Електрика та магнетизм

Розділ 6 Енергія електричного поля

У попередніх розділах ми розібрали, як поводиться електричне поле у вакуумі, у провідниках і в діелектриках. Ми знаємо, як обчислити поле за заданим розподілом зарядів (теорема Гаусса, принцип суперпозиції), і як поводиться поле на межі розділу середовищ. Тепер настав час поставити наступне природне запитання: скільки енергії зберігає електричне поле і як цю енергію використати для обчислення сил, що діють на заряджені тіла?

Цей розділ складається з трьох частин. Спершу ми введемо електричну ємність — величину, яка описує, скільки заряду (а отже, і поля) здатна накопичити система провідників при заданій різниці потенціалів. Далі ми покажемо, що енергія заряджених тіл — це насправді енергія поля, розподілена в просторі з густиною \(w = \Efield \cdot \Dfield /8\pi \). Нарешті, ми навчимось обчислювати пондеромоторні сили — сили, що діють на заряджені провідники й діелектрики в електричному полі, — за допомогою методу віртуальних переміщень.

6.1 Електрична ємність

Ємність відокремленого провідника

Нехай усамітнений (далекий від інших тіл) провідник несе заряд \(q\); тоді, як ми знаємо, весь цей заряд розподіляється по його поверхні, а сам провідник — еквіпотенціальне тіло з деяким потенціалом \(\phi \). Якщо заряд збільшити в \(n\) разів, то, за принципом суперпозиції, поле в кожній точці простору також зросте в \(n\) разів, а отже, в \(n\) разів зросте й робота з переміщення пробного заряду з поверхні провідника на нескінченність, тобто й сам потенціал \(\phi \). Це означає, що відношення

\begin{equation} \label {eq:CapacitorDef} \tcbhighmath { C = \frac {q}{\phi } } \end{equation}

не залежить від заряду провідника і визначається лише його формою, розмірами та властивостями середовища, що його оточує. Цю величину називають електричною ємністю провідника.

Коефіцієнти ємності

Для усамітненого провідника заряд і потенціал пропорційні: \(q = C\phi \). Якщо провідників кілька, потенціал кожного залежить від зарядів усіх сусідів (принцип суперпозиції), тому

\begin{equation} \label {eq:Cij} q_i = \sum _j C_{ij}\,\phi _j. \end{equation}

Коефіцієнти \(C_{ij}\) залежать лише від форми, розмірів і взаємного розташування провідників (і від проникності середовища), але не від самих зарядів чи потенціалів.

Діагональні \(C_{ii}\) — власні ємності: заряд провідника \(i\) при одиничному власному потенціалі й заземлених сусідах. Недіагональні \(C_{ij}\) (\(i\neq j\)) — коефіцієнти взаємного впливу: заряд, наведений на заземленому провіднику \(i\), коли сусід \(j\) піднято до одиничного потенціалу.

Оцінка зверху для \(C_{12}\). Розглянемо пару провідників з однаковою власною ємністю \(C_{11}=C_{22}\equiv C_0\) (наприклад, дві однакові кулі). Піднімемо потенціал провідника 1 до одиниці, а провідник 2 заземлимо (\(\phi _2=0\)). Тоді, згідно з (6.2), заряд першого провідника дорівнює \(q_1=C_{11}=C_0\), а на другому наводиться заряд \(q_2=C_{12}\) (від’ємний, за щойно сформульованим правилом знаків).

Фізично \(q_2\) — це заряд, «перехоплений» тими силовими лініями поля провідника 1, що замикаються саме на заземленому сусідові (рис. 6.1); решта ліній іде на нескінченність (або на інші тіла). Оскільки сусід не може перехопити більше силових ліній, ніж їх випустив сам провідник 1, наведений заряд не може за модулем перевищити початковий:

\begin{equation} \label {eq:OffDiagonalBound} \tcbhighmath { |C_{12}| \le C_0. } \end{equation}

Рівність \(C_{12}\to -C_0\) означає, що всі силові лінії від провідника 1 замикаються на провіднику 2 — жодна не йде на нескінченність, тобто екранування повне. Саме до цієї межі прямує тісно зближена пара провідників — конденсатор, з яким ми детальніше познайомимось нижче.

Два провідники: взаємна ємність

Найпоширеніший спосіб зарядити провідник — перенести частину заряду з другого: тоді на одному з’являється заряд \(+q\), на іншому \(-q\). Для такого — дуже поширеного на практиці — стану зручно ввести окрему характеристику пари замість громіздкої матриці \(C_{ij}\):

\begin{equation} \label {eq:MutualCapacitanceDef} \tcbhighmath { C = \frac {q}{\phi _+ - \phi _-} } \end{equation}

де \(\phi _\pm \) — потенціали провідників із зарядами \(\pm q\). Величину (6.4) називають взаємною ємністю пари.

Щоб виразити \(C\) через коефіцієнти \(C_{ij}\), підставимо \(q_1=+q\), \(q_2=-q\) у систему (6.2) (з урахуванням симетрії \(C_{21}=C_{12}\)):

\begin{equation*} q = C_{11}\phi _1 + C_{12}\phi _2, \qquad -q = C_{12}\phi _1 + C_{22}\phi _2. \end{equation*}

Розв’язавши цю лінійну систему відносно \(\phi _1\), \(\phi _2\) (звичайним оберненням \(2\times 2\)-матриці), знаходимо, що різниця потенціалів пропорційна заряду:

\begin{equation*} \phi _1 - \phi _2 = \frac {q\,(C_{11}+C_{22}+2C_{12})}{C_{11}C_{22}-C_{12}^2}, \end{equation*}

звідки за означенням (6.4)

\begin{equation} \label {eq:MutualCapacitanceGeneral} \tcbhighmath { C = \frac {C_{11}C_{22}-C_{12}^2}{C_{11}+C_{22}+2C_{12}}. } \end{equation}

Для симетричної пари \(C_{11}=C_{22}\equiv C_0\) чисельник розкладається як різниця квадратів, \(C_0^2-C_{12}^2=(C_0-C_{12})(C_0+C_{12})\), а знаменник дорівнює \(2(C_0+C_{12})\); після скорочення спільного множника \((C_0+C_{12})\):

\begin{equation} \label {eq:SymmetricPairCap} \tcbhighmath { C = \frac {C_0 - C_{12}}{2}. } \end{equation}

Ця формула добре узгоджується з оцінкою (6.3) і показує, як взаємна ємність зростає в міру екранування: якщо взаємний вплив зникає (\(C_{12}\to 0\), провідники далеко один від одного), то \(C\to C_0/2\) — це просто послідовне з’єднання двох однакових ємностей \(C_0\); якщо ж екранування майже повне (\(C_{12}\to -C_0\), гранично допустиме за (6.3)), то \(C\to C_0\) — поле майже все замкнене між обкладками. Саме другий режим реалізується в конденсаторі.

Приклад: дві далекі кулі. Дві кулі на відстані \(b\), значно більшій за їхні розміри (рис. 6.2). Нехай \(C_1\), \(C_2\) — ємності куль поодинці (\(C_{11}\to C_1\), \(C_{22}\to C_2\) при \(b\to \infty \)).

Зарядимо кулі \(\pm q\) і врахуємо вплив сусідньої кулі як точкового заряду на відстані \(b\):

\begin{equation*} \phi _+ = \frac {q}{C_1} - \frac {q}{b}, \qquad \phi _- = -\frac {q}{C_2} + \frac {q}{b}. \end{equation*}

Звідси \(\phi _+-\phi _- = q\left (\dfrac 1{C_1}+\dfrac 1{C_2}-\dfrac 2b\right )\), тому в цьому наближенні (вплив сусідньої кулі враховано як поле точкового заряду, а її поляризацією, яка дає поправки порядку \(1/b^2\), знехтувано) взаємна ємність

\begin{equation*} C = \frac {C_1 C_2}{C_1 + C_2 - \dfrac {2C_1C_2}{b}}. \end{equation*}

Оскільки \(b\) набагато перевищує розміри куль (а отже, і \(C_1,C_2\)), параметр \(\eta = \dfrac {2C_1C_2}{(C_1+C_2)b}\) малий, \(\eta \ll 1\) (тут \(\eta \) — допоміжне позначення малого параметра, не діелектрична проникність, якої в цьому прикладі немає). Винісши \(C_1+C_2\) у знаменнику й скориставшись \((1-\eta )^{-1}\approx 1+\eta \), отримуємо

\begin{equation} \label {eq:TwoSpheresCap} \tcbhighmath { C \approx \frac {C_1C_2}{C_1+C_2}\left (1 + \frac {C_1C_2}{C_1+C_2}\frac {2}{b}\right ). } \end{equation}

У головному наближенні (\(b\to \infty \)) взаємна ємність дорівнює ємності послідовного з’єднання; поправка описує слабкий взаємний вплив куль.

Той самий результат випливає й з коефіцієнтів \(C_{ij}\): якщо провідник 2 заземлити, для утримання \(\phi _2=0\) на ньому має навестись заряд \(q_2\approx -C_2q_1/b\) (компенсація поля точкового заряду \(q_1\) на відстані \(b\)), звідки \(C_{12}\approx -C_1C_2/b\) — від’ємний, як і належить за загальним правилом знаків. Підставляючи \(C_{11}\approx C_1\), \(C_{22}\approx C_2\), \(C_{12}\approx -C_1C_2/b\) у загальну формулу (6.5), маємо

\begin{equation*} C \approx \frac {C_1C_2 - C_1^2C_2^2/b^2}{C_1+C_2-2C_1C_2/b}. \end{equation*}

У чисельнику поправка — порядку \(1/b^2\), тому в головному наближенні чисельник \(\approx C_1C_2\); знаменник же дає саме ту поправку порядку \(1/b\), яку ми вже врахували вище. Отже, розклад відтворює (6.7): обидва підходи узгоджені, і саме знак \(C_{12}\) тут принциповий — зворотний знак дав би суперечливу відповідь.

Конденсатор

Конденсатор — система з двох провідників (обкладок), розташованих так близько (зазвичай через тонкий шар діелектрика), що майже все поле зосереджене у проміжку між ними. Завдяки такому екрануванню взаємна ємність конденсатора, на відміну від ємності одинокого провідника чи пари віддалених провідників, практично не залежить від інших тіл поблизу — саме тому вона є зручною й відтворюваною характеристикою. Формула (6.4) лишається тією самою; конденсатор — окремий випадок пари провідників з екранованим полем.

Наскільки повним може бути це екранування, видно з (6.6): коли обкладки зближуються, коефіцієнт взаємного впливу прямує до своєї межі \(C_{12}\to -C_0\) (оцінка (6.3)), а отже,

\begin{equation*} C \to C_0, \end{equation*}

тобто взаємна ємність прямує до власної. У цій границі поле майже все замкнене між обкладками, і \(C\) перестає залежати від того, що відбувається далеко.

З’єднання конденсаторів

На практиці конденсатори часто з’єднують у батареї — послідовно або паралельно, — щоб отримати потрібну сумарну ємність.

Послідовне з’єднання. Нехай \(n\) конденсаторів з’єднано послідовно (рис. 6.3а). Оскільки обкладки сусідніх конденсаторів, з’єднані між собою провідником, електрично ізольовані від решти кола, повний заряд кожної внутрішньої пари обкладок мусить залишатися нульовим: якщо на крайню ліву обкладку батареї нанести заряд \(+q\), то шляхом електростатичної індукції той самий за модулем заряд \(q\) з’явиться на кожному конденсаторі батареї. Загальна різниця потенціалів (напруга) на батареї дорівнює сумі напруг на окремих конденсаторах:

\begin{equation*} U = U_1 + U_2 + \ldots + U_n = \frac {q}{C_1} + \frac {q}{C_2} + \ldots + \frac {q}{C_n}. \end{equation*}

Оскільки ємність батареї за означенням \(C = q/U\), маємо

\begin{equation} \label {eq:SeriesCap} \tcbhighmath { \frac 1C = \sum \limits _{i=1}^n \frac 1{C_i}. } \end{equation}

Паралельне з’єднання. Нехай тепер \(n\) конденсаторів з’єднано паралельно (рис. 6.3б): усі ліві обкладки з’єднані між собою і мають спільний потенціал, так само як і всі праві. Тому напруга на кожному конденсаторі однакова і дорівнює загальній напрузі батареї \(U\), а заряди на окремих конденсаторах додаються:

\begin{equation*} q = q_1 + q_2 + \ldots + q_n = C_1 U + C_2 U + \ldots + C_n U. \end{equation*}

Звідси

\begin{equation} \label {eq:ParallelCap} \tcbhighmath { C = \sum \limits _{i=1}^n C_i. } \end{equation}

Обчислення ємності найпростіших конденсаторів

Усі задачі на обчислення ємності розв’язуються за єдиним алгоритмом:

• 1. Задати заряд \(q\) на обкладках і знайти розподіл поля \(\Efield \) між ними (за теоремою Гаусса, з урахуванням діелектрика, якщо він є).

• 2. Обчислити різницю потенціалів \(\Delta \phi = \phi _+ - \phi _- = \int \Efield \cdot d\symbfscr {l}\) уздовж силової лінії.

• 3. За означенням (6.4) знайти \(C = q/\Delta \phi \).

Продемонструємо цей алгоритм на кількох типових прикладах. Скрізь вважатимемо, що простір між обкладками заповнений однорідним діелектриком із проникністю \(\epsilon \) (результати про поле в діелектрику — з розділу 5).

Ємність усамітненої кулі. Провідна куля радіусом \(R\), що несе заряд \(Q\), створює поза собою поле точкового заряду, а її власний потенціал дорівнює потенціалу на поверхні, \(\phi = Q/(\epsilon R)\). Звідси відразу

\begin{equation} \label {eq:SphereCap} \tcbhighmath { C = \epsilon R. } \end{equation}

Цей простий результат корисно пам’ятати як орієнтир: ємність провідного тіла має порядок величини його лінійних розмірів (помножених на \(\epsilon \)).

Плоский конденсатор. Нехай обкладки — дві паралельні пластини площею \(S\) кожна, розташовані на відстані \(d \ll \sqrt {S}\) одна від одної (щоб знехтувати крайовими ефектами), а простір між ними заповнений діелектриком з проникністю \(\epsilon \). Поле між обкладками однорідне, \(E = 4\pi \sigma /\epsilon = 4\pi q /(\epsilon S)\), тому різниця потенціалів \(\Delta \phi = Ed = 4\pi qd/(\epsilon S)\), і

\begin{equation} \label {eq:FlatCap} \tcbhighmath { C = \frac {\epsilon S}{4\pi d}. } \end{equation}

Сферичний конденсатор. Обкладки — дві концентричні сфери радіусів \(R_1 < R_2\), простір між якими заповнений діелектриком з проникністю \(\epsilon \). За теоремою Гаусса поле між обкладками таке саме, як і поле точкового заряду \(q\) у діелектрику, \(E = q/(\epsilon r^2)\). Різниця потенціалів

\begin{equation*} \Delta \phi = \int \limits _{R_1}^{R_2} E\, dr = \frac {q}{\epsilon }\left (\frac 1{R_1} - \frac 1{R_2}\right ) = \frac {q}{\epsilon }\frac {R_2 - R_1}{R_1 R_2}, \end{equation*}

звідки

\begin{equation} \label {eq:SphericalCap} \tcbhighmath { C = \frac {\epsilon R_1 R_2}{R_2 - R_1}. } \end{equation}

Легко переконатись, що при \(R_2 \to \infty \) (друга обкладка йде на нескінченність) формула (6.13) переходить у формулу (6.11) для усамітненої кулі, як і повинно бути.

Циліндричний конденсатор. Обкладки — дві коаксіальні циліндричні поверхні радіусів \(R_1 < R_2\) і довжини \(\ell \gg R_2\) (щоб знехтувати крайовими ефектами), простір між ними заповнений діелектриком з проникністю \(\epsilon \). За теоремою Гаусса поле між обкладками \(E = \dfrac {2q}{\epsilon \ell r}\) (поле нескінченної зарядженої нитки в діелектрику), тому

\begin{equation*} \Delta \phi = \int \limits _{R_1}^{R_2} E\, dr = \frac {2q}{\epsilon \ell }\ln \frac {R_2}{R_1}, \end{equation*}

звідки

\begin{equation} \label {eq:CylindricalCap} \tcbhighmath { C = \frac {\epsilon \ell }{2\ln \left (R_2/R_1\right )}. } \end{equation}

6.2 Енергія електричного поля

Взаємна енергія системи точкових зарядів

Щоб зблизити два точкових заряди \(q_1\) і \(q_2\) з нескінченності до відстані \(r_{12}\) один від одного, потрібно виконати проти сил поля роботу \(A = q_1q_2/r_{12}\). Цю роботу і ототожнюють з взаємною енергією пари зарядів: \(U_{12} = q_1q_2/r_{12}\). Для системи з \(n\) точкових зарядів (рис. 6.4) сумарна взаємна енергія набирається з енергій усіх можливих пар:

\begin{equation} \label {eq:PairEnergy} \tcbhighmath { W = \frac 12 \sum \limits _{i=1}^n \sum \limits _{\substack {j=1\\ j\neq i}}^n \frac {q_iq_j}{r_{ij}}, } \end{equation}

де множник \(1/2\) компенсує подвійний перелік кожної пари (доданок з індексами \(i,j\) і доданок з індексами \(j,i\) описують одну й ту саму пару).

Формулу (6.15) зручно переписати через потенціал. Потенціал поля в точці розташування \(i\)-го заряду, створюваний усіма іншими зарядами (крім самого \(i\)-го, поле якого в точці свого ж розташування не визначене),

\begin{equation*} \phi _i = \sum \limits _{\substack {j=1 \\ j \neq i}}^n \frac {q_j}{r_{ij}}, \end{equation*}

тому

\begin{equation} \label {eq:SystemEnergyViaPotential} \tcbhighmath { W = \frac 12 \sum \limits _i q_i \phi _i. } \end{equation}

Електростатична енергія тіла з неперервним розподілом заряду

Для тіл з неперервним розподілом заряду — об’ємною густиною \(\rho (\vect r)\) та (якщо є) поверхневою густиною \(\sigma (\vect r)\) — формулу (6.16) узагальнюють природним чином, замінюючи суму на інтеграл, а \(q_i\) — на елемент заряду \(\rho \, dV\) або \(\sigma \, dS\):

\begin{equation} \label {eq:BodyEnergy} \tcbhighmath { W = \frac 12 \iiint \limits _V \rho (\vect r)\phi (\vect r)\, dV + \frac 12 \iint \limits _S \sigma (\vect r)\phi (\vect r)\, dS. } \end{equation}

Приклад 1. Нехай куля радіуса \(R\) несе повний заряд \(Q\), рівномірно розподілений по поверхні. Потенціал усюди на поверхні однаковий і дорівнює \(\phi = Q/R\), тому

\begin{equation} \label {eq:SphereEnergySurface} W = \frac 12 \iint \limits _S \sigma \phi \, dS = \frac 12\, \sigma \, \frac {Q}{R}\cdot 4\pi R^2 = \frac {Q^2}{2R}. \end{equation}

Приклад 2. Нехай тепер той самий заряд \(Q\) розподілений рівномірно по об’єму кулі. Обчислення (з урахуванням того, що потенціал всередині рівномірно зарядженої кулі залежить від \(r\)) дає інший результат:

\begin{equation} \label {eq:SphereEnergyVolume} W = \frac 35\, \frac {Q^2}{R}. \end{equation}

Енергія зарядженого конденсатора

Розглянемо процес зарядки конденсатора як послідовне перенесення малих порцій заряду \(dq\) з однієї обкладки на іншу (рис. 6.5). Коли на обкладках уже є заряд \(q\) (а різниця потенціалів дорівнює \(\Delta \phi = q/C\)), перенесення чергової порції \(dq\) вимагає роботи \(dW = \Delta \phi \, dq = \dfrac {q\,dq}{C}\). Інтегруючи від нульового заряду до кінцевого значення \(q\), знаходимо енергію зарядженого конденсатора:

\begin{equation} \label {eq:CapacitorEnergy} \tcbhighmath { W = \frac {q^2}{2C} = \frac {C\Delta \phi ^2}{2}. } \end{equation}

Густина енергії електричного поля

Застосуємо результат (6.20) до плоского конденсатора. Оскільки поле в ньому однорідне, \(\Delta \phi = Ed\), а ємність дається формулою (6.12), маємо

\begin{equation*} W = \frac 12 C \Delta \phi ^2 = \frac 12\,\frac {\epsilon S}{4\pi d}\,(Ed)^2 = \frac {\epsilon E^2}{8\pi }\, V, \end{equation*}

де \(V = Sd\) — об’єм простору між обкладками, тобто об’єм, що його займає поле. Звідси природно ввести об’ємну густину енергії поля

\begin{equation} \label {eq:CapacitorEnergyDensity} \tcbhighmath { w = \frac {\epsilon E^2}{8\pi } = \frac {ED}{8\pi } } \end{equation}

(останню рівність отримано підстановкою \(D = \epsilon E\); див. розділ 5).

Густина енергії електричного поля (строге виведення)

Формулу (6.21) отримано для окремого випадку однорідного поля, локалізованого в проміжку між обкладками плоского конденсатора. Виникає природне запитання: чи має вона більш загальний характер, чи є наслідком саме цієї спрощеної геометрії? Покажемо, що вираз для густини енергії електричного поля залишається справедливим для довільного електростатичного поля — однорідного чи ні, локалізованого в скінченній області чи створеного як завгодно розподіленими зарядами, — і виведемо його строго, виходячи з енергії взаємодії зарядів.

Нехай заряд системи змінюється на нескінченно малу величину \(\delta \rho (\vect r)\). Оскільки енергія \(W=\tfrac 12\iiint \rho \phi \,dV\) квадратична за \(\rho \) (адже сам потенціал \(\phi \) лінійно виражається через \(\rho \)), пряме варіювання дає внесок не лише від зміни \(\rho \) при фіксованому \(\phi \), а й від відповідної зміни самого потенціалу. Записуючи \(\phi \to \phi +\delta \phi \), де \(\delta \phi (\vect r)=\iiint \delta \rho (\vect r')/|\vect r-\vect r'|\,dV'\) — потенціал, створений приростом заряду, — та користуючись симетрією потенціалу точкового заряду,

\begin{equation*} \iiint \rho \,\delta \phi \,dV = \iiint \!\!\iiint \frac {\rho (\vect r)\,\delta \rho (\vect r')}{|\vect r-\vect r'|}\,dV\,dV' = \iiint \delta \rho \,\phi \,dV, \end{equation*}

бо відстань між точками не залежить від порядку, \(|\vect r-\vect r'|=|\vect r'-\vect r|\). Отже,

\begin{equation} \label {eq:DeltaW} \tcbhighmath { \delta W = \iiint \limits _V \delta \rho (\vect r)\, \phi (\vect r)\, dV. } \end{equation}

За теоремою Гаусса для вектора \(\Dfield \) у диференціальній формі, \(\delta \rho = \dfrac 1{4\pi }\divg \delta \Dfield \), тому

\begin{equation*} \delta W = \frac 1{4\pi } \iiint \limits _V \left (\divg \delta \Dfield \right ) \phi \, dV. \end{equation*}

Скористаємось векторною тотожністю \(\divg (\phi \, \delta \Dfield ) = \phi \, \divg \delta \Dfield + \delta \Dfield \cdot \vect \nabla \phi \), звідки

\begin{equation*} \delta W = \frac 1{4\pi } \iiint \limits _V \divg \left (\phi \, \delta \Dfield \right ) dV - \frac 1{4\pi } \iiint \limits _V \delta \Dfield \cdot \vect \nabla \phi \, dV. \end{equation*}

Поширимо інтегрування на весь (нескінченний) простір, обравши \(V\) як велику кулю радіуса \(R\) із центром десь усередині системи зарядів, і розглянемо границю \(R\to \infty \). Перший доданок за теоремою Остроградського-Гаусса перетворюється на потік крізь сферу \(S_R\):

\begin{equation*} \oiint \limits _{S_R} \phi \,\delta \Dfield \cdot d\vect S = \oiint \limits _{S_R} \phi \,\delta D_r\, dS. \end{equation*}

Для обмеженої системи зарядів на великих відстанях \(\phi \sim q/R\), а \(\delta D_r\sim 1/R^2\), тому підінтегральний вираз спадає як \(1/R^3\), тоді як площа сфери зростає як \(R^2\). Отже, весь поверхневий інтеграл спадає як \(1/R\) і прямує до нуля при \(R\to \infty \):

\begin{equation*} \oiint \limits _{S_R} \phi \,\delta D_r\, dS \;\sim \; \frac 1R \;\xrightarrow [R\to \infty ]{}\; 0. \end{equation*}

Тому перший доданок зникає, і залишається лише

\begin{equation*} \delta W = -\frac 1{4\pi } \iiint \limits _V \delta \Dfield \cdot \vect \nabla \phi \, dV = \iiint \limits _V \frac {\Efield \cdot \delta \Dfield }{4\pi }\, dV, \end{equation*}

де ми скористались зв’язком \(\Efield = -\vect \nabla \phi \).

Для лінійного діелектрика (\(\Dfield = \epsilon \Efield \)) це співвідношення інтегрується елементарно (\(\Efield \cdot \delta \Dfield = \tfrac 12\delta (\Efield \cdot \Dfield )\)), і ми приходимо до загального результату:

\begin{equation} \label {eq:GeneralEnergyDensity} \tcbhighmath { W = \iiint \limits _V \frac {\Efield \cdot \Dfield }{8\pi }\, dV, \qquad w = \frac {\Efield \cdot \Dfield }{8\pi } = \frac {\epsilon E^2}{8\pi }. } \end{equation}

Власна та взаємна енергія зарядів

Порівняємо два, на перший погляд, різні вирази для енергії системи зарядів: «дискретну» формулу (6.15), \(W = \tfrac 12\sum q_iq_j/r_{ij}\), і «польову» формулу (6.23), \(W = \int E^2/(8\pi )\, dV\). Перша з них, узагалі кажучи, може набувати як додатних, так і від’ємних значень (притягання різнойменних зарядів дає від’ємний внесок); друга ж, як інтеграл від невід’ємної величини \(E^2\), — завжди невід’ємна. Це здається суперечністю, проте насправді обидві формули описують не зовсім те саме.

Розглянемо поле системи двох зарядів, \(\Efield = \Efield _1 + \Efield _2\). Тоді

\begin{equation*} W = \int \limits _V \frac {E^2}{8\pi }\, dV = \int \limits _V \frac {E_1^2}{8\pi }\, dV + \int \limits _V \frac {E_2^2}{8\pi }\, dV + \int \limits _V \frac {\Efield _1\cdot \Efield _2}{4\pi }\, dV. \end{equation*}

Перші два доданки — це власна енергія кожного із зарядів окремо; вони завжди додатні,

\begin{equation*} \int \limits _V \frac {E_1^2}{8\pi }\, dV > 0, \qquad \int \limits _V \frac {E_2^2}{8\pi }\, dV > 0, \end{equation*}

і не залежать від взаємного розташування зарядів. Третій доданок — це взаємна (інтерференційна) енергія

\begin{equation} \label {eq:SelfMutualEnergy} W_\text {вз} = \int \limits _V \frac {\Efield _1\cdot \Efield _2}{4\pi }\, dV, \end{equation}

яка може мати будь-який знак залежно від взаємного розташування й знаків зарядів, і саме вона точно відповідає «дискретній» формулі \(q_1q_2/r_{12}\) з попереднього пункту.

6.3 Пондеромоторні сили

Термін пондеромоторні сили походить від латинських слів pondus (вага, тягар) та motor (той, що рухає). Історично цей термін виник у механіці для позначення сил, які здатні викликати механічний рух тіла. У контексті електродинаміки поняття набуло вужчого значення: пондеромоторними називають механічні сили, що діють на макроскопічні заряджені тіла (провідники, діелектрики, магнітні матеріали) з боку електромагнітного поля.

Метод віртуальних переміщень

Одним з найефективніших способів обчислення сил, що діють на заряджені провідники й діелектрики, є метод віртуальних переміщень. Його ідея полягає в тому, щоб обчислити роботу сил поля \(\delta A = F_x\, dx\) при уявному (віртуальному) нескінченно малому зміщенні тіла на \(dx\) у напрямку, що нас цікавить, після чого шукана сила знаходиться просто як

\begin{equation*} F_x = \frac {\delta A}{dx}. \end{equation*}

Сила при сталому заряді провідників

Нехай на провідниках підтримується сталий заряд, \(q = \const \), тобто в системі немає зовнішніх джерел енергії (батарей тощо). За таких умов уся робота \(\delta A\) внутрішніх сил системи при віртуальному переміщенні відбувається виключно за рахунок зменшення власної електричної енергії системи \(W\):

\begin{equation*} \delta A = -\left (dW\right )_{q=\const }. \end{equation*}

Якщо шукана сила \(F_x\) здійснює роботу \(\delta A = F_x\, dx\) при зміщенні тіла на \(dx\), то

\begin{equation} \label {eq:ForceConstQ} \tcbhighmath { F_x = -\left .\frac {dW}{dx}\right |_{q=\const }. } \end{equation}

Сила при сталій різниці потенціалів

Нехай тепер, навпаки, на провідниках підтримуються сталими потенціали, \(\Delta \phi = \const \) (наприклад, провідники приєднані до батареї, яка підживлює заряди в міру переміщення тіл і виконує при цьому роботу). За законом збереження енергії, робота джерела \(\delta A_\text {дж}\) витрачається одночасно на виконання механічної роботи \(F_x\, dx\) і на зміну енергії поля \(dW\):

\begin{equation*} \delta A_\text {дж} = F_x\, dx + dW. \end{equation*}

З іншого боку, робота джерела з перенесення заряду \(\delta q\) через різницю потенціалів \(\Delta \phi \) дорівнює \(\delta A_\text {дж} = \delta q\, \Delta \phi \); оскільки \(q = C\Delta \phi \), а \(\Delta \phi = \const \), маємо \(\delta q = \Delta \phi \, \delta C\), тобто \(\delta A_\text {дж} = \Delta \phi ^2\, \delta C\). Водночас, за формулою (6.20), \(dW = \tfrac 12\Delta \phi ^2\, \delta C\) (енергія при сталому \(\Delta \phi \) зростає разом із ємністю). Підставляючи, знаходимо

\begin{equation*} F_x\, dx = \Delta \phi ^2\,\delta C - \frac 12\Delta \phi ^2\,\delta C = \frac 12\Delta \phi ^2\,\delta C = dW, \end{equation*}

звідки

\begin{equation} \label {eq:ForceConstPhiE} \tcbhighmath { F_x = +\left .\frac {dW}{dx}\right |_{\Delta \phi =\const }. } \end{equation}

Підсумки

Усі результати цього розділу спираються на одну спільну ідею: електричне поле — не допоміжна розрахункова абстракція, а фізичний об’єкт, який сам є носієм енергії. Ємність описує, скільки заряду (а отже, і поля) система здатна накопичити при заданій різниці потенціалів; енергія поля визначається інтегралом густини \(w = \Efield \cdot \Dfield /8\pi \) за областю, де це поле існує; а пондеромоторні сили, що діють на провідники й діелектрики, — це прояв фундаментального прагнення будь-якої фізичної системи до мінімуму енергії.

Практично з цього розділу варто винести три речі. По-перше, ємність будь-якої системи провідників обчислюється за єдиним алгоритмом: задати заряд, знайти поле, проінтегрувати різницю потенціалів, поділити. По-друге, густина енергії поля \(w = \Efield \cdot \Dfield /8\pi \) — формула загальна, а не лише для плоского конденсатора: вона справедлива для довільного електростатичного поля. По-третє, сили, що діють на провідники й діелектрики, найпростіше знаходити методом віртуальних переміщень — через похідну енергії за координатою, з урахуванням того, яка величина (заряд чи потенціал) підтримується сталою.

Задачі