Електрика та магнетизм

Розділ 18 Коливальні процеси в електричних колах

Досі електричне і магнітне поле розглядалися переважно як самостійний фізичний об’єкт: ми записали рівняння Максвелла, з’ясували, що вони допускають розв’язки у вигляді електромагнітних хвиль, і простежили, як збурення поля поширюється в просторі зі скінченною швидкістю \(c\). Проте є практично важливі задачі, де поле не поширюється у вільному просторі, а виявляється «замкненим» в електричному колі — системі провідників, конденсаторів і котушок, з’єднаних певним чином.

Виникає природне питання: чи можна описувати процеси в такому колі, не розв’язуючи щоразу повні рівняння Максвелла, а обмежившись значно простішими співвідношеннями — законом Ома, правилами Кірхгофа, формулами для заряду конденсатора чи струму в котушці? Виявляється, що так, — але лише за певної умови, яка й дозволяє знехтувати хвильовим (запізненим) характером поля всередині кола. Ця умова називається квазістаціонарним наближенням, і саме з неї ми розпочнемо вивчення коливальних процесів в електричних колах.

18.1 Квазістаціонарне наближення

Процес вважається квазістаціонарним, якщо миттєві значення струму в усіх ділянках провідника (нерозгалуженого кола) однакові, а електричні поля в конденсаторах такі самі, як в електростатиці.

Сформулюємо умову квазістаціонарності. По електричному колу поширюється електромагнітний сигнал, швидкість якого порядку швидкості світла. Якщо частота сигналу \(\omega \), то відповідна довжина хвилі порядку \(\lambda = 2\pi c/\omega = cT\), де \(T = 2\pi /\omega \) — характерний період коливань або змін сигналу. Якщо довжина кола \(l\) така, що

\begin{equation} \label {eq:quasistationary_condition} l \ll \lambda , \qquad \text {або} \qquad l \ll cT, \end{equation}

то в усіх ділянках кола струми й напруги змінюються синхронно, в одній і тій самій фазі. Оскільки час проходження сигналом усього кола \(\tau \sim l/c\), то умову квазістаціонарності можна записати у вигляді

\begin{equation} \label {eq:quasistationary_time} \tau \ll T. \end{equation}

Далі ми розглядаємо саме квазістаціонарні процеси. Це означає, що ми нехтуємо скінченним часом поширення електромагнітної взаємодії вздовж кола й вважаємо, що струм і напруга встигають узгодитися по всьому колу в кожний момент часу. Іншими словами, коло описується не як система з розподіленими параметрами (довга лінія), а як система із зосередженими елементами — резисторами \(R\), котушками \(L\) і конденсаторами \(C\), з’єднаними ідеальними провідниками. Саме в межах цього наближення справедливі закон Ома, правила Кірхгофа та рівняння коливального контуру, тож усі подальші результати — вільні й вимушені коливання, змінний струм, резонанс — чинні лише тією мірою, якою виконується умова (18.2).

18.2 Вільні коливання в коливальному контурі

Рівняння коливального контуру

Нехай є електричне коло, що включає ємність (конденсатор) \(C\), індуктивність \(L\), опір \(R\) і стороннє джерело електрорушійної сили (ЕРС) \(\emf \) (рис. 18.1). Складемо рівняння, що визначає зміну струму в колі¹. Застосуємо теорему про циркуляцію електричного поля до замкнутого контуру \(\Gamma = \{12341\}\):

\begin{equation} \label {eq:circulation} \oint \limits _{\{12341\}} E_l \, dl = -\frac {d\Phi }{dt}. \end{equation}

В праву частину цієї рівності входить ЕРС індукції, що виникає в котушці індуктивності при зміні магнітного потоку. Додатковий облік цього елемента кола в лівій частині рівності вже не потрібен. Будемо вважати також, що весь опір кола об’єднано в один елемент \(R\). Виберемо за додатний напрямок обходу контуру той, що вказано на рис. 18.1 для струму \(I\).

Виділимо тепер у циркуляції окремі ділянки, що містять по одному суттєвому елементу кола:

\begin{equation} \label {eq:circulation_decomposed} \oint \limits _{\{12341\}} E_l \, dl = \int \limits _{(12)} E_l \, dl + \int \limits _{(23)} E_l \, dl + \int \limits _{(34)} E_l \, dl + \int \limits _{(41)} E_l \, dl. \end{equation}

Доданок \(\int \limits _{(41)} E_l \, dl = 0\), оскільки на цій ділянці немає елементів, що змінюють потенціал. Доданок

\begin{equation} \label {eq:phi12} \int \limits _{(12)} E_l \, dl = \phi _1 - \phi _2 \end{equation}

визначає зміну потенціалу на ділянці 12 і враховує стороннє джерело (стік) енергії — електрорушійну силу. ЕРС вводиться рівністю

\begin{equation} \label {eq:EMF_definition} \emf = \phi _2 - \phi _1 \end{equation}

і дає приріст потенціалу при переході цього елемента.

Розглянемо ділянку контуру 23. На цій ділянці з не врахованих раніше елементів присутні тільки провідники з опором \(R\), тому

\begin{equation} \label {eq:IR} \int \limits _{(23)} E_l \, dl = IR. \end{equation}

Ділянка контуру 34 містить конденсатор. Вважаємо, що на верхній пластині є заряд \((+q)\), а на нижній \((-q)\). Тоді струм у додатному напрямку пов’язаний із зарядом \(q\) співвідношенням \(I = dq/dt\) і відповідає заряджанню верхньої пластини конденсатора. За означенням напруга на конденсаторі є \(V = \phi _3 - \phi _4\). З урахуванням цього маємо

\begin{equation} \label {eq:capacitor_voltage} \int \limits _{(34)} E_l \, dl = \phi _3 - \phi _4 = V = \frac {q}{C}, \end{equation}

де введено ємність конденсатора \(C = q/V\).

З урахуванням сказаного отримуємо

\begin{equation} \label {eq:circuit_equation_raw} -\emf + IR + \frac {q}{C} = -\frac {d\Phi }{dt}. \end{equation}

Перепишемо це рівняння, маючи на увазі зв’язок магнітного потоку і струму \(\Phi = LI\):

\begin{equation} \label {eq:circuit_equation} \tcbhighmath { L\frac {dI}{dt} + IR + \frac {q}{C} = \emf . } \end{equation}

Рівняння вільних коливань

Нехай у замкненому колі, показаному на рис. 18.1, відсутнє джерело ЕРС. Тоді рівняння (18.10) набирає вигляду

\begin{equation} \label {eq:free_oscillation_raw} L\frac {dI}{dt} + IR + \frac {q}{C} = 0. \end{equation}

Введемо позначення

\begin{equation} \label {eq:definitions} 2\gamma = \frac {R}{L}, \qquad \omega _0^2 = \frac {1}{LC} \end{equation}

і врахуємо, що \(I = dq/dt\). Тоді отримаємо таке рівняння:

\begin{equation} \label {eq:free_oscillation} \tcbhighmath { \ddot {q} + 2\gamma \dot {q} + \omega _0^2 q = 0. } \end{equation}

Це рівняння описує поведінку заряду на конденсаторі за відсутності сторонніх джерел енергії і називається рівнянням вільних коливань.

Гармонічні коливання

Нехай опір кола дорівнює нулю: \(R = 0\). Тоді \(\gamma = 0\), і ми приходимо до рівняння гармонічного осцилятора:

\begin{equation} \label {eq:harmonic_equation} \ddot {q} + \omega _0^2 q = 0. \end{equation}

Розв’язок цього рівняння має вигляд

\begin{equation} \label {eq:harmonic_solution} q(t) = q_m \cos (\omega _0 t + \phi _0). \end{equation}

Значення амплітуди \(q_m\) і початкової фази \(\phi _0\) коливань визначаються з початкових умов. Частота коливань є

\begin{equation} \label {eq:frequency} \omega _0 = \frac {1}{\sqrt {LC}}. \end{equation}

Відповідно період коливань дорівнює

\begin{equation} \label {eq:Thomson_formula} \tcbhighmath { T = \frac {2\pi }{\omega _0} = 2\pi \sqrt {LC}. } \end{equation}

Це співвідношення називається формулою Томсона.

Система, що здійснює коливання, називається осцилятором. Осцилятор називається гармонічним, якщо коливання, які він здійснює, є гармонічними, тобто описуються формулою

\begin{equation} \label {eq:harmonic_general} q(t) = q_m \cos (\omega t + \phi _0). \end{equation}

Величина \(q_m\) в цьому співвідношенні називається амплітудою, а аргумент косинуса \(\phi = \omega t + \phi _0\) — фазою коливань.

Рівняння (18.14) тотожне за формою рівнянню руху пружинного маятника без тертя \(\ddot {x} + \omega _0^2 x = 0\). Це не випадковий збіг, а наслідок спільної структури обох систем: у кожній з них є «інерційний» елемент, що накопичує кінетичну енергію, і «пружний» елемент, що накопичує потенціальну енергію. Нижче наведено відповідність величин, яка допомагає переносити всі результати, отримані для контуру, на механічний осцилятор (і навпаки).

Порівняння станів системи у чотирьох фазах коливань наведено на рис. 18.2.

Важливо усвідомити, що в контурі коливається не лише заряд на конденсаторі. Разом із зарядом періодично змінюються обидва поля: електричне поле в конденсаторі та магнітне поле в котушці. Ці поля відіграють ту саму роль, що потенціальна та кінетична енергія маятника. У фазі \(0^\circ \) конденсатор заряджений максимально, струм дорівнює нулю, і вся енергія зосереджена в електричному полі — це повний аналог маятника, відхиленого від рівноваги, коли вся енергія потенціальна. У фазі \(90^\circ \) конденсатор розряджений, струм максимальний, і енергія перейшла в магнітне поле котушки — аналог проходження маятником положення рівноваги з максимальною швидкістю, коли енергія суто кінетична. У фазах \(180^\circ \) і \(270^\circ \) картина повторюється з протилежним знаком: конденсатор перезаряджається, а струм змінює напрямок. Отже, вільні коливання в контурі — це періодичне взаємне перетворення енергій електричного та магнітного полів, точно так само, як коливання маятника — це періодичне перетворення потенціальної енергії пружини в кінетичну енергію тягарця.

Згасаючі коливання

Розглянемо загальний випадок рівняння вільних коливань

\begin{equation} \label {eq:damped_equation} \ddot {q} + 2\gamma \dot {q} + \omega _0^2 q = 0. \end{equation}

Введемо комплекснозначну функцію \(\hat {q}(t)\), таку, що \(\operatorname {Re}\hat {q}(t) = q(t)\), і яка підпорядковується тому самому рівнянню, що й \(q(t)\):

\begin{equation} \label {eq:complex_damped} \frac {d^2\hat {q}}{dt^2} + 2\gamma \frac {d\hat {q}}{dt} + \omega _0^2\hat {q} = 0. \end{equation}

Будемо шукати розв’язок у формі

\begin{equation} \label {eq:complex_ansatz} \hat {q}(t) = q_m e^{i\Omega t}. \end{equation}

Підстановка цього виразу в (18.20) дає

\begin{equation} \label {eq:characteristic} \left [-\Omega ^2 + 2i\gamma \Omega + \omega _0^2\right ]\hat {q} = 0, \end{equation}

що приводить до квадратного рівняння для \(\Omega \):

\begin{equation} \label {eq:Omega_roots} \Omega ^2 - 2i\gamma \Omega - \omega _0^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \Omega _{1,2} = i\gamma \pm \sqrt {\omega _0^2 - \gamma ^2}. \end{equation}

Відповідно загальний розв’язок диференціального рівняння (18.20) є лінійною комбінацією частинних розв’язків, що відповідають двом кореням цього квадратного рівняння:

\begin{equation} \label {eq:general_solution} \hat {q}(t) = q_{10} e^{i\Omega _1 t} + q_{20} e^{i\Omega _2 t}. \end{equation}

Коефіцієнти \(q_{10}\) і \(q_{20}\) визначаються з початкових умов.

Розв’язок вихідного рівняння (18.13) є \(q(t) = \operatorname {Re}\hat {q}(t)\).

Наведемо частинні випадки.

1) Слабке затухання: \(\omega _0 > \gamma \).

Позначимо \(\omega = \sqrt {\omega _0^2 - \gamma ^2}\). Тоді \(\Omega _{1,2} = i\gamma \pm \omega \), і розв’язок можна переписати у вигляді

\begin{equation} \label {eq:weak_damping_complex} \hat {q}(t) = e^{-\gamma t}\left [q_{10} e^{i\omega t} + q_{20} e^{-i\omega t}\right ]. \end{equation}

Маючи на увазі формулу Ейлера

\begin{equation} \label {eq:Euler} e^{i\phi } = \cos \phi + i\sin \phi \end{equation}

і відділяючи дійсну частину \(q(t) = \operatorname {Re}\hat {q}(t)\), отримаємо

\begin{equation} \label {eq:weak_damping} q(t) = e^{-\gamma t}\left (a\cos \omega t + b\sin \omega t\right ) = q_m e^{-\gamma t}\cos (\omega t + \phi _0). \end{equation}

Розв’язок містить дві довільні сталі \((a, b)\) або \((q_m, \phi _0)\). Ці пари констант пов’язані співвідношеннями

\begin{equation} \label {eq:constants_relation} q_m = \sqrt {a^2 + b^2}, \qquad \tg \phi _0 = -\frac {b}{a}. \end{equation}

2) Сильне затухання: \(\omega _0 < \gamma \).

Позначимо \(\Gamma = \sqrt {\gamma ^2 - \omega _0^2}\). Тоді \(\Omega = i(\gamma \pm \Gamma )\), і розв’язок набирає вигляду

\begin{equation} \label {eq:strong_damping} q(t) = e^{-\gamma t}\left [q_{10} e^{\Gamma t} + q_{20} e^{-\Gamma t}\right ]. \end{equation}

3) Якщо \(\omega _0 = \gamma \), то \(\Omega _1 = \Omega _2\), і розв’язок вироджується:

\begin{equation} \label {eq:critical_damping} q(t) = e^{-\gamma t}\left (C_1 + C_2 t\right ) \end{equation}

(\(C_1\) і \(C_2\) — довільні сталі).

На рис. 18.3 показано графік затухаючих коливань. Такі коливання можна представляти як періодичні (гармонічні) коливання зі спадною амплітудою:

\begin{equation} \label {eq:damped_general} q(t) = A(t)\cos (\omega t + \phi _0), \qquad A(t) = q_m e^{-\gamma t}. \end{equation}

На цьому рисунку часова залежність амплітуди затухаючих коливань показана штриховою лінією.

Величина \(\gamma \) показує, з якою швидкістю зменшується амплітуда коливань \(A(t) = q_m e^{-\gamma t}\), і називається коефіцієнтом затухання. Для \(LCR\)-контуру коефіцієнт затухання рівний \(\gamma = R/2L\). Обернена величина \(\tau = 1/\gamma \) називається часом затухання, і показує, за який час амплітуда коливань зменшується в \(e\) разів.

Закон збереження енергії

Запишемо диференціальне рівняння затухаючих коливань у такій формі:

\begin{equation} \label {eq:damped_equation_energy} L\ddot {q} + \frac {q}{C} = -R\dot {q}. \end{equation}

Помножимо почленно це рівняння на \(\dot {q}\) і врахуємо тотожності

\begin{equation} \label {eq:identities} \dot {q}\ddot {q} = \frac {d}{dt}\left (\frac {1}{2}\dot {q}^2\right ), \qquad \dot {q}q = \frac {d}{dt}\left (\frac {1}{2}q^2\right ). \end{equation}

Оскільки \(\dot {q} = I\), то отримуємо рівність

\begin{equation} \label {eq:energy_balance} \tcbhighmath { \frac {d}{dt}\left (\frac {LI^2}{2} + \frac {q^2}{2C}\right ) = -RI^2. } \end{equation}

Величина в дужках

\begin{equation} \label {eq:total_energy} W = W_L + W_C, \qquad W_L = \frac {LI^2}{2}, \qquad W_C = \frac {q^2}{2C} \end{equation}

є повна енергія контуру, запасена в котушці індуктивності (\(W_L\)) і в конденсаторі (\(W_C\)). Доданок у правій частині рівності (\(-N = -RI^2\)) описує, згідно із законом Джоуля—Ленца, втрати енергії. Таким чином, отримуємо

\begin{equation} \label {eq:energy_loss} \tcbhighmath { \frac {dW}{dt} = -N. } \end{equation}

Перетворення енергії в контурі без втрат

Якщо опір контуру дорівнює нулю, то втрати відсутні, \(N = 0\), і енергія зберігається. При цьому заряд на конденсаторі і струм у колі змінюються за законом

\begin{equation} \label {eq:lossless_oscillations} q(t) = q_m \cos (\omega _0 t), \qquad I(t) = \dot {q}(t) = -I_m \sin (\omega _0 t) = I_m \cos \left (\omega _0 t + \frac {\pi }{2}\right ), \end{equation}

де введена амплітуда струму \(I_m = \omega _0 q_m\). Звідси видно, що фази \(q(t)\) і \(I(t)\) зсунуті на \(\pi /2\). Відповідно для доданків в енергії знаходимо:

\begin{equation} \label {eq:WL_WC_oscillations} W_L = \frac {LI^2}{2} = \frac {LI_m^2}{2} \cos ^2\left (\omega _0 t + \frac {\pi }{2}\right ) = \frac {LI_m^2}{2} \frac {1 - \cos (2\omega _0 t)}{2}, \end{equation}

\begin{equation} \label {eq:WC_oscillations} W_C = \frac {q^2}{2C} = \frac {q_m^2}{2C} \cos ^2(\omega _0 t) = \frac {q_m^2}{2C} \frac {1 + \cos (2\omega _0 t)}{2}. \end{equation}

Очевидно, що

\begin{equation} \label {eq:energy_conservation} \tcbhighmath { W_L + W_C = \frac {LI^2}{2} + \frac {q^2}{2C} = \frac {LI_m^2}{2} + \frac {q_m^2}{2C} = \const . } \end{equation}

Крім того, в силу співвідношень \(I_m = \omega _0 q_m\), \(\omega _0^2 = 1/LC\) отримуємо

\begin{equation} \label {eq:energy_amplitudes} W_L^{(0)} = \frac {LI_m^2}{2} = \frac {L\omega _0^2}{2} q_m^2 = \frac {q_m^2}{2C} = W_C^{(0)}. \end{equation}

Таким чином, запаси енергії в котушці індуктивності і в конденсаторі здійснюють коливання з однаковою амплітудою, але в протифазі, причому періодично відбувається повне перекачування енергії з індуктивності в ємність і назад.

Якщо контур неідеальний (\(R \neq 0\)), то енергія втрачається. Максимальна швидкість втрат досягається в ті моменти, коли струм у колі максимальний, оскільки в ці моменти максимальні джоулеві втрати (\(N = RI^2\)).

Характеристики згасаючих коливань

Для кількісного опису згасаючих коливань декілька взаємопов’язаних характеристик, кожна з яких описує згасання зі свого боку: через зменшення амплітуди, через втрати енергії, через час життя коливання тощо. Розглянемо основні з них.

Логарифмічний декремент згасання. Розглянемо затухаючі коливання (рис. 18.3):

\begin{equation} \label {eq:damped_general_2} q(t) = A(t)\cos (\omega t + \phi _0), \qquad A(t) = q_m e^{-\gamma t}. \end{equation}

Виберемо два послідовних максимуми: \(q_n\), \(q_{n+1}\). Величина

\begin{equation} \label {eq:log_decrement} \tcbhighmath { \delta = \ln (q_n / q_{n+1}) } \end{equation}

називається логарифмічним декрементом. Знайдемо явний вираз для \(\delta \).

Максимуми функції \(q(t)\) визначаються з умови \(\dot {q} = 0\). З виразу (18.42) знаходимо

\begin{equation} \label {eq:derivative_maxima} \begin{aligned} \dot {q} & = q_m e^{-\gamma t}\left [-\gamma \cos (\omega t + \phi _0) - \omega \sin (\omega t + \phi _0)\right ] = \\ & = -q_m \omega _0 e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \phi _0 + \phi _1). \end {aligned} \end{equation}

Додатковий доданок \(\phi _1\) у фазі такий, що

\begin{equation} \label {eq:varphi1} \cos \phi _1 = \frac {\gamma }{\sqrt {\gamma ^2 + \omega ^2}} = \frac {\gamma }{\omega _0}, \end{equation}

\begin{equation} \label {eq:varphi1_sin} \sin \phi _1 = -\frac {\omega }{\sqrt {\gamma ^2 + \omega ^2}} = -\frac {\omega }{\omega _0}. \end{equation}

Враховано також, що відповідно до означення величини \(\omega \) виявляється \(\sqrt {\gamma ^2 + \omega ^2} = \omega _0\).

Покладемо \(\dot {q} = 0\). Як видно з (18.44), проміжок часу між двома сусідніми максимумами становить

\begin{equation} \label {eq:period} T = 2\pi /\omega \end{equation}

і дорівнює періоду коливань множника \(\cos (\omega t + \phi _0)\) у виразі для \(q(t)\). Це означає, що згідно з (18.42)

\begin{equation} \label {eq:maxima_ratio} \frac {q_n}{q_{n+1}} = \frac {A(t_n)}{A(t_{n+1})} = e^{\gamma T}, \end{equation}

звідки випливає вираз для логарифмічного декремента:

\begin{equation} \label {eq:delta_explicit} \delta = \gamma T = 2\pi \gamma /\omega . \end{equation}

У випадку слабкого затухання (\(\gamma \ll \omega _0\)) для \(LCR\)-контуру знаходимо:

\begin{equation} \label {eq:delta_weak} \omega \approx \omega _0 = \frac {1}{\sqrt {LC}}, \qquad \gamma = \frac {R}{2L} \quad \Rightarrow \quad \delta = \frac {2\pi \gamma }{\omega } = \pi R \sqrt {\frac {L}{C}}. \end{equation}

Смисл логарифмічного декремента такий. За характерний час затухання коливань \(\tau = 1/\gamma \) осцилятор здійснить

\begin{equation} \label {eq:number_oscillations} n = \frac {\tau }{T} = \frac {1}{\gamma T} = \frac {1}{\delta } \end{equation}

коливань. Отже, \(\delta = 1/n\).

Добротність коливальної системи. Величина \(Q = \pi n\), або

\begin{equation} \label {eq:quality_factor} \tcbhighmath { Q = \omega /2\gamma } \end{equation}

називається добротністю коливальної системи. Очевидний зв’язок добротності і логарифмічного декремента: \(Q = \pi /\delta \). Для послідовного \(LCR\)-контуру зі слабким затуханням маємо

\begin{equation} \label {eq:Q_LCR} \tcbhighmath { Q = \frac {1}{R}\sqrt {\frac {L}{C}}. } \end{equation}

За період коливань амплітуда коливань заряду і струму зменшується в \(e^{\gamma T}\) разів. При цьому згідно з (18.35) енергія системи зменшується як квадрат амплітуди, тобто в \(e^{2\gamma T}\) разів. Це означає, що якщо на початку якогось періоду коливань в контурі запасена енергія \(W(t)\), то до початку наступного циклу в системі залишається енергія \(W(t + T) = e^{-2\gamma T}W(t)\). Втрати енергії за цикл становлять

\begin{equation} \label {eq:energy_loss_cycle} \Delta W = W(t) - W(t + T) = \left (1 - e^{-2\gamma T}\right )W(t). \end{equation}

Вважаючи затухання слабким: \(2\gamma T \ll 1\), отримуємо \(\Delta W = 2\gamma T \cdot W(t)\). Звідси випливає

\begin{equation} \label {eq:quality_energy} \tcbhighmath { \frac {W}{\Delta W} = \frac {1}{2\gamma T} = \frac {1}{2\pi }\frac {\omega }{2\gamma } = \frac {1}{2\pi }Q, } \end{equation}

що й визначає енергетичний смисл добротності \(Q\). Останню формулу зазвичай записують у вигляді

\begin{equation} \label {eq:Q_definition} \tcbhighmath { Q = 2\pi \frac {W}{\Delta W}. } \end{equation}

Цю формулу іноді приймають як означення добротності.

18.3 Вимушені коливання під дією гармонічної ЕРС

Рівняння вимушених коливань

Запишемо рівняння (18.10) для послідовного \(LCR\)-контуру за наявності ЕРС \(\emf \), що змінюється за гармонічним законом:

\begin{equation} \label {eq:forced_equation} L\ddot {q} + R\dot {q} + \frac {1}{C}q = \emf (t), \qquad \emf (t) = \emf _m \cos \omega t. \end{equation}

Переходячи від заряду на конденсаторі до напруги (\(V = q/C\)) і використовуючи введені раніше позначення (18.12) (\(2\gamma = R/L\), \(\omega _0^2 = 1/LC\)), перепишемо це рівняння у вигляді

\begin{equation} \label {eq:forced_equation_V} \ddot {V} + 2\gamma \dot {V} + \omega _0^2 V = \omega _0^2 \emf _m \cos \omega t. \end{equation}

Далі, для розв’язання отриманого рівняння перейдемо до комплексного представлення коливань, поклавши

\begin{equation} \label {eq:complex_representation} V(t) \to \hat {V}(t) = \operatorname {Re}\hat {V}(t) + i\operatorname {Im}\hat {V}(t), \qquad V(t) = \operatorname {Re}\hat {V}(t); \end{equation}

\begin{equation} \label {eq:complex_EMF} \emf (t) \to \hat {\emf }(t) = \emf _m e^{i\omega t}, \qquad \emf (t) = \operatorname {Re}\hat {\emf }(t). \end{equation}

Тоді замість (18.58) будемо мати справу з рівнянням

\begin{equation} \label {eq:complex_forced} \ddot {\hat {V}} + 2\gamma \dot {\hat {V}} + \omega _0^2 \hat {V} = \emf _m e^{i\omega t}. \end{equation}

Розв’язок останнього рівняння будемо шукати у вигляді

\begin{equation} \label {eq:solution_decomposition} \hat {V}(t) = \hat {V}_s(t) + \hat {V}_f(t), \end{equation}

де доданок \(\hat {V}_s(t)\) описує вільні коливання («\(s\)» = self), а доданок \(\hat {V}_f(t)\) — вимушені коливання («\(f\)» = forced):

\begin{equation} \label {eq:forced_system} \begin{cases} \ddot {\hat {V}}_s + 2\gamma \dot {\hat {V}}_s + \omega _0^2 \hat {V}_s = 0, \\[6pt] \ddot {\hat {V}}_f + 2\gamma \dot {\hat {V}}_f + \omega _0^2 \hat {V}_f = \emf _m e^{i\omega t}. \end {cases} \end{equation}

Якщо коефіцієнт затухання ненульовий (\(\gamma \neq 0\)), то вільні коливання з часом затухнуть: \(V_s(t) \to 0\), і залишаться тільки вимушені коливання. Знайдемо розв’язок \(\hat {V}_f(t)\), що відповідає вимушеним коливанням.

Будемо шукати розв’язок у вигляді

\begin{equation} \label {eq:ansatz_forced} \hat {V}_f(t) = \hat {V}_m e^{i\Omega t}. \end{equation}

Підстановка цього виразу в друге рівняння в (18.66) дає

\begin{equation} \label {eq:substitution_forced} \left (\omega _0^2 - \Omega ^2 + 2i\gamma \Omega \right )\hat {V}_m e^{i\Omega t} = \emf _m e^{i\omega t}. \end{equation}

Оскільки така рівність повинна виконуватися в будь-який момент часу, то звідси випливає \(\Omega = \omega \) і

\begin{equation} \label {eq:V0_frequency_response} \tcbhighmath { \hat {V}_m = \frac {\omega _0^2}{\omega _0^2 - \omega ^2 + 2i\gamma \omega }\emf _m. } \end{equation}

Отримана залежність називається частотною характеристикою контуру.

Покладемо

\begin{equation} \label {eq:polar_form} \omega _0^2 - \omega ^2 + 2i\gamma \omega = \rho e^{-i\phi _0}. \end{equation}

Звідси знаходимо

\begin{equation} \label {eq:rho_phi} \rho = \sqrt {\left (\omega _0^2 - \omega ^2\right )^2 + 4\gamma ^2\omega ^2}, \end{equation}

\begin{equation} \label {eq:tg_phi0} \tg \phi _0 = \frac {2\gamma \omega }{\omega ^2 - \omega _0^2}. \end{equation}

З урахуванням цього розв’язок, що описує вимушені коливання напруги, набирає вигляду

\begin{equation} \label {eq:forced_voltage} \tcbhighmath { V_f = V_m \cos (\omega t + \phi _0), \qquad V_m = \frac {\omega _0^2}{\sqrt {\left (\omega _0^2 - \omega ^2\right )^2 + 4\gamma ^2\omega ^2}}\emf _m. } \end{equation}

Амплітудно-частотна характеристика

На рис. 18.5 показана залежність амплітуди вимушених коливань від частоти \(\omega \) зовнішньої ЕРС, яка називається амплітудно-частотною (або амплітудною) характеристикою.

Як видно з рис. 18.5, при не надто великому затуханні спостерігається сильне зростання амплітуди при наближенні частоти зовнішньої сили (ЕРС) до деякої характерної частоти. Це явище називається резонансом, а частота \(\omega _m\), при якій амплітуда досягає максимуму, — резонансною частотою. Докладніше про резонанс ітиметься нижче, а також у розділі 18.4, присвяченому змінному струму, де ми побачимо його з боку імпедансів.

Якщо затухання відсутнє: \(\gamma = 0\), то резонансна частота збігається з власною частотою осцилятора: \(\omega _m = \omega _0\). При цьому

\begin{equation} \label {eq:resonance_no_damping} V_m = \frac {\omega _0^2}{\left |\omega _0^2 - \omega ^2\right |}\emf _m. \end{equation}

Якщо ж \(\gamma \neq 0\), то резонансну частоту можна знайти з (18.73), поклавши \(dV_m/d\omega = 0\):

\begin{equation} \label {eq:resonance_frequency} \tcbhighmath { \omega _m = \sqrt {\omega _0^2 - 2\gamma ^2}. } \end{equation}

Якщо \(\gamma \geqslant \omega _0/\sqrt {2}\), то з ростом частоти ЕРС амплітуда коливань монотонно зменшується при всіх частотах.

Фазово-частотна характеристика

Як видно з (18.71), (18.73), коливання напруги \(V_f(t)\) зсунуті по фазі відносно коливань ЕРС \(\emf (t)\). На рис. 18.6 показана залежність фазового зсуву \(\phi _0\) від частоти ЕРС, яка називається фазово-частотною (або фазовою) характеристикою.

Резонанс

У багатьох практично важливих випадках затухання в коливальних системах мале, \(\gamma \ll \omega _0\). Знайдемо для цього випадку характеристики резонансної кривої (рис. 18.7).

Згідно з (18.73) резонансна частота \(\omega _m \approx \omega _0\). Максимум амплітуди досягається при \(\omega \approx \omega _0\) і становить

\begin{equation} \label {eq:Vmax} \tcbhighmath { V_{\max } \approx \frac {\omega _0}{2\gamma }\emf _m. } \end{equation}

При \(\omega \to 0\) амплітуда \(V_m\) прямує до границі

\begin{equation} \label {eq:static_limit} V_{\text {ст}} = \emf _m. \end{equation}

Цей результат відображає відгук на статичну дію \(\emf = \emf _m = \const \) і при \(\dot {V} = 0\), \(\ddot {V} = 0\) прямо випливає з (18.58).

Знайдемо відношення \(V_{\max }/V_{\text {ст}}\). Згідно з (18.76), (18.77) маємо

\begin{equation} \label {eq:Q_resonance} \tcbhighmath { \frac {V_{\max }}{V_{\text {ст}}} = \frac {\omega _0}{2\gamma } = Q. } \end{equation}

Це відношення збігається з добротністю \(Q\) розглядуваної системи. Таким чином, в резонансі амплітуда коливань в \(Q\) разів більша, ніж статичне відхилення: \(V_{\max } = QV_{\text {ст}}\).

Амплітуда вимушених коливань зменшується в міру віддалення від резонансної частоти. Знайдемо ширину резонансу \(\Delta \omega = \omega _2 - \omega _1\), де \(\omega _1\) і \(\omega _2\) — частоти нижче і вище резонансної, при яких вона зменшується в \(\sqrt {2}\) разів:

\begin{equation} \label {eq:half_power} V_m(\omega ) = V_{\max }/\sqrt {2}. \end{equation}

Будемо вважати затухання слабким. Оскільки при цьому \(\omega _m \approx \omega _0\), \(V_{\max } \approx (\omega _0/2\gamma )\emf _m\), то згідно з (18.73) для знаходження шуканих частот маємо рівняння

\begin{equation} \label {eq:half_power_equation} \frac {\emf _m}{\sqrt {\left (\omega _0^2 - \omega ^2\right )^2 + 4\gamma ^2\omega ^2}} = \frac {1}{\sqrt {2}}\frac {\emf _m}{2\gamma \omega _0}, \end{equation}

або

\begin{equation} \label {eq:half_power_squared} \begin{aligned} \left (\omega _0^2 - \omega ^2\right )^2 + 4\gamma ^2\omega ^2 & = 8\gamma ^2\omega _0^2 \quad \Rightarrow \\ \Rightarrow \quad \left (\omega _0^2 - \omega ^2\right )^2 & = 4\gamma ^2\left (2\omega _0^2 - \omega ^2\right ) \approx 4\gamma ^2\omega _0^2. \end {aligned} \end{equation}

Тут враховано, що в правій частині цієї рівності при малих \(\gamma \) можна покласти \(\omega \approx \omega _0\). Таким чином, отримуємо

\begin{equation} \label {eq:frequency_shift} \omega _0^2 - \omega ^2 \approx \pm 2\gamma \omega _0 \quad \Rightarrow \quad \omega ^2 = \omega _0^2\left (1 \mp \frac {2\gamma }{\omega _0}\right ), \end{equation}

звідки випливає:

\begin{equation} \label {eq:omega1_omega2} \omega _1 = \omega _0 - \gamma , \qquad \omega _2 = \omega _0 + \gamma . \end{equation}

Отже, ширина резонансної кривої по рівню \(1/\sqrt {2}\) становить

\begin{equation} \label {eq:resonance_width} \tcbhighmath { \Delta \omega = \omega _2 - \omega _1 = 2\gamma . } \end{equation}

Цей результат можна переписати в іншому вигляді, використовуючи поняття добротності:

\begin{equation} \label {eq:resonance_width_Q} \tcbhighmath { \Delta \omega = \frac {\omega _0}{Q}. } \end{equation}

Отже, чим вище добротність системи, тим вужча резонансна крива.

Тут ми розглянули резонанс у послідовному \(LCR\)-контурі як явище вимушених коливань — через амплітуду напруги на конденсаторі. У розділі 18.4, присвяченому змінному струму, ми побачимо, як той самий результат випливає з аналізу імпедансів, і поширимо його на довільні розгалужені кола.

18.4 Змінний струм

Змінним струмом називають струм, миттєве значення якого періодично змінюється з часом. Найважливіший випадок — гармонічний змінний струм, який виникає в колі під дією гармонічної ЕРС. По суті, це ті самі вимушені коливання, які ми розглянули в попередньому розділі. Там ми вже ввели комплексні амплітуди як зручний спосіб опису гармонічних коливань. Тепер ми застосуємо цей метод до розрахунку довільних кіл змінного струму — як нерозгалужених, так і розгалужених. Виявиться, що всі правила — закон Ома, правила Кірхгофа, складання опорів — зберігають свою форму, якщо замінити активний опір \(R\) на комплексний імпеданс \(Z\).

Закон Ома в комплексній формі. Імпеданс

У попередньому розділі ми знайшли комплексну амплітуду напруги на конденсаторі (18.69). Тепер нас цікавить не напруга, а струм у колі. Оскільки \(I = \dot {q}\) і \(V = q/C\), комплексні амплітуди цих величин пов’язані співвідношенням

\begin{equation} \label {eq:I_from_V} \hat {I}_m = i\omega C \hat {V}_m. \end{equation}

Підставляючи сюди (18.69) і враховуючи, що \(\omega _0^2 = 1/(LC)\), отримуємо

\begin{equation} \label {eq:I0_explicit} \hat {I}_m = \frac {i\omega / L}{\omega _0^2 - \omega ^2 + 2i\gamma \omega }\emf _m. \end{equation}

Перепишемо знаменник у вигляді

\begin{equation} \label {eq:denominator_impedance} \omega _0^2 - \omega ^2 + 2i\gamma \omega = -\frac {i\omega }{L}\left [R + i\left (\omega L - \frac {1}{\omega C}\right )\right ], \end{equation}

що легко перевірити розкриттям дужок. Тоді

\begin{equation} \label {eq:Ohm_complex_derived} \tcbhighmath { \hat {I}_m = \frac {\emf _m}{R + i\left (\omega L - \dfrac {1}{\omega C}\right )}. } \end{equation}

Отже, комплексна амплітуда струму пов’язана з комплексною амплітудою ЕРС тим самим співвідношенням, що й у законі Ома для постійного струму, — але замість активного опору \(R\) тут стоїть величина

\begin{equation} \label {eq:impedance} \tcbhighmath { Z = R + i\left (\omega L - \frac {1}{\omega C}\right ), } \end{equation}

яка називається імпедансом², або комплексним опором, електричного кола. У компактному вигляді отримане співвідношення записують як

\begin{equation} \label {eq:Ohm_complex} \tcbhighmath { \hat {I}_m Z = \emf _m, } \end{equation}

і називають законом Ома в комплексній формі: комплексна амплітуда струму дорівнює комплексній амплітуді ЕРС, поділеній на імпеданс. Це той самий закон Ома, що й для постійного струму, лише записаний для комплексних амплітуд гармонічних величин.

Величину

\begin{equation} \label {eq:active_resistance} \operatorname {Re} Z = R \end{equation}

називають активним (або омічним) опором, а величину

\begin{equation} \label {eq:reactive_resistance} \operatorname {Im} Z = \omega L - \frac {1}{\omega C} \end{equation}

— реактивним опором. Активний опір приводить до втрат енергії в контурі, тоді як реактивний не змінює енергію, але може змінювати динаміку зміни струму.

Імпеданс \(Z\) описує коло в цілому. Кожен з елементів кола має свій власний імпеданс:

\begin{equation} \label {eq:element_impedances} Z_R = R, \qquad Z_C = \frac {1}{i\omega C} = -\frac {i}{\omega C}, \qquad Z_L = i\omega L. \end{equation}

Звідси видно, що імпеданс резистора — дійсна величина, а імпеданси конденсатора й котушки — уявні. Повний імпеданс послідовного \(LCR\)-контуру (18.90) є сумою імпедансів окремих елементів:

\begin{equation} \label {eq:impedance_sum} Z = Z_R + Z_C + Z_L. \end{equation}

Це співвідношення за формою повністю збігається з правилом складання опорів для послідовного кола постійного струму: там теж \(R = R_1 + R_2 + \dots \). Різниця лише в тому, що тепер опори — комплексні величини, і замість простого додавання дійсних чисел доводиться додавати комплексні, враховуючи їхні фази. Саме в цьому й полягає основна зручність методу комплексних амплітуд: усі правила для кіл постійного струму зберігають свою форму, якщо замінити \(R\) на \(Z\).

Запишемо струм у вигляді \(I = I_m e^{i\omega t}\) і помножимо його на імпеданс кожного елемента:

\begin{align} U_R &= R I_m e^{i\omega t}, \label {eq:UR_phase} \\[4pt] U_C &= -\frac {i}{\omega C} I_m e^{i\omega t} = \frac {I_m}{\omega C} e^{i(\omega t - \pi /2)}, \label {eq:UC_phase} \\[4pt] U_L &= i\omega L I_m e^{i\omega t} = \omega L I_m e^{i(\omega t + \pi /2)}. \label {eq:UL_phase} \end{align} Звідси видно, що напруга на резисторі збігається за фазою зі струмом, на конденсаторі — відстає на \(\pi /2\), а на котушці — випереджає на \(\pi /2\). Множення на \(i\) у комплексній площині означає поворот на \(+\pi /2\), а на \(-i\) — на \(-\pi /2\); саме тому реактивні елементи зсувають фазу, а активний — ні.

Векторні діаграми

Комплексні амплітуди можна зображати векторами на комплексній площині. Тоді додавання струмів і напруг стає додаванням векторів, а закон Ома (18.91) — твердженням про їхню векторну суму. Така побудова називається векторною діаграмою.

На рис. 18.8 показано векторну діаграму для послідовного \(LCR\)-контуру. Вектор струму \(I\) напрямлений уздовж дійсної осі; доданки \(RI\), \(i\omega L I\) і \(-iI/(\omega C)\) утворюють прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює вектору ЕРС \(\emf \). З діаграми відразу видно, що

\[ \emf _m^2 = R^2 I_m^2 + \left (\omega L - \frac {1}{\omega C}\right )^2 I_m^2, \]

— тобто векторна діаграма дає той самий результат, що й алгебраїчний підхід, але без обчислень. Саме тому нею зручно користуватися для швидкої якісної оцінки: вона показує, як співвідносяться між собою напруги на елементах і як зсунуті їхні фази.

Потужність змінного струму

Відповідно до закону Джоуля-Ленца (в інтегральній формі) потужність, що розсіюється струмом у провідному середовищі, рівна \(Q = \emf I\). У випадку змінних періодично змінюваних струмів і напруг інтерес представляє середнє значення потужності за період коливань:

\begin{equation} \label {eq:average_power} \overline {Q} = \overline {\emf I} = \frac {1}{T}\int \limits _{t}^{t+T} \emf (t_1)I(t_1) \, dt_1. \end{equation}

У цю формулу входять дійсні величини. Тому користуватися комплексним представленням слід більш обережно. Покладемо

\begin{equation} \label {eq:real_parts} \emf (t) = \frac {1}{2}\left (\hat {\emf }(t) + \hat {\emf }^*(t)\right ), \qquad I(t) = \frac {1}{2}\left (\hat {I}(t) + \hat {I}^*(t)\right ). \end{equation}

Звідси знаходимо

\begin{equation} \label {eq:product_expansion} \begin{aligned} \emf (t)I(t) & = \frac {1}{4}\left (\hat {\emf }(t) + \hat {\emf }^*(t)\right )\left (\hat {I}(t) + \hat {I}^*(t)\right ) = \\ & = \frac {1}{4}\left [\hat {\emf }(t)\hat {I}(t) + \hat {\emf }^*(t)\hat {I}^*(t) + \hat {\emf }(t)\hat {I}^*(t) + \hat {\emf }^*(t)\hat {I}(t)\right ] = \\ & = \frac {1}{2}\operatorname {Re}\left [\hat {\emf }(t)\hat {I}(t) + \hat {\emf }(t)\hat {I}^*(t)\right ]. \end {aligned} \end{equation}

Для знаходження середнього врахуємо, що

\begin{equation} \label {eq:complex_amplitudes_time} \hat {\emf }(t) = \emf _m e^{i\omega t}, \qquad \hat {I}(t) = I_m e^{i\omega t} e^{i\phi _0} \end{equation}

(амплітуди \(\emf _m\) і \(I_m\) тут вважаються дійсними величинами). Це означає, що доданок \(\hat {\emf }(t)\hat {I}(t)\) осцилює з частотою \(2\omega \) і його середнє значення за період \(T = 2\pi /\omega \) рівне нулю:

\begin{equation} \label {eq:fast_oscillating_term} \overline {\hat {\emf }(t)\hat {I}(t)} = \emf _m I_m e^{i\phi _0} \overline {\exp [2i\omega t]} = \emf _m I_m e^{i\phi _0} \frac {1}{T}\int \limits _{t}^{t+T} \exp [2i\omega t_1] \, dt_1 = 0. \end{equation}

Аналогічно встановлюється, що

\begin{equation} \label {eq:conjugate_term} \overline {\hat {\emf }^*(t)\hat {I}^*(t)} = 0. \end{equation}

В результаті з (18.99) отримуємо

\begin{equation} \label {eq:average_power_complex} \tcbhighmath { \overline {Q} = \frac {1}{2}\operatorname {Re}\left [\hat {\emf }(t)\hat {I}^*(t)\right ]. } \end{equation}

З урахуванням зсуву фаз між струмом і ЕРС звідси знаходимо

\begin{equation} \label {eq:average_power_cos} \tcbhighmath { \overline {Q} = \frac {1}{2}\emf _m I_m \operatorname {Re}\left [e^{-i\phi _0}\right ] = \frac {1}{2}\emf _m I_m \cos \phi _0. } \end{equation}

Введемо ефективні значення амплітуд напруги і струму:

\begin{equation} \label {eq:effective_values} I_{\text {eff}} = \sqrt {\overline {I^2(t)}} = \frac {1}{\sqrt {2}}I_m, \qquad \emf _{\text {eff}} = \sqrt {\overline {\emf ^2(t)}} = \frac {1}{\sqrt {2}}\emf _m. \end{equation}

Тоді співвідношення (18.106) набирає вигляду

\begin{equation} \label {eq:average_power_effective} \tcbhighmath { \overline {Q} = \emf _{\text {eff}} I_{\text {eff}} \cos \phi _0. } \end{equation}

Ця формула показує, що чим більше зсув фаз між струмом і напругою, тим менше розсіювана в опорі потужність. У випадку резонансу, коли \(\tg \phi _0 = 0\), споживана потужність максимальна: \(\overline {Q} = \emf _{\text {eff}} I_{\text {eff}}\).

Перепишемо співвідношення (18.105), враховуючи закон Ома: \(\emf = IZ\), а також рівності \(\operatorname {Re} Z = R\), \(|\hat {I}|^2 = I_m^2\):

\begin{equation} \label {eq:average_power_resistance} \tcbhighmath { \overline {Q} = \frac {1}{2}\operatorname {Re}\left (\hat {\emf }(t)\hat {I}^*(t)\right ) = \frac {1}{2}\operatorname {Re}\left (Z|\hat {I}|^2\right ) = \frac {1}{2}RI_m^2 = RI_{\text {eff}}^2. } \end{equation}

Остання формула показує, що за відсутності активного опору змінний струм роботи не виконує.

Резонанс напруг і струмів

У попередньому розділі ми вже зустрілися з явищем резонансу — там воно постало як різке зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти ЕРС до власної частоти контуру. Тепер ми подивимося на це саме явище з боку імпедансів: виявиться, що резонанс — це момент, коли реактивний опір кола обертається в нуль. Такий погляд дозволяє однаково просто описати і послідовний контур (резонанс напруг), і паралельний (резонанс струмів), а також поширити аналіз на довільні розгалужені кола.

Резонансом напруг називають резонанс у послідовному \(LCR\)-контурі (рис. 18.1) при зміні частоти коливань ЕРС. Згідно з (18.89) максимум амплітуди струму \(I_m(\omega )\) досягається на частоті \(\omega = \omega _0 = 1/\sqrt {LC}\) і становить \(I_{m,\max } = \emf _m/R\) (рис. 18.9). Це випливає з того, що на частоті \(\omega _0\) індуктивний і ємнісний імпеданси точно компенсують один одного:

\begin{equation} \label {eq:impedance_compensation_2} Z_L + Z_C = \left (i\omega L + \frac {1}{i\omega C}\right )_{\omega = 1/\sqrt {LC}} = 0. \end{equation}

В результаті імпеданс контуру зводиться до активного опору \(R\), тож амплітуда струму досягає максимуму \(I_{m,\max } = \emf _m/R\). Напруга на конденсаторі при цьому дорівнює:

\begin{equation*} V_{C,\max } = \frac {I_{m,\max }}{\omega _0 C} = \frac {\emf _m}{\omega _0 C R}. \end{equation*}

Враховуючи, що \(\omega _0 = 1/\sqrt {LC}\), маємо \(\omega _0 C = \sqrt {C/L}\), звідки

\begin{equation*} V_{C,\max } = \frac {\emf _m}{R}\sqrt {\frac {L}{C}} = Q\,\emf _m, \end{equation*}

де \(Q = \frac {1}{R}\sqrt {\frac {L}{C}}\) — добротність контуру (18.53). Отже, напруга на конденсаторі в \(Q\) разів перевищує напругу джерела. тобто в \(Q\) разів перевищує напругу джерела. Те саме стосується й напруги на котушці. Саме тому це явище називають резонансом напруг.

Резонансом струмів назирають резонанс у паралельному \(LCR\)-контурі (рис. 18.10), коли елементи \(L\), \(C\), \(R\) з’єднані паралельно і підключені до джерела змінного струму. На відміну від резонансу напруг, тут амплітуда струму джерела вважається незмінною, тобто не залежить від параметрів елементів контуру.

Оскільки елементи контуру з’єднані паралельно, імпеданс кола \(Z\) визначається з рівності

\begin{equation} \label {eq:parallel_impedance} \frac {1}{Z} = \frac {1}{Z_R} + \frac {1}{Z_L} + \frac {1}{Z_C}, \qquad Z_R = R, \qquad Z_L = i\omega L, \qquad Z_C = \frac {1}{i\omega C}. \end{equation}

Струм у зовнішній частині кола дорівнює сумі струмів через окремі елементи:

\begin{equation} \label {eq:current_sum} I = I_R + I_L + I_C. \end{equation}

Позначимо напругу, створювану джерелом струму, як \(U\). Тоді

\begin{equation} \label {eq:voltage_current} U = IZ. \end{equation}

Оскільки напруга на всіх паралельно з’єднаних елементах однакова, то

\begin{equation} \label {eq:branch_currents} I_R = \frac {U}{Z_R} = \frac {U}{R}, \qquad I_L = \frac {U}{Z_L} = \frac {U}{i\omega L}, \qquad I_C = \frac {U}{Z_C} = i\omega C U. \end{equation}

З урахуванням (18.113) перепишемо ці вирази у вигляді

\begin{equation} \label {eq:branch_currents_Z} I_R = I\frac {Z}{R}, \qquad I_L = I\frac {Z}{Z_L}, \qquad I_C = I\frac {Z}{Z_C}. \end{equation}

Амплітуда струму через активний опір дорівнює

\begin{equation} \label {eq:IR_amplitude} I_{R_0} = \frac {I_m}{\sqrt {1 + \left (\dfrac {R}{\omega L} - \omega C R\right )^2}} = \frac {I_m}{\sqrt {1 + \dfrac {4\gamma ^2}{\omega ^2}\left (1 - \dfrac {\omega ^2}{\omega _0^2}\right )^2}}. \end{equation}

Звідси видно, що \(I_{R_0}\) має максимум при \(\omega = \omega _0\) і становить \((I_{R0})_{\max } = I_m\). Це означає, що на резонансній частоті весь струм від джерела тече тільки через активний опір. Справа в тому, що опір блока з паралельно з’єднаних конденсатора й котушки на цій частоті обертається в нескінченність, і струм через нього не тече.

Амплітуди струмів через котушку й конденсатор на резонансній частоті дорівнюють

\begin{equation} \label {eq:resonance_currents_Q} I_{L0} = I_{C0} = \frac {I_m}{Q}, \end{equation}

де

\begin{equation} \label {eq:Q_parallel} Q = \frac {R}{\omega _0 L} = \omega _0 R C = R\sqrt {\frac {C}{L}} \end{equation}

— добротність паралельного контуру. Зверніть увагу, що вона відрізняється від добротності послідовного контуру (18.53): там \(Q = \frac {1}{R}\sqrt {L/C}\), тут — \(Q = R\sqrt {C/L}\). Фізично це означає, що в паралельному контурі добротність зростає зі збільшенням опору \(R\) (менші втрати — вища добротність), тоді як у послідовному — навпаки, спадає.

Таким чином, на резонансній частоті по замкнутому \(LC\)-контуру циркулює струм, який виявляється тим меншим, чим вища добротність кола.

Якщо замість джерела струму використовувати джерело ЕРС, то в зовнішньому колі на частоті \(\omega _0\) спостерігався б мінімум струму, а не максимум, як у послідовному контурі. Таке явище називають антирезонансом.

Правила Кірхгофа для змінного струму

Розрахунок довільних квазістаціонарних кіл (як нерозгалужених, так і розгалужених) при наявності змінних ЕРС може здійснюватися за правилами Кірхгофа, аналогічним тим, що мають місце у випадку постійних струмів і напруг. Різниця полягає лише в заміні опорів \(R\) на імпеданси \(Z\).

Правила такі:

• 1. Сума струмів, що входять у вузол (з урахуванням знаків), рівна нулю (рис. 18.11):

  \(\seteqnumber{0}{18.}{118}\)

  \begin{equation} \label {eq:Kirchhoff_current} \tcbhighmath { \sum _k I_k = 0. } \end{equation}

  Дане правило є наслідком закону збереження заряду і стверджує, що у вузлі заряди не можуть накопичуватися.

• 2. Для будь-якого замкнутого контуру в квазістаціонарному електричному колі виконується рівність

  \(\seteqnumber{0}{18.}{119}\)

  \begin{equation} \label {eq:Kirchhoff_voltage} \sum _k I_k Z_k = \sum _i \emf _i, \end{equation}

  де \(\emf _i\) — ЕРС, що входять у вибраний контур, \(I_k\) — струми через елементи контуру, що мають імпеданси \(Z_k\).

  

  Рис. 18.11. Перше правило Кірхгофа: сума струмів, що входять у вузол, рівна нулю.

  Це правило безпосередньо випливає із закону індукції (теореми про циркуляцію для електричного поля в інтегральній формі):

  \(\seteqnumber{0}{18.}{120}\)

  \begin{equation} \label {eq:circulation_EMF} \oint \limits _{\Gamma } E_l \, dl = -\frac {d\Phi }{dt}, \qquad \Phi = LI. \end{equation}

18.5 Трансформатор

Досі ми розглядали кола, в яких джерело й навантаження були безпосередньо з’єднані провідниками. Проте в багатьох практичних задачах потрібно передати енергію від джерела до навантаження без електричного контакту між ними, змінивши при цьому напругу й струм у потрібну кількість разів. Пристрій, що це здійснює, називається трансформатором. Історично саме трансформатор став тією ланкою, яка зробила можливою передачу електроенергії на великі відстані: без нього формула \(\overline {Q}=RI_{\text {eff}}^2\) з розділу 18.4 робила змінний струм таким самим невигідним для ліній електропередачі, як і постійний.

Принцип дії трансформатора — явище взаємної індукції — вже обговорювався в гл. 13, де коефіцієнт трансформації було отримано найкоротшим шляхом: із рівності ЕРС на виток і закону збереження енергії для ідеального зв’язку обмоток. Тут ми підійдемо до того самого пристрою інакше — як до системи зв’язаних контурів змінного струму, з реальними опорами й неідеальним зв’язком. Спочатку застосуємо до цієї системи правила Кірхгофа для змінного струму (розд. 18.4), а потім отримаємо звідси всі ключові характеристики трансформатора — коефіцієнт трансформації, вхідний імпеданс, струм холостого ходу, втрати та ККД. Наприкінці ми побачимо, як трансформатор поводиться в реальних режимах — від холостого ходу до короткого замикання — і чому ці режими важливі для електротехніки, а також де саме трансформатор застосовується.

Рівняння трансформатора

Будову трансформатора — первинну обмотку з \(N_1\) витків і вторинну з \(N_2\) витків на спільному феромагнітному осерді, а також ЕРС (13.29), (13.30) і коефіцієнт трансформації (13.31) — ми вже обговорили в гл. 13 (рис. 13.6); повторювати це тут немає сенсу.³ Щоб перейти від ідеалізованої картини спільного потоку \(\Phi \) до кола змінного струму, додамо до опису те, чого там не було: активний опір кожної обмотки \(R_1\), \(R_2\), їхні власні індуктивності \(L_1\), \(L_2\), взаємну індуктивність \(L_{12}\) і навантаження \(Z_{\text {н}}\) у вторинному колі (рис. 18.13).

Застосуємо до такого кола ті самі міркування, що й до послідовного \(LCR\)-контуру в розділі 18.4. Розглянемо кожну обмотку як окремий контур з опором \(R_1\) або \(R_2\) та індуктивністю \(L_1\) або \(L_2\). Щоб отримати рівняння трансформатора, оформимо це у вигляді формул. Магнітний потік через первинну обмотку складається з двох частин: потоку \(\Phi _{11}\), створеного струмом \(I_1\) самої обмотки, і потоку \(\Phi _{12}\), створеного струмом \(I_2\) вторинної обмотки. Аналогічно для вторинної обмотки (це окремий випадок загальної формули (13.8) з гл. 13 для двох контурів):

\begin{equation} \label {eq:transformer_fluxes} \Phi _1 = \Phi _{11} + \Phi _{12}, \qquad \Phi _2 = \Phi _{21} + \Phi _{22}. \end{equation}

У лінійному наближенні (осердя не насичене) кожен із цих потоків пропорційний відповідному струму:

\begin{equation} \label {eq:transformer_inductances} \Phi _{11} = L_1 I_1, \qquad \Phi _{22} = L_2 I_2, \qquad \Phi _{12} = L_{12} I_2, \qquad \Phi _{21} = L_{12} I_1, \end{equation}

де \(L_1\), \(L_2\) — власні індуктивності обмоток, а \(L_{12}\) — взаємна індуктивність. Коефіцієнт \(L_{12}\) описує, яка частина потоку однієї обмотки пронизує витки другої. Для ідеального трансформатора, в якому весь потік замикається через осердя і не розсіюється, \(L_{12}=\sqrt {L_1L_2}\).

Запишемо тепер друге правило Кірхгофа (18.120) для первинного й вторинного контурів. Для первинного кола (джерело \(\emf _1\) — опір \(R_1\) — індуктивність \(L_1\)):

\begin{equation} \label {eq:transformer_KVL_primary} \emf _1 = R_1 I_1 + \frac {d\Phi _1}{dt} = R_1 I_1 + L_1\frac {dI_1}{dt} + L_{12}\frac {dI_2}{dt}. \end{equation}

Для вторинного кола (ЕРС \(\emf _2\) — опір \(R_2\) — навантаження \(Z_{\text {н}}\)):

\begin{equation} \label {eq:transformer_KVL_secondary} \emf _2 = R_2 I_2 + \frac {d\Phi _2}{dt} + Z_{\text {н}} I_2 = R_2 I_2 + L_2\frac {dI_2}{dt} + L_{12}\frac {dI_1}{dt} + Z_{\text {н}} I_2. \end{equation}

Система рівнянь (18.131), (18.132) і є повним описом трансформатора в квазістаціонарному наближенні. По суті, це система (13.7) з гл. 13 для \(N=2\) зв’язаних контурів (там — у гауссовій системі одиниць і для двох незалежних джерел \(\emf _1\), \(\emf _2\); тут — у СІ, а роль другого джерела відіграє навантаження \(Z_{\text {н}}\) у вторинному колі). Водночас вона цілком аналогічна системі (18.122)–(18.124) для розгалуженого кола з розділу 18.4: ми просто застосували правила Кірхгофа до двох зв’язаних контурів, роль «розгалуження» тут відіграє магнітний зв’язок.

Перейдемо до комплексних амплітуд. Позначимо \(\hat {I}_1\), \(\hat {I}_2\) та \(\hat {\emf }_1\) комплексні амплітуди струмів первинного й вторинного контурів і ЕРС джерела живлення. Тоді \(d/dt \to i\omega \), і рівняння (18.131), (18.132) набирають вигляду

\begin{align} \hat {\emf }_1 &= \left (R_1 + i\omega L_1\right )\hat {I}_1 + i\omega L_{12} \hat {I}_2, \label {eq:transformer_complex_1} \\[4pt] 0 &= i\omega L_{12} \hat {I}_1 + \left (R_2 + i\omega L_2 + Z_{\text {н}}\right )\hat {I}_2. \label {eq:transformer_complex_2} \end{align} Тут нуль у лівій частині другого рівняння означає, що у вторинному колі немає стороннього джерела живлення: струм \(\hat {I}_2\) виникає виключно за рахунок наведеної напруги взаємної індукції \(i\omega L_{12}\hat {I}_1\).

Ідеальний трансформатор

Розглянемо граничний випадок, який найчастіше використовується на практиці: осердя має нескінченну магнітну проникність, опори обмоток дорівнюють нулю (\(R_1=R_2=0\)), а розсіювання потоку відсутнє (\(L_{12}=\sqrt {L_1L_2}\)). Такий трансформатор називається ідеальним.

Опишемо трансформатор через зовнішні напруги на його затискачах (клемах):

• • \(\hat {U}_1 = \emf _1\) (при \(R_1 =0\)) — вхідна напруга, яку джерело подає на клеми первинної обмотки;

• • \(\hat {U}_2 = Z_{\text {н}}\hat {I}_2\) — вихідна напруга, яка знімається з клем вторинної обмотки й подається на навантаження.

Оскільки в ідеальному трансформаторі втрати в дрітах відсутні (\(R_1=R_2=0\)), вхідна напруга безпосередньо трансформується у вихідну через спільний магнітний потік. За таких умов із рівнянь (18.133) і (18.134) випливає співвідношення для клемних напруг:

\begin{equation} \label {eq:ideal_transformer_voltages} \frac {\hat {U}_1}{\hat {U}_2} = \frac {N_1}{N_2} \equiv n, \end{equation}

де \(n\) називається коефіцієнтом трансформації. Це той самий результат, що й (13.31) з гл. 13, тільки записаний прямо через практичні напруги на вході й виході \(U_1\) та \(U_2\). Підвищувальний і знижувальний режими роботи обговорено там же.

Тепер звернемося до струмів. Для ідеального трансформатора втрати енергії відсутні, тому потужність, що надходить у первинну обмотку, дорівнює потужності, що відводиться від вторинної:

\begin{equation} \label {eq:ideal_transformer_power} \hat {U}_1 \hat {I}_1^* = \hat {U}_2 \hat {I}_2^*. \end{equation}

Звідси з урахуванням (18.135) дістаємо

\begin{equation} \label {eq:ideal_transformer_currents} \frac {\hat {I}_1}{\hat {I}_2} = \frac {N_2}{N_1} = \frac {1}{n}. \end{equation}

Отже, у стільки разів, у скільки трансформатор підвищує напругу, він знижує струм, і навпаки. Це і є фізичний зміст коефіцієнта трансформації.

Внесений опір і узгодження навантаження

Подивимося тепер на трансформатор з боку первинного кола. Розв’яжемо рівняння (18.134) відносно \(\hat {I}_2\):

\begin{equation} \label {eq:I2_from_I1} \hat {I}_2 = -\frac {i\omega L_{12}}{R_2 + i\omega L_2 + Z_{\text {н}}} \hat {I}_1. \end{equation}

Підставимо це в (18.133):

\begin{equation} \label {eq:Zin_derivation} \hat {\emf }_1 = \left [ R_1 + i\omega L_1 + \frac {(\omega L_{12})^2}{R_2 + i\omega L_2 + Z_{\text {н}}} \right ]\hat {I}_1. \end{equation}

Величина в дужках

\begin{equation} \label {eq:input_impedance} \tcbhighmath { Z_{\text {вх}} = R_1 + i\omega L_1 + \frac {(\omega L_{12})^2}{R_2 + i\omega L_2 + Z_{\text {н}}} } \end{equation}

називається вхідним імпедансом трансформатора. Останній доданок

\begin{equation} \label {eq:referred_impedance} Z_{\text {вн}} = \frac {(\omega L_{12})^2}{R_2 + i\omega L_2 + Z_{\text {н}}} \end{equation}

називається внесеним опором: це той опір, який вторинне коло «вносить» у первинне через магнітний зв’язок. Фізично це означає, що для джерела первинного кола навантаження виглядає не як \(Z_{\text {н}}\), а як \(Z_{\text {вн}}\).

Для ідеального трансформатора \(R_1=R_2=0\), \(L_{12}=\sqrt {L_1L_2}\), \(L_2/L_1=(N_2/N_1)^2=1/n^2\), і (18.140) спрощується до

\begin{equation} \label {eq:ideal_input_impedance} \tcbhighmath { Z_{\text {вх}} = \frac {Z_{\text {н}}}{n^2}. } \end{equation}

Це надзвичайно важливий результат: ідеальний трансформатор «перераховує» опір навантаження в первинне коло, змінюючи його в \(n^2\) разів. Саме цим користуються для узгодження навантаження: якщо внутрішній опір джерела \(R_{\text {дж}}\) відрізняється від опору навантаження \(R_{\text {н}}\), то, підібравши \(n=\sqrt {R_{\text {н}}/R_{\text {дж}}}\), можна домогтися рівності \(Z_{\text {вх}}=R_{\text {дж}}\) і тим самим забезпечити максимальну передачу потужності.

Режими роботи трансформатора

Розглянемо два граничні режими, які важливі як для розуміння фізики, так і для практики.

Холостий хід. Вторинне коло розімкнене: \(Z_{\text {н}}\to \infty \), отже \(\hat {I}_2=0\). Тоді з (18.133) випливає

\begin{equation} \label {eq:no_load_current} \hat {I}_1 = \frac {\hat {\emf }_1}{R_1 + i\omega L_1}. \end{equation}

Цей струм називається струмом холостого ходу. Він зумовлений лише власною індуктивністю первинної обмотки і за наявності феромагнітного осердя може бути досить малим, якщо \(L_1\) велика. Проте в реальному трансформаторі струм холостого ходу не нульовий: він витрачається на створення магнітного потоку в осерді та на компенсацію втрат на гістерезис і вихрові струми. Саме тому трансформатор, увімкнений у мережу без навантаження, все одно споживає невелику потужність.

Коротке замикання. Вторинне коло замкнене накоротко: \(Z_{\text {н}}=0\). Тоді з (18.134) маємо

\begin{equation} \label {eq:short_circuit_current} \hat {I}_2 = -\frac {i\omega L_{12}}{R_2 + i\omega L_2}\hat {I}_1, \end{equation}

а вхідний імпеданс (18.140) стає малим:

\begin{equation} \label {eq:short_circuit_impedance} Z_{\text {вх}} \approx R_1 + i\omega L_1 + \frac {(\omega L_{12})^2}{R_2 + i\omega L_2}. \end{equation}

Оскільки \((\omega L_{12})^2/(i\omega L_2) = i\omega L_1\) (для ідеального зв’язку), ці два доданки компенсуються, і \(Z_{\text {вх}}\approx R_1 + R_2'\), де \(R_2'\) — опір вторинної обмотки, перерахований у первинне коло. Струм короткого замикання виявляється дуже великим і обмежується лише активними опорами обмоток. Це небезпечний режим: він призводить до перегріву й руйнування ізоляції. Тому в реальних мережах трансформатори завжди захищені запобіжниками або автоматичними вимикачами.

Втрати та ККД

Реальний трансформатор не є ідеальним: частина енергії втрачається. Розрізняють два види втрат.

Втрати в міді — це джоулеві втрати в обмотках:

\begin{equation} \label {eq:copper_losses} P_{\text {мідь}} = I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2. \end{equation}

Вони залежать від струму навантаження: чим більший струм, тим більші втрати. У режимі холостого ходу ці втрати малі, у режимі номінального навантаження — суттєві.

Втрати в сталі — це втрати на перемагнічування (гістерезис) і на вихрові струми (струми Фуко) в осерді:

\begin{equation} \label {eq:steel_losses} P_{\text {сталь}} = P_{\text {гіст}} + P_{\text {вихр}}. \end{equation}

Вони практично не залежать від навантаження, а визначаються частотою, матеріалом і товщиною листів осердя. Саме тому осердя роблять із тонких ізольованих листів електротехнічної сталі: це зменшує вихрові струми. А додавання кремнію до сталі зменшує гістерезисні втрати.

Повна потужність, що надходить у первинну обмотку, дорівнює

\begin{equation} \label {eq:input_power_transformer} P_1 = U_1 I_1 \cos \phi _1, \end{equation}

а потужність, що відводиться від вторинної обмотки, —

\begin{equation} \label {eq:output_power_transformer} P_2 = U_2 I_2 \cos \phi _2. \end{equation}

ККД трансформатора визначається як

\begin{equation} \label {eq:transformer_efficiency} \tcbhighmath { \eta = \frac {P_2}{P_1} = \frac {P_2}{P_2 + P_{\text {мідь}} + P_{\text {сталь}}}. } \end{equation}

У сучасних потужних трансформаторів ККД сягає \(98\)–\(99\%\). Проте навіть кілька відсотків втрат у мережі з мільйонами трансформаторів обертаються величезними сумарними витратами, тому боротьба за кожен відсоток ККД триває досі.

Векторна діаграма трансформатора

Побудуємо векторну діаграму трансформатора в режимі навантаження (рис. 18.14). Відкладемо вектор магнітного потоку \(\Phi \) уздовж дійсної осі. ЕРС первинної та вторинної обмоток, згідно з (13.29), (13.30) (гл. 13), відстають від потоку на \(\pi /2\). Струм холостого ходу \(I_{10}\) випереджає потік на малий кут, зумовлений втратами в сталі. Струм вторинної обмотки \(I_2\) відстає від \(\emf _2\) на кут, який визначається характером навантаження. Струм первинної обмотки \(I_1\) є векторною сумою струму холостого ходу та струму, що компенсує дію вторинного струму:

\begin{equation} \label {eq:primary_current_phasor} \hat {I}_1 = \hat {I}_{10} - \frac {N_2}{N_1}\hat {I}_2. \end{equation}

Це співвідношення — по суті, перше правило Кірхгофа для магнітного кола: намагнічувальна сила первинної обмотки врівноважується сумою намагнічувальної сили холостого ходу та розмагнічувальної дії вторинного струму.

Автотрансформатор і трифазні трансформатори

Якщо обмотки трансформатора мають не лише магнітний, а й електричний зв’язок, то такий пристрій називається автотрансформатором. В автотрансформаторі частина витків належить одночасно і первинному, і вторинному колу. Перевага автотрансформатора — економія міді та менші втрати, оскільки частина потужності передається не через магнітне поле, а безпосередньо по провіднику. Недолік — відсутність гальванічної розв’язки між первинним і вторинним колом, що не завжди допустимо з міркувань безпеки.

У трифазних мережах використовують трифазні трансформатори, які являють собою три окремі трансформаторні блоки на спільному осерді. Їхні первинні та вторинні обмотки з’єднують за схемами «зірка» або «трикутник», про які йшлося в попередньому розділі. Завдяки цьому вдається отримати різні співвідношення між лінійними напругами на вході й виході, а також зсунути фази вторинної напруги відносно первинної — що важливо, наприклад, для живлення потужних випрямлячів.

Трансформатор у лінії електропередачі

Повернемося до питання, з якого ми почали цей розділ. Нехай потрібно передати потужність \(P\) на відстань \(l\) по лінії з опором \(R_{\text {л}}\). Втрати в лінії становлять

\begin{equation} \label {eq:line_losses_transformer} P_{\text {втр}} = R_{\text {л}} I_{\text {л}}^2 = R_{\text {л}} \left (\frac {P}{U_{\text {л}}\cos \phi }\right )^2. \end{equation}

Звідси видно, що для заданої потужності втрати обернено пропорційні квадрату напруги в лінії. Підвищивши напругу трансформатором у \(n\) разів, ми зменшуємо втрати в \(n^2\) разів. Саме тому магістральні лінії електропередачі працюють на напругах у сотні кіловольт, хоча генератори дають усього кілька кіловольт. І саме тому трансформатор — це той пристрій, який зробив змінний струм переможцем у «війні струмів»: постійний струм не дозволяв так просто змінювати напругу, а змінний — дозволив.

Підсумок

Ми розглянули трансформатор як систему двох магнітно зв’язаних контурів. Застосувавши до неї правила Кірхгофа для змінного струму, ми отримали:

• • рівняння трансформатора (18.131), (18.132);

• • співвідношення ідеального трансформатора (18.135), (18.137);

• • вхідний імпеданс (18.140) і його спрощення для ідеального випадку (18.142);

• • умови холостого ходу та короткого замикання;

• • вираз для ККД (18.150).

Ці співвідношення — основа розрахунку будь-якої трансформаторної схеми, від зарядної станції мобільного телефону до підстанції мегаполісу.

18.6 Частотні фільтри

Оскільки реактивні опори залежать від частоти (\(X_L = \omega L\), \(X_C = 1/(\omega C)\)), кола з реактивними елементами по-різному пропускають сигнали різних частот. Ця властивість лежить в основі частотних фільтрів — пристроїв, що виділяють або пригнічують певні ділянки спектра.

Фільтр низьких частот (ФНЧ)

Найпростіший ФНЧ — це \(RC\)-коло, в якому вихідна напруга знімається з конденсатора (рис. 18.15). Коефіцієнт передачі за напругою:

\begin{equation} \label {eq:lowpass_transfer} K(\omega ) = \frac {U_{\text {вих}}}{U_{\text {вх}}} = \frac {Z_C}{R + Z_C} = \frac {1}{1 + i\omega RC}. \end{equation}

Модуль коефіцієнта передачі:

\begin{equation} \label {eq:lowpass_magnitude} |K(\omega )| = \frac {1}{\sqrt {1 + (\omega RC)^2}}. \end{equation}

На низьких частотах \(\omega \ll 1/(RC)\) маємо \(|K| \approx 1\) — сигнал проходить без ослаблення. На високих частотах \(\omega \gg 1/(RC)\) маємо \(|K| \approx 1/(\omega RC) \to 0\) — сигнал пригнічується. Гранична частота, на якій \(|K| = 1/\sqrt {2}\), дорівнює

\begin{equation} \label {eq:lowpass_cutoff} \omega _c = \frac {1}{RC}. \end{equation}

Такий фільтр використовується, наприклад, для згладжування пульсацій у випрямлячах живлення: конденсатор великої ємності шунтує високочастотні складові, залишаючи майже сталу напругу.

Фільтр високих частот (ФВЧ).

Якщо в тому самому \(RC\)-колі знімати вихідну напругу з резистора (рис. 18.16), отримаємо ФВЧ:

\begin{equation} \label {eq:highpass_transfer} K(\omega ) = \frac {R}{R + Z_C} = \frac {i\omega RC}{1 + i\omega RC}, \qquad |K(\omega )| = \frac {\omega RC}{\sqrt {1 + (\omega RC)^2}}. \end{equation}

Тепер на низьких частотах \(|K| \to 0\), а на високих \(|K| \to 1\). Такий фільтр застосовується, наприклад, для розділення частот у гучномовцях: високочастотний динамік (твітер) підключається через конденсатор, який не пропускає низькочастотні складові.

Смуговий фільтр.

Послідовний \(LCR\)-контур, у якому вихідна напруга знімається з резистора (рис. 18.17), є смуговим фільтром. Його коефіцієнт передачі

\begin{equation} \label {eq:bandpass_transfer} K(\omega ) = \frac {R}{R + i(\omega L - 1/\omega C)} = \frac {1}{1 + iQ\left (\dfrac {\omega }{\omega _0} - \dfrac {\omega _0}{\omega }\right )}, \end{equation}

де \(Q = \omega _0 L/R\) — добротність. Максимум \(|K| = 1\) досягається на резонансній частоті \(\omega _0 = 1/\sqrt {LC}\), а ширина смуги пропускання \(\Delta \omega = \omega _0/Q\). Чим вища добротність, тим вужча смуга — саме тому високодобротні контури використовують для виділення одного радіоканалу з безлічі інших.

Порівняти поведінку всіх трьох фільтрів зручно на одному графіку амплітудно-частотних характеристик (рис. 18.18).

18.7 Трифазний струм: фізичні засади, топології кіл та застосування

Ми детально розглянули однофазні кола змінного струму. Попри їхню зручність для живлення малопотужної побутової техніки, передача значних обсягів електроенергії на великі відстані та робота важкого промислового обладнання за допомогою однофазного струму є технічно й економічно неефективною через суттєві втрати та пульсації потужності.

Розв’язання цих проблем стало створення трифазних систем — особливого класу багатофазних кіл змінного струму, у яких діють три синусоїдальні ЕРС однаковості амплітуди й частоти, зсунуті у часі одна відносно одної на третину періоду (кут \(120^\circ \) або \(2\pi /3\) рад).

У попередньому розділі для розрахунку кіл змінного струму ми опанували комплексний (символічний) метод. Проте знайомство з трифазними системами ми розпочнемо з їхнього часового (синусоїдального) опису. Це необхідно для наочного розуміння фізики процесів: механічного обертання ротора генератора, просторового зсуву обмоток та наочного аналізу миттєвої потужності.

Історичний нарис та еволюція трифазних систем

Перші кроки у практичному застосуванні змінного струму були пов’язані з однофазними та двофазними системами. У 1888 році Нікола Тесла патентно оформив трифазну систему змінного струму, яка використовувала шість провідників (по два незалежних проводи на кожну фазу). Така конструкція була громіздкою та не мала суттєвих економічних переваг у матеріаломісткості перед трьома окремими однофазними лініями.

Вирішальний прорив у 1889 році здійснив винахідник Михайло Доливо-Добровольський. Він запропонував об’єднати обмотки генератора та приймача у спільні електричні вузли (схеми «зірка» та «трикутник»), що дозволило зменшити кількість провідників у лінії електропередачі з шести до трьох (або чотирьох у разі наявності нейтрального провідника).

Історичною демонстрацією переваг цієї технології стала Міжнародна електротехнічна виставка у Франкфурті-на-Майні 1891 року. Доливо-Добровольський спорудив дослідну високовольтну лінію Лауффен – Франкфурт протяжністю близько \(175 \) км. Джерелом енергії слугував трифазний синхронний генератор потужністю \(230 \) кВт при напрузі \(95 \) В, згенерована напруга якого підвищувалася за допомогою трифазного трансформатора. Цей дослід остаточно довів високий коефіцієнт корисної дії та вигідність трифазних систем для передачі електроенергії на великі відстані.

Генерація трифазної електрорушійної сили

Основою для генерації симетричної системи трифазного струму є трифазний синхронний генератор (рис. 18.19). Конструктивно він складається з двох основних частин:

• • Статор (нерухома частина): порожнистий шихтований циліндр із феромагнітного матеріалу, у пазах якого розміщені три однакові за будовою та кількістю витків обмотки (фази \(I\), \(II\), \(III\)), просторово зсунуті одна відносно одної на кут \(120^\circ \) (\(2\pi /3\) рад).

• • Ротор (рухома частина): електромагніт або постійний магніт, який створює постійне за величиною магнітне поле та обертається із постійною кутовою швидкістю \(\omega \) від зовнішнього первинного двигуна (турбіни).

Під час обертання ротора магнітний потік, що перетинає витки обмоток статора, змінюється за гармонічним законом. Згідно із законом електромагнітної індукції Фарадея, в обмотках індукуються електрорушійні сили (ЕРС) однаковості амплітуди \(\emf _m\) та частоти \(\omega \), але із часовим зсувом у \(120^\circ \) (\(2\pi /3\)):

\begin{align} \emf _1(t) &= \emf _m \sin (\omega t), \notag \\ \emf _2(t) &= \emf _m \sin \left (\omega t - \frac {2\pi }{3}\right ), \label {eq:emf_system} \\ \emf _3(t) &= \emf _m \sin \left (\omega t - \frac {4\pi }{3}\right ) = \emf _m \sin \left (\omega t + \frac {2\pi }{3}\right ). \notag \end{align}

Графічне зображення симетричної трифазної системи ЕРС у часовій області наведено на рис. 18.20.

Термін «фаза» в електротехніці має подвійне значення:

• 1. Часовий параметр гармонічного коливання \((\omega t + \phi )\).

• 2. Окрема самостійна обмотка генератора, провідник або елемент навантаження (приймача) у трифазній системі.

Важливою властивістю симетричної системи ЕРС є те, що сума її миттєвих значень у будь-який момент часу дорівнює нулю:

\begin{equation} \emf _1(t) + \emf _2(t) + \emf _3(t) = 0. \end{equation}

Топології з’єднання трифазних кіл

Щоб утворити єдине трифазне коло, обмотки генератора та приймачі (навантаження) з’єднують за однією з двох основних схем: «зіркою» (\(Y\)) або «трикутником» (\(\Delta \)).

З’єднання «зіркою» (Y)

При з’єднанні «зіркою» умовні кінці трьох обмоток генератора об’єднують в одну спільну точку \(0\) (нейтраль генератора). Аналогічно кінці трьох фаз приймача об’єднують у нейтральну точку \(0'\) (нейтраль приймача) (рис. 18.21).

У такій системі розрізняють наступні провідники та величини:

• • Лінійні проводи: провідники, що з’єднують початки фаз генератора з началами фаз приймача.

• • Нейтральний (нульовий) провід: провідник, що з’єднує нейтральні точки \(0\) та \(0'\).

• • Фазна напруга (\(U_\text {ф}\)): різниця потенціалів між початку будь-якої фази та нейтральною точкою.

• • Лінійна напруга (\(U_\text {л}\)): різниця потенціалів між лінійними провідниками двох різних фаз.

За першим законом Кірхгофа, вектор струму в нейтральному провіднику \(\mathbf {I}_\text {N}\) є геометричною сумою лінійних струмів:

\begin{equation} \mathbf {I}_\text {N} = \mathbf {I}_{\text {л}1} + \mathbf {I}_{\text {л}2} + \mathbf {I}_{\text {л}3}. \end{equation}

При з’єднанні зіркою кожен лінійний дріт послідовно з’єднаний із відповідною фазою генератора і приймача, тому лінійний струм дорівнює фазному струму:

\begin{equation} I_\text {л} = I_\text {ф}. \end{equation}

Знайдемо математичний зв’язок між лінійною та фазною напругою. Згідно з правилом віднімання векторів (рис. 18.22):

\begin{equation} \mathbf {U}_{\text {л}12} = \mathbf {U}_{\text {ф}1} - \mathbf {U}_{\text {ф}2}. \end{equation}

З рівнобедреного трикутника, утвореного векторами \(\mathbf {U}_{\text {ф}1}\), \(-\mathbf {U}_{\text {ф}2}\) та \(\mathbf {U}_{\text {л}12}\), кут між фазними векторами становить \(120^\circ \). Опускаючи перпендикуляр на вектор лінійної напруги, отримуємо:

\begin{equation} \frac {U_\text {л}}{2} = U_\text {ф} \cdot \cos (30^\circ ) = U_\text {ф} \cdot \frac {\sqrt {3}}{2} \implies U_\text {л} = \sqrt {3} \cdot U_\text {ф}. \end{equation}

Наприклад, якщо фазна напруга стандартної мережі становить \(U_\text {ф} = 220~\text {В}\), то лінійна напруга між фазами дорівнює \(U_\text {л} = 220 \cdot \sqrt {3} \approx 380~\text {В}\).

Симетричне та несиметричне навантаження:

• • Симетричне навантаження: Комплексні опори всіх трьох фаз однакові (\(Z_1 = Z_2 = Z_3\)). У цьому випадку струми фаз рівні за модулем і зсунуті на \(120^\circ \), тому їхня векторна сума дорівнює нулю: \(\mathbf {I}_\text {N} = 0\). Нейтральний дріт не потрібен і його можна вилучити (трипровідна система).

• • Несиметричне навантаження: При розбалансі опорів (\(Z_1 \neq Z_2 \neq Z_3\)) струм у нейтралі \(\mathbf {I}_\text {N} \neq 0\). Нейтральний дріт відіграє критичну роль: він утримує потенціал нейтралі приймача \(0'\) рівним потенціалу \(0\), гарантуючи, що на кожній фазі навантаження буде незмінна фазна напруга \(U_\text {ф}\).

З’єднання «трикутником» (\(\Delta \))

При з’єднанні «трикутником» кінець першої обмотки генератора (або приймача) з’єднують із початком другої, кінець другої — з початком третьої, а кінець третьої — з початком першої (рис. 18.23).

При з’єднанні трикутником лінійні проводи підключаються безпосередньо до виводів відповідних фазних обмоток. Звідси випливають основні співвідношення:

• 1. Напруга: Лінійна напруга дорівнює фазній напрузі:

  \(\seteqnumber{0}{18.}{163}\)

  \begin{equation} U_\text {л} = U_\text {ф}. \end{equation}

• 2. Струм: Струм у лінійному проводі розгалужується у вузлі на дві фазні обмотки. За першим законом Кірхгофа для симетричного навантаження:

  \(\seteqnumber{0}{18.}{164}\)

  \begin{equation} \mathbf {I}_{\text {л}1} = \mathbf {I}_{\text {ф}12} - \mathbf {I}_{\text {ф}31}. \end{equation}

  З аналогічних геометричних міркувань векторної діаграми отримуємо, що лінійний струм у \(\sqrt {3}\) разів більший за фазний:

  \(\seteqnumber{0}{18.}{165}\)

  \begin{equation} I_\text {л} = \sqrt {3} \cdot I_\text {ф}. \end{equation}

Фізичний принцип утворення обертового магнітного поля

Фундаментальною перевагою трифазних систем є можливість створення кругового обертового магнітного поля без застосування будь-яких механічно обертових частин.

Розглянемо три однакові котушки, осі яких розташовані під кутом \(120^\circ \) одна до одної. Якщо пропустити крізь них симетричні трифазні струми:

\begin{align} I_1(t) &= I_m \sin (\omega t), \notag \\ I_2(t) &= I_m \sin \left (\omega t - 120^\circ \right ), \\ I_3(t) &= I_m \sin \left (\omega t + 120^\circ \right ), \notag \end{align} кожна котушка створить пульсуюче магнітне поле, вектор індукції якого направлений уздовж осі котушки:

\begin{multline} \mathbf {B}_1(t) = B_m \sin (\omega t) \cdot \mathbf {e}_1, \quad \mathbf {B}_2(t) = B_m \sin (\omega t - 120^\circ ) \cdot \mathbf {e}_2, \\ \mathbf {B}_3(t) = B_m \sin (\omega t + 120^\circ ) \cdot \mathbf {e}_3. \end{multline}

За принципом суперпозиції, результуючий вектор магнітної індукції дорівнює сумі векторів окремих фаз:

\begin{equation} \mathbf {B}_{\text {рез}}(t) = \mathbf {B}_1(t) + \mathbf {B}_2(t) + \mathbf {B}_3(t). \end{equation}

Проектуючи вектори на декартові осі \(X\) та \(Y\), знайдемо модуль результуючого вектора \(\mathbf {B}_{\text {рез}}\):

\begin{equation} |\mathbf {B}_{\text {рез}}(t)| = \frac {3}{2} B_m = \text {const}. \end{equation}

Отже, вектор результуючого магнітного поля має сталу величину, що дорівнює \(1.5\,B_m\), і обертається в просторі з кутовою швидкістю \(\omega \), яка дорівнює циклічній частоті струму.

Потужність трифазної системи

Миттєва напруга на кожній фазі змінюється за тим самим гармонічним законом, з тим самим набором фазових зсувів \(0\), \(2\pi /3\), \(4\pi /3\), що й струми та ЕРС вище, і спільною амплітудою \(U_m\):

\begin{equation*} U_1(t) = U_m \sin (\omega t), \qquad U_2(t) = U_m \sin \left (\omega t - \frac {2\pi }{3}\right ), \qquad U_3(t) = U_m \sin \left (\omega t + \frac {2\pi }{3}\right ). \end{equation*}

Миттєва потужність трифазної системи дорівнює сумі миттєвих потужностей окремих фаз:

\begin{equation} p(t) = p_1(t) + p_2(t) + p_3(t) = U_1(t)I_1(t) + U_2(t)I_2(t) + U_3(t)I_3(t). \end{equation}

При суто активному симетричному навантаженні миттєва потужність кожної з фаз є пульсуючою величиною \(p_k(t) = U_m I_m \sin ^2(\omega t - \phi _k)\), проте їхня сума \(p_{\text {сум}}(t)\) залишається суворо постійною в часі (рис. 18.24):

\begin{equation} p(t) = 3 U_\text {ф} I_\text {ф} \cos \phi = \text {const}. \end{equation}

Властивість урівноваженості: Миттєва потужність симетричної трифазної системи є постійною у часі (на відміну від однофазного кола, де потужність пульсує із подвоєною частотою \(2\omega \)). Це забезпечує плавний і безвібраційний режим роботи генераторів і двигунів великої потужності.

Розрахунок активної (\(P\)), реактивної (\(Q\)) та повної (\(S\)) потужностей через лінійні параметри мережі проводиться однаково незалежно від схеми з’єднання («зірка» чи «трикутник»):

\begin{align} P &= \sqrt {3} \, U_\text {л} \, I_\text {л} \, \cos \phi \quad [\text {Вт}], \\ Q &= \sqrt {3} \, U_\text {л} \, I_\text {л} \, \sin \phi \quad [\text {вар, вольт-ампер реактивний} ], \\ S &= \sqrt {3} \, U_\text {л} \, I_\text {л} \quad [\text {В}\cdot \text {А}]. \end{align}

Ключові переваги трифазних систем

Порівняно з однофазними та іншими багаторазовими системами, трифазний струм володіє фундаментальними перевагами:

• • Висока економічність передачі енергії: Для передачі однакової потужності трифазною лінією потрібно на \(25\%\) менше кольорового металу (міді/алюмінію), ніж при використанні трьох незалежних однофазних кіл.

• • Простота електродвигунів: Можливість легкого створення обертового магнітного поля дозволила створити асинхронні двигуни із короткозамкненим ротором — найнадійніші, найдешевші та найпростіші у виробництві електричні машини, що не мають зношуваного колекторного вузла.

• • Урівноваженість системи: Постійність сумарної миттєвої потужності виключає механічні пульсації валів потужних турбогенераторів і промислових машин.

• • Універсальність напруг: Схема «зірка з нейтраллю» дозволяє одній мережі надавати споживачу два рівні напруги (наприклад, \(220~\text {В}\) для побутової однофазної техніки та \(380~\text {В}\) для силового трифазного обладнання).

Підсумки

Електричне коло можна описувати простими співвідношеннями (закон Ома, правила Кірхгофа) без повних рівнянь Максвелла, якщо виконується умова квазістаціонарності: довжина кола значно менша за довжину хвилі, \(l \ll \lambda = cT\) (або \(\tau \sim l/c \ll T\)). Тоді коло складається із зосереджених елементів \(R\), \(L\), \(C\), і процеси в ньому описує рівняння \(L\dot I + IR + q/C = \emf \). За відсутності ЕРС воно перетворюється на рівняння вільних коливань \(\ddot q + 2\gamma \dot q + \omega _0^2 q = 0\), де \(\gamma = R/2L\), \(\omega _0 = 1/\sqrt {LC}\). При \(R = 0\) коливання гармонічні з періодом \(T = 2\pi \sqrt {LC}\) (формула Томсона), причому енергія періодично перетікає між електричним полем конденсатора й магнітним полем котушки. За слабкого затухання (\(\gamma < \omega _0\)) амплітуда спадає як \(e^{-\gamma t}\) з частотою \(\omega = \sqrt {\omega _0^2 - \gamma ^2}\), а при \(\gamma \geqslant \omega _0\) коливання не виникають. Швидкість згасання характеризують логарифмічний декремент \(\delta = \gamma T\) та добротність \(Q = \omega /2\gamma = \pi /\delta = 2\pi W/\Delta W\); для послідовного \(LCR\)-контуру \(Q = \frac 1R\sqrt {L/C}\).

Під дією гармонічної ЕРС, після загасання вільних коливань, у контурі лишаються вимушені коливання на частоті джерела. Їх зручно шукати методом комплексних амплітуд, який замінює диференціальне рівняння алгебраїчним. Амплітуда напруги на конденсаторі має максимум (резонанс) при \(\omega _m = \sqrt {\omega _0^2 - 2\gamma ^2}\); за слабкого затухання \(V_{\max } = QV_{\text {ст}}\), а ширина резонансної кривої по рівню \(1/\sqrt 2\) дорівнює \(\Delta \omega = 2\gamma = \omega _0/Q\): чим вища добротність, тим вужчий і вищий резонанс. Те саме явище з боку імпедансів виглядає так: закон Ома набуває форми \(\hat I_m Z = \emf _m\), де імпеданс \(Z = R + i(\omega L - 1/\omega C)\), а окремі елементи мають \(Z_R = R\), \(Z_L = i\omega L\), \(Z_C = 1/(i\omega C)\). Правила Кірхгофа зберігають форму, якщо замінити \(R\) на \(Z\). Середня потужність \(\overline {Q} = \emf _\text {еф}I_\text {еф}\cos \phi _0 = RI_\text {еф}^2\) визначається лише активним опором, тому електроенергію вигідно передавати при високій напрузі. У послідовному контурі при резонансі напруг напруги на \(L\) і \(C\) у \(Q\) разів перевищують напругу джерела; у паралельному контурі при резонансі струмів струм у гілках \(L\) і \(C\) становить \(I_m/Q\) від струму джерела, а \(Q = R\sqrt {C/L}\).

Метод імпедансів дозволяє розрахувати й практично важливі пристрої. Трансформатор як систему двох магнітно зв’язаних контурів описують рівняння з взаємною індуктивністю \(L_{12}\); для ідеального трансформатора \(U_1/U_2 = N_1/N_2 = n\), \(I_1/I_2 = 1/n\) і \(Z_\text {вх} = Z_\text {н}/n^2\), що дає змогу узгоджувати навантаження з джерелом, а реальні втрати ділять на втрати в міді й у сталі. Частотні фільтри використовують залежність реактивних опорів від частоти: для \(RC\)-ланцюжка гранична частота \(\omega _c = 1/RC\), а смуговий фільтр має смугу пропускання \(\Delta \omega = \omega _0/Q\). У трифазній системі три ЕРС зсунуті на \(120^\circ \) і в сумі дають нуль. При з’єднанні зіркою \(U_\text {л} = \sqrt 3\,U_\text {ф}\), \(I_\text {л} = I_\text {ф}\), а трикутником — \(U_\text {л} = U_\text {ф}\), \(I_\text {л} = \sqrt 3\,I_\text {ф}\). Трифазний струм створює обертове магнітне поле сталої величини й забезпечує постійну миттєву потужність.

Уся ця теорія трималася на умові \(l \ll \lambda \). Коли довжина лінії стає порівнянною з довжиною хвилі, струм і напруга вже не однакові вздовж кола, і потрібна теорія довгих ліній, з якої ми почнемо наступний розділ (гл. 19).

Задачі