталим у всьому об’ємі речовини, \(\vect P = \const \), і неоднорідною, якщо \(\vect P\) змінюється від точки до точки.

Однорідна поляризація. Нехай поляризація однорідна. Розглянемо косокутний паралелепіпед, вирізаний із поляризованої речовини так, що його бічне ребро паралельне вектору поляризації \(\vect P\) (рис. 5.6). Якщо \(S\) — площа бічної грані, а \(\ell \) — довжина ребра паралелепіпеда, то його об’єм дорівнює \(V = S\ell \cos \theta \), де \(\theta \) — кут між ребром \(\vect \ell \) і нормаллю до бічної грані.

Диполі всередині такого паралелепіпеда шикуються «голова до хвоста»: позитивний заряд одного диполя сусідить з негативним зарядом наступного, і в об’ємі речовини ці заряди взаємно компенсуються. Некомпенсованими лишаються тільки заряди на двох торцевих гранях: на одній виступає надлишковий позитивний заряд, на іншій — негативний. Тому весь паралелепіпед еквівалентний одному великому диполю з дипольним моментом \(\vect p = \sigma ' S \vect \ell \), де \(\sigma '\) — поверхнева густина зв’язаного (поляризаційного) заряду на торцевій грані. З іншого боку, за означенням (5.2), дипольний момент паралелепіпеда дорівнює \(\vect p = \vect P \cdot V = \vect P \, S\ell \cos \theta \). Прирівнюючи обидва вирази і враховуючи, що \(\vect P \cdot \vect n = P\cos \theta \) (де \(\vect n\) — зовнішня нормаль до грані), отримуємо просту й важливу формулу:

\begin{equation} \label {eq:SigmaPrime} \tcbhighmath { \vect P \cdot \vect n = P_n = \sigma '. } \end{equation}

Неоднорідна поляризація. Нехай тепер поляризація неоднорідна, і в товщі речовини виділено об’єм \(V\) довільної форми, обмежений замкненою поверхнею \(S\). Кожен малий елемент поверхні \(dS\) можна, як і вище, вважати гранню елементарного косокутного паралелепіпеда, тому на ньому виступає поверхневий зв’язаний заряд \(d q' = \sigma ' dS = P_n\, dS\).

Підсумовуючи (інтегруючи) цей вираз за всією замкненою поверхнею, знаходимо повний заряд, що вийшов на зовнішню поверхню виділеного об’єму:

\begin{equation*} q'_{\text {пов}} = \oiint \limits _S P_n\, dS. \end{equation*}

Але сама речовина, з якої вирізано цей об’єм, електронейтральна: поляризація лише перерозподіляє наявні заряди, не створюючи нових. Тому якщо на зовнішню поверхню вийшов заряд \(q'_{\text {пов}}\), то всередині об’єму мусив залишитися зв’язаний заряд протилежного знака, розподілений з об’ємною густиною \(\rho '\):

\begin{equation} \label {eq:GaussForP-int} \tcbhighmath { \oiint \limits _S \vect P\cdot d\vect S = \oiint \limits _S P_n\, dS = - \iiint \limits _V \rho '\, dV. } \end{equation}

Це співвідношення називають теоремою Гаусса для вектора поляризації: воно за формою повністю аналогічне теоремі Гаусса для поля \(\Efield \) (п. 2.4), проте зв’язує потік вектора \(\vect P\) не з повним, а лише зі зв’язаним зарядом, узятим із протилежним знаком.

Так само як ми переходили від інтегральної форми теореми Гаусса для \(\Efield \) до диференціальної, стягуючи об’єм \(V\) у точку, з формули (5.5) отримуємо диференціальну форму теореми Гаусса для вектора поляризації:

\begin{equation} \label {eq:GaussForP-diff} \tcbhighmath { \divg \vect P = -\rho '. } \end{equation}

Дивергенція вектора поляризації в даній точці дорівнює об’ємній густині зв’язаного заряду в цій точці, узятій зі знаком мінус. У окремому випадку однорідної поляризації, коли \(\vect P = \const \), маємо \(\divg \vect P \equiv 0\), а отже, і \(\rho ' = 0\): об’ємний зв’язаний заряд в однорідно поляризованому діелектрику відсутній, увесь надлишковий заряд зосереджений на поверхні, що узгоджується з розглянутим вище прикладом паралелепіпеда.

5.5 Вектор електричної індукції

Електричне поле всередині речовини створюється не лише вільними, а й зв’язаними (поляризаційними) зарядами. Тому в теоремі Гаусса для поля \(\Efield \) (яка, нагадаємо, є універсальним законом і виконується для будь-яких зарядів) слід урахувати обидва типи зарядів — і вільні \(\rho \), і зв’язані \(\rho '\):

\begin{equation*} \divg \Efield = 4\pi (\rho + \rho '). \end{equation*}

Скориставшись знайденим щойно співвідношенням (5.6), а саме \(\rho ' = -\divg \vect P\), отримуємо:

\begin{equation*} \divg \Efield = 4\pi \rho - 4\pi \divg \vect P \quad \Longrightarrow \quad \divg \left (\Efield + 4\pi \vect P\right ) = 4\pi \rho . \end{equation*}

Вираз у дужках зручно позначити окремим символом і назвати вектором електричної індукції:

\begin{equation} \label {eq:Ddef} \tcbhighmath { \Dfield = \Efield + 4\pi \vect P. } \end{equation}

Тоді теорема Гаусса для електричного поля в речовині набуває вигляду:

\begin{equation} \label {eq:GaussForD-diff} \tcbhighmath { \divg \Dfield = 4\pi \rho , } \end{equation}

а в інтегральній формі — відповідно

\begin{equation} \label {eq:GaussForD-int} \tcbhighmath { \oiint \limits _S \Dfield \cdot d\vect S = 4\pi \iiint \limits _V \rho \, dV. } \end{equation}

Підкреслимо: на відміну від \(\Efield \), вектор \(\Dfield \) не є потенціальним силовим полем у звичайному розумінні — він не діє безпосередньо на пробний заряд. Це допоміжна, суто розрахункова величина, яка водночас має ясний фізичний зміст: вона «відстежує» тільки ті заряди, якими ми керуємо ззовні (вільні), незалежно від того, який діелектрик їх оточує.

Діелектрична проникність

Для лінійних діелектриків, у яких справедливе співвідношення (5.3), вектор індукції теж виявляється пропорційним \(\Efield \):

\begin{equation*} \Dfield = \Efield + 4\pi \vect P = \Efield + 4\pi \chi \Efield = (1+4\pi \chi )\Efield . \end{equation*}

Позначаючи

\begin{equation} \label {eq:eps} \tcbhighmath { \epsilon = 1 + 4\pi \chi , } \end{equation}

отримуємо просте й дуже часто використовуване співвідношення

\begin{equation} \label {eq:DepsE} \tcbhighmath { \Dfield = \epsilon \Efield . } \end{equation}

Величину \(\epsilon \) називають діелектричною проникністю середовища. Оскільки для звичайних (не сегнетоелектричних) речовин у постійних полях завжди \(\chi > 0\), то й \(\epsilon > 1\): діелектрична проникність будь-якого «нормального» діелектрика перевищує одиницю. Для вакууму, в якому поляризація відсутня (\(\chi = 0\)), маємо \(\epsilon = 1\), і вектори \(\Dfield \) та \(\Efield \) збігаються.

Для орієнтації наведемо порядки величин \(\epsilon \) для кількох типових речовин (постійне поле, кімнатна температура):

Бачимо, що для газів \(\epsilon \) дуже близька до одиниці (молекули далеко одна від одної), для рідин і твердих тіл — суттєво більша, а для сегнетоелектриків (розділ III) сягає аномально великих значень.

Приклад. Розглянемо точковий заряд \(Q\), вміщений у нескінченний однорідний діелектрик з проникністю \(\epsilon \) (рис. 5.7). Через сферичну симетрію задачі, за теоремою Гаусса для вектора \(\Dfield \), як і у випадку поля у вакуумі,

\begin{equation*} \Dfield = \frac {Q}{r^2}\frac {\vect r}{r}, \end{equation*}

а звідси, користуючись (5.11), знаходимо напруженість поля безпосередньо в діелектрику:

\begin{equation*} \Efield = \frac {\Dfield }{\epsilon } = \frac {Q}{\epsilon r^2}\frac {\vect r}{r}. \end{equation*}

Оскільки \(\epsilon > 1\), поле точкового заряду в діелектрику всюди слабкіше, ніж таке саме поле у вакуумі. Наприклад, у воді (\(\epsilon \approx 81\)) поле на тій самій відстані від заряду слабкіше у \(81\) раз, а у склі (\(\epsilon \approx 5\)) — у \(5\) разів. Це прямий кількісний прояв уже відомого нам якісного результату: поляризаційні заряди, що виникають навколо заряду \(Q\), послаблюють його поле.

5.6 Граничні умови в присутності діелектриків

Як і у випадку поля у вакуумі (п. 2.8), на межі розділу двох середовищ (двох діелектриків, або діелектрика й вакууму) поле може змінюватись стрибком. Знайдемо, як пов’язані значення полів по обидва боки межі.

Перша гранична умова (для нормальної складової \(\Dfield \))

Застосуємо теорему Гаусса для вектора \(\Dfield \) до нескінченно малого циліндра, що охоплює невелику ділянку межі розділу середовищ 1 та 2, так само, як ми робили це для поля \(\Efield \) на поверхні провідника (рис. 5.8). Нехай \(\sigma \) — поверхнева густина вільного заряду на межі розділу (якщо він там є). Враховуючи, що \(d\vect S_1 = -d\vect S_2 = \vect n\, dS\), де \(\vect n\) — нормаль, спрямована з середовища 1 у середовище 2, маємо

\begin{equation*} \oiint \limits _S \Dfield \cdot d\vect S = 4\pi \sigma \, dS \quad \Longrightarrow \quad \Dfield _2 \cdot d\vect S_2 + \Dfield _1\cdot d\vect S_1 \equiv (D_{2n} - D_{1n})\, dS = 4\pi \sigma \, dS, \end{equation*}

звідки

\begin{equation} \label {eq:BC1-D} \tcbhighmath { D_{2n} - D_{1n} = 4\pi \sigma . } \end{equation}

Друга гранична умова (для тангенціальної складової \(\Efield \))

Ця умова не пов’язана з наявністю діелектрика і виводиться так само, як і раніше (п. 2.8), із теореми про циркуляцію вектора \(\Efield \) уздовж нескінченно малого прямокутного контуру \(L\), що проходить по обидва боки межі розділу (рис. 5.9); ця теорема залишається справедливою в будь-якому середовищі — адже електростатичне поле завжди потенціальне, незалежно від того, вакуум це чи діелектрик:

\begin{equation} \label {eq:BC2-E} \tcbhighmath { E_{1\tau } = E_{2\tau }. } \end{equation}

Тангенціальна складова \(\Efield \) однакова по обидва боки межі розділу і не зазнає стрибка.

Заломлення силових ліній на границі діелектрика

Розглянемо межу розділу двох однорідних лінійних діелектриків із проникностями \(\epsilon _1\) та \(\epsilon _2\), на якій вільні заряди відсутні. Нехай силова лінія поля \(\Efield _1\) (а отже, і \(\Dfield _1\)) у середовищі 1 утворює кут \(\alpha _1\) з нормаллю до межі, а в середовищі 2 — кут \(\alpha _2\) (рис. 5.10). Граничні умови (5.12) (без вільних зарядів) та (5.13) дають:

\begin{equation*} \begin{cases} E_{1\tau } = E_{2\tau } \quad \Longrightarrow \quad E_1\sin \alpha _1 = E_2\sin \alpha _2, \\ D_{1n} = D_{2n} \quad \Longrightarrow \quad \epsilon _1 E_1\cos \alpha _1 = \epsilon _2 E_2\cos \alpha _2. \end {cases} \end{equation*}

Поділивши перше рівняння на друге, отримуємо закон заломлення силових ліній:

\begin{equation} \label {eq:RefractionE} \tcbhighmath { \frac {\tg \alpha _2}{\tg \alpha _1} = \frac {\epsilon _2}{\epsilon _1}. } \end{equation}

5.7 Мікроскопічна теорія діелектричної проникності

Ми ввели діелектричну проникність \(\epsilon \) як феноменологічну величину: ми знаємо, як її виміряти (через ємність конденсатора), і як нею користуватись у розрахунках, вияснимо, природу її виникнення.

Механізми поляризовності молекули

У зовнішньому полі \(\Efield \) молекула набуває наведеного дипольного моменту \(\vect p = \alpha \Efield \) (формула (5.1)). Але звідки береться цей момент — питання не одне, а фізично різне залежно від будови молекули:

• • \(\alpha _e\) — електронна: поле зміщує легку електронну хмару відносно ядра. Є в усіх атомах і молекулах без винятку, встигає за полем аж до оптичних частот (\(\sim 10^{15}\) Гц);

• • \(\alpha _i\) — йонна: у йонних кристалах поле зміщує одні йони відносно інших (маса набагато більша за електронну) — «вимикається» вже в ІЧ-діапазоні;

• • \(\alpha _\text {ор}\) — орієнтаційна: якщо молекула вже має власний дипольний момент \(p_0\) (полярна молекула), поле не наводить, а розвертає його. Найповільніший і найчутливіший до \(T\) механізм — «вимикається» вже у НВЧ-діапазоні.

Повна статична поляризовність — сума всіх діючих на цій частоті внесків, \(\alpha = \alpha _e + \alpha _i + \alpha _\text {ор}\).

Орієнтаційна поляризація полярних діелектриків

Полярна молекула (\(p_0\neq 0\)) в полі \(\Efield \) має потенціальну енергію

\begin{equation*} U(\theta ) = -\vect p_0\cdot \Efield = -p_0 E\cos \theta \end{equation*}

(п. 3.5), де \(\theta \) — кут між диполем і полем; енергія мінімальна (\(U=-p_0E\)) при орієнтації вздовж поля, максимальна (\(U=+p_0E\)) — проти поля. За відсутності поля тепловий рух орієнтує диполі цілком хаотично; у полі ж число молекул, орієнтованих в одиничний тілесний кут навколо напрямку \(\theta \), підкоряється розподілу Больцмана:

\begin{equation} \label {eq:Boltzmann} n(\theta ) = n_0\, e^{-U/kT} = n_0\, e^{+p_0 E\cos \theta / kT}. \end{equation}

Це й означає порушення хаосу: молекул, орієнтованих вздовж поля (\(\cos \theta =1\), менша енергія), експоненційно більше, ніж орієнтованих проти поля (\(\cos \theta =-1\)).

У практично важливому випадку — не надто сильне поле й не надто низька температура, \(p_0E \ll kT\) — показник експоненти малий, тож розподіл (5.15) можна розкласти в ряд і обмежитись лінійним членом:

\begin{equation} \label {eq:BoltzmannLinear} n(\theta ) \approx n_0\left (1 + \frac {p_0 E \cos \theta }{kT}\right ). \end{equation}

Фізично: за кімнатної температури \(kT\) на багато порядків перевищує енергію орієнтації \(p_0E\) навіть у сильних лабораторних полях, тому переважна орієнтація — слабка поправка до майже хаотичного розподілу, а не повне вишикування диполів вздовж поля.

Поляризація \(P\) — це дипольний момент одиниці об’єму. У напрямку, перпендикулярному полю, внески різних диполів у середньому компенсуються (за симетрією \(\theta \to \pi -\theta \)); вздовж поля — ні. Тому \(P\) напрямлена вздовж поля і дорівнює добутку концентрації молекул \(n\) на середню проєкцію дипольного моменту:

\begin{equation*} P = n\, p_0\, \overline {\cos \theta } = n p_0 \cdot \frac {\displaystyle \int _0^\pi \cos \theta \, n(\theta )\, 2\pi \sin \theta \, d\theta } {\displaystyle \int _0^\pi n(\theta )\, 2\pi \sin \theta \, d\theta }. \end{equation*}

Підставляючи сюди лінеаризований розподіл (5.16) і виконуючи інтегрування за кутом (у знаменнику лишається \(n_0\), у чисельнику — лише доданок з \(\cos \theta \), оскільки \(\int \cos \theta \,d\Omega =0\), а \(\int \cos ^2\theta \,d\Omega = 4\pi /3\)), одержуємо

\begin{equation} \label {eq:LangevinDebye} \tcbhighmath { P = \frac {n p_0^2}{3kT}\, E. } \end{equation}

Це і є закон Ланжевена-Дебая: поляризація речовини лінійна за полем, а коефіцієнт пропорційності явно виражений через мікроскопічні характеристики молекули (\(p_0\)) і речовини (\(n\), \(T\)).

Оскільки за означенням \(P = \chi E\), порівняння з (5.17) одразу дає поляризовність речовини (а заразом і орієнтаційну поляризовність однієї молекули, \(\chi = n\alpha _\text {ор}\)):

\begin{equation*} \chi = \frac {n p_0^2}{3kT} \qquad \Longrightarrow \qquad \alpha _\text {ор} = \frac {p_0^2}{3kT}. \end{equation*}

Підставляючи \(\chi \) в означення проникності \(\epsilon = 1+4\pi \chi \), знаходимо остаточний макроскопічний результат:

\begin{equation} \label {eq:CurieLaw} \tcbhighmath { \epsilon = 1 + \frac {4\pi n p_0^2}{3kT}. } \end{equation}

Неполярні діелектрики. Формула Клаузіуса-Моссотті

Для розріджених середовищ справджується просте співвідношення \(\chi = n\alpha \): кожна молекула відчуває лише зовнішнє (середнє) поле \(\Efield \), бо наведений момент окремої молекули за означенням \(\alpha \) (формула (5.1)) визначається саме тим полем, яке реально діє на неї, \(\vect p = \alpha \Efield _\text {лок}\), а не середнім полем \(\Efield \) у речовині. У розрідженому газі відстані між молекулами великі, тож поле, яке створюють на місці обраної молекули всі інші, вже поляризовані нею молекули, — нехтовно мале порівняно із зовнішнім: \(\Efield _\text {лок}\approx \Efield \). Тому поляризація речовини (дипольний момент одиниці об’єму з концентрацією \(n\)) — це просто

\begin{equation*} \vect P = n\vect p = n\alpha \Efield _\text {лок} \approx n\alpha \Efield , \end{equation*}

звідки, порівнюючи з означенням \(\vect P = \chi \Efield \), і виходить \(\chi \approx n\alpha \).

У густому ж середовищі кожна молекула занурена в поле вже поляризованих сусідів, тож реальне (локальне) поле \(\Efield _\text {лок}\), що на неї діє, — не \(\Efield \), а деяка відмінна від нього величина, яку й належить знайти.

Оточимо обрану молекулу уявною сферою Лоренца (яка мала порівняно з тілом, однак, велика порівняно з міжмолекулярними відстанями). Поле, що діє на молекулу це сума трьох внесків (рис. 5.11): середнє поле \(\Efield \); мінус поле кулі-вирізу, \(+\frac {4\pi }{3}\vect P\) (див. задачу 5.2); і поле дискретних сусідів усередині сфери. Для кубічних кристалів, газів і слабополярних рідин останній внесок за симетрією дорівнює нулю, звідки

\begin{equation} \label {eq:LorentzField} \tcbhighmath { \Efield _\text {лок} = \Efield + \frac {4\pi }{3}\vect P. } \end{equation}

Маючи локальне поле (5.19), запишемо наведений момент молекули саме через нього: \(\vect p = \alpha \Efield _\text {лок}\). Тоді для поляризації (дипольного моменту одиниці об’єму з концентрацією молекул \(n\)) маємо

\begin{equation*} \vect P = n\vect p = n\alpha \Efield _\text {лок} = n\alpha \left (\Efield + \frac {4\pi }{3}\vect P\right ). \end{equation*}

Це — рівняння відносно самої \(\vect P\): вона входить і в ліву, і в праву частину, бо локальне поле саме поляризацією середовища й визначається (задача самоузгоджена — поляризація створює поле, яке, своєю чергою, впливає на поляризацію). Розкриваючи дужки та групуючи доданки з \(\vect P\):

\begin{equation*} \vect P\left (1 - \frac {4\pi n\alpha }{3}\right ) = n\alpha \,\Efield \quad \Longrightarrow \quad \vect P = \frac {n\alpha }{1 - \dfrac {4\pi n\alpha }{3}}\,\Efield . \end{equation*}

Порівнюючи це з означенням поляризовності речовини \(\vect P = \chi \Efield \), знаходимо мікроскопічний вираз для \(\chi \), що вже враховує локальне поле:

\begin{equation} \label {eq:ChiFromAlpha} \chi = \frac {n\alpha }{1 - \dfrac {4\pi n\alpha }{3}}. \end{equation}

Знайдемо діелектричну проникність \(\epsilon = 1+4\pi \chi \). Зручно скористатись тим, що \(\epsilon - 1 = 4\pi \chi \) напряму, а отже \(\epsilon + 2 = (\epsilon -1) + 3 = 4\pi \chi + 3\). Запишемо результат у вигляді:

\begin{equation} \label {eq:ClausiusMossotti} \tcbhighmath { \frac {\epsilon - 1}{\epsilon + 2} = \frac {4\pi }{3}\, n\alpha . } \end{equation}

Цей вираз називається формулою Клаузіуса-Моссотті. Її головна цінність — вона напряму зв’язує макроскопічно вимірювану величину (\(\epsilon \)) з мікроскопічною молекулярною характеристикою (\(\alpha \)) і концентрацією \(n\), причому враховує (на відміну від наївної \(\chi = n\alpha \)) ефекти взаємної поляризації сусідніх молекул. Використовують її в обидва боки: за відомим \(\alpha \) обчислюють \(\epsilon \), або, навпаки, за виміряним \(\epsilon \) й відомою концентрацією \(n\) знаходять \(\alpha \) — один з небагатьох прямих макроскопічних методів вимірювання мікроскопічної характеристики речовини.

Для розрідженого газу (\(\frac {4\pi }{3}n\alpha \ll 1\)) знаменник у (5.20) можна замінити одиницею, і формула зводиться до \(\chi \approx n\alpha \), з якого ми й почали; поправка на локальне поле стає суттєвою вже в густій рідині чи твердому тілі.

5.8 Типи діелектриків та їх застосування

Електрети

Електрети — це діелектрики, здатні тривалий час зберігати поляризацію після зняття зовнішнього поля, яке цю поляризацію створило. Електрет часто називають «електричним аналогом постійного магніту»: подібно до того, як постійний магніт створює магнітне поле без зовнішнього джерела струму, заряджений електрет створює електричне поле \(\Efield \) і поле індукції \(\Dfield \) поза своєю поверхнею навіть за відсутності будь-якого зовнішнього поля (рис. 5.12).

Один з поширених способів виготовлення електретів полягає в тому, що діелектрик нагрівають і одночасно поміщають у сильне електричне поле, так щоб полярні молекули встигли переорієнтуватись і вишикуватись уздовж поля. Якщо потім діелектрик охолодити (не знімаючи поля), теплова рухливість молекул різко падає, повернення диполів у хаотичний стан ускладнюється, і після зняття зовнішнього поля поляризація зберігається протягом місяців, років, а іноді й десятиліть. Такий стан називають «замороженою поляризацією».

Кварц та деякі інші форми діоксиду кремнію є природними електретами. У сучасній техніці більшість електретів виготовляють із синтетичних полімерів — фторопластів, поліпропілену, поліетилентерефталату (ПЕТ) тощо. Електрети широко застосовуються в електретних мікрофонах, дозиметрах, датчиках тиску та інших пристроях, де потрібне джерело сталого електричного поля без витрат енергії на його підтримку.

Сегнетоелектрики

Сегнетоелектрик — це кристалічний діелектрик, який має спонтанну поляризацію всередині окремих доменів, що виникає без будь-якого зовнішнього електричного поля. Домен — це локальна область усередині сегнетоелектрика (типового розміру від кількох до сотень мікрометрів), у межах якої дипольні моменти всіх елементарних комірок кристала мимовільно вишикувані в одному напрямку, тобто поляризація в домені стала (рис. 5.13). Однак у різних доменах напрямки поляризації, як правило, різні, тому сумарна поляризація незбудженого зразка в цілому близька до нуля.

Під впливом зовнішнього поля межі доменів (домені стінки) зміщуються, а самі домени переорієнтуються так, щоб їхня поляризація узгоджувалась із напрямком зовнішнього поля; домени, поляризація яких збігається з полем, ростуть внаслідок сусідніх доменів. У результаті сумарна поляризація зразка зростає значно швидше й до значно більших значень, ніж у звичайних лінійних діелектриках.

Ця перебудова доменної структури має важливу особливість: вона неоднозначна і зберігає «пам’ять» про попередню історію зразка. Залежність поляризації \(P\) від поля \(E\) при циклічній зміні останнього утворює характерну петлю, яку називають петлею гістерезису (рис. 5.14):

• 1. за досить сильного поля \(E\) поляризація виходить на насичення — усі домени вже переорієнтовані, і подальше зростання \(P\) з полем відбувається практично лінійно, як у звичайного діелектрика;

• 2. якщо тепер зменшувати поле до нуля, поляризація не повертається в нуль, а залишається на певному рівні \(P_r\), який називають залишковою (остаточною) поляризацією;

• 3. щоб звести поляризацію до нуля, потрібно прикласти поле протилежного знака — \(-E_c\); величину \(E_c\) називають коерцитивною силою;

• 4. при подальшому зростанні поля протилежного знака поляризація знову виходить на насичення у протилежний бік, а при поверненні поля до нуля залишається на рівні \(-P_r\), — і цикл замикається.

Ці властивості спостерігаються лише в певному діапазоні температур, нижчих за характерну для кожного сегнетоелектрика температуру Кюрі: вище цієї температури тепловий рух руйнує спонтанну доменну структуру, і речовина переходить у звичайний (параелектричний) стан.

Найвідоміші сегнетоелектрики — титанат барію і сегнетова сіль (саме на честь останньої й названо весь цей клас речовин). Завдяки аномально великим значенням діелектричної проникності \(\epsilon \) (яка для сегнетоелектриків може сягати \(\sim 10^3\)–\(10^4\)) сегнетоелектрики застосовують у мініатюрних конденсаторах великої ємності та варикондах (нелінійних конденсаторах зі змінною ємністю), а завдяки сильному зв’язку між поляризацією й механічною деформацією — у широкому спектрі електромеханічних і механоелектричних перетворювачів: датчиках мікропереміщень, гідрофонах, акселерометрах, стабілізаторах частоти тощо.

Інші типи діелектриків

Окрім електретів і сегнетоелектриків, до активних діелектриків — тобто таких, чиї властивості (спонтанна поляризація, гістерезис, зв’язок поляризації з механічною дією чи температурою) самі по собі є функціональними — відносять ще кілька класів речовин. Розглянемо їх коротко.

П’єзоелектрики — кристали без центра симетрії, в яких деформація й поляризація пов’язані лінійно (прямий і зворотний ефекти); приклад — кварц; застосування — резонатори, п’єзодатчики, ультразвукові перетворювачі. Піроелектрики — кристали зі спонтанною поляризацією, що змінюється з температурою (звідси заряд на поверхні); усі піроелектрики — п’єзоелектрики (не навпаки); застосовуються в ІЧ-детекторах і тепловізорах.

Антисегнетоелектрики (напр., ) мають антипаралельну поляризацію сусідніх комірок (сумарно — нуль), але полем стрибком переводяться у сегнетоелектричний стан без залишку — застосовуються в імпульсних накопичувачах енергії.

Рідкі кристали — органічні речовини зі стрижнеподібними молекулами, що утворюють мезоморфну фазу: плинні, як рідина, орієнтаційно впорядковані, як кристал; анізотропна поляризовність (\(\chi _\parallel \neq \chi _\perp \)) дозволяє полю переорієнтовувати молекули — на цьому ґрунтується робота LCD-дисплеїв.

Натомість у переважній більшості технічних застосувань діелектрик відіграє пасивну роль ізолятора або середовища конденсатора, і його властивості цінують не за нелінійністю чи керованістю, а за високою електричною міцністю та малими втратами. До поширених пасивних діелектриків належать: тверді — слюда, кераміка, фторопласт, поліпропілен; рідкі — трансформаторне мастило; газоподібні — елегаз .

Підсумки

На відміну від провідників, у діелектриках майже немає вільних зарядів: усі заряди зв’язані й у полі лише незначно зміщуються. Такий перерозподіл зв’язаних зарядів називають поляризацією. Вона має три мікроскопічні механізми: електронний (зміщення електронної хмари, наведений момент \(\vect p = \alpha \Efield \), є в усіх речовинах), йонний (зміщення підґраток у йонних кристалах) та орієнтаційний (розворот власних дипольних моментів \(\vect p_0\) полярних молекул проти теплового хаосу). Надлишкові зв’язані заряди створюють власне поле \(\Efield '\), яке напрямлене назустріч зовнішньому, тому поле в діелектрику завжди послаблюється. Макроскопічним полем в речовині називають поле, усереднене по фізично нескінченно малому об’єму.

Кількісно поляризацію описує вектор поляризації \(\vect P\) — дипольний момент одиниці об’єму; для лінійних діелектриків \(\vect P = \chi \Efield \). Його нормальна складова на поверхні дорівнює густині зв’язаного заряду, \(P_n = \sigma '\), а в об’ємі \(\divg \vect P = -\rho '\). Введення вектора індукції \(\Dfield = \Efield + 4\pi \vect P\) дозволяє записати теорему Гаусса в речовині через лише вільні заряди: \(\divg \Dfield = 4\pi \rho \), а для лінійного діелектрика \(\Dfield = \epsilon \Efield \), де \(\epsilon = 1 + 4\pi \chi > 1\). Зокрема, поле точкового заряду в однорідному діелектрику слабкіше, ніж у вакуумі, в \(\epsilon \) разів. На межі розділу двох середовищ виконуються граничні умови \(D_{2n} - D_{1n} = 4\pi \sigma \) (де \(\sigma \) — густина вільного заряду) та \(E_{1\tau } = E_{2\tau }\), звідки випливає закон заломлення силових ліній \(\tg \alpha _2/\tg \alpha _1 = \epsilon _2/\epsilon _1\).

Мікроскопічна теорія пов’язує \(\epsilon \) з властивостями молекул. Для полярних діелектриків розподіл Больцмана дає закон Ланжевена-Дебая \(P = np_0^2E/(3kT)\) і, як наслідок, закон Кюрі \(\epsilon = 1 + 4\pi np_0^2/(3kT)\): проникність спадає з температурою. У густому середовищі на молекулу діє не середнє, а локальне поле \(\Efield _\text {лок} = \Efield + \frac {4\pi }{3}\vect P\), і замість наївного \(\chi = n\alpha \) справджується формула Клаузіуса-Моссотті \((\epsilon - 1)/(\epsilon + 2) = 4\pi n\alpha /3\). Окремі класи діелектриків мають особливі властивості: електрети зберігають поляризацію після зняття поля, сегнетоелектрики мають доменну структуру, гістерезис і аномально велике \(\epsilon \) нижче температури Кюрі, а п’єзо- та піроелектрики пов’язують поляризацію з деформацією й температурою. Ми навчилися описувати поле в речовині; наступний розділ присвячено енергії електростатичного поля (гл. 6).

Задачі